Geometría analítica

La cisoide de Diocles es la cisoide generada por el vector posición de una recta paralela al eje OY (Curva 1), que pasa por el punto (2a,0), al que se le resta el radio vector de una circunferencia de radio a y centro en (0,a) (Curva 2).

Su ecuación, en coordenadas polares es:

${\displaystyle \rho =\rho _{1}-\rho _{2}={\frac {2a}{\cos \omega }}-2a\,\cos \omega =2a{\frac {\mathrm {sen} ^{2}\omega }{\cos \omega }}}$

Y en cartesianas:

${\displaystyle y^{2}={\frac {x^{3}}{2a-x}}}$

Propiedades

• La curva tiene un eje de simetría, el eje OX. Tiene un punto de retroceso, el origen de coordenadas.
• Considerando como una relación el valor de x recorre el intervalo [0,2a>; el valor recorre el intervalo abierto < -∞, +∞>
• Su asíntota es la recta x = 2a.
• El área entre la curva y la asíntota es A = 3πa²¹
• Si se considera la asíntota x= 4, el volumen del sólido generado por rotación de la cisoide teniendo como eje tal asíntota, es V = 16π

• Fue empleada por el griego Diocles en el esfuerzo de dar solución al problema clásico de la duplicación del cubo, en el siglo II a.n.e.

Cisoide de Diocles (línea roja). El segmento OA es igual a OC menos OB.

Una cuerda¹ o subtensa de una curva es un segmento con sus extremos sobre dicha curva. La recta que contiene a una cuerda se denomina secante a la curva.

La línea roja BX es una cuerda.

Cuerdas de un círculo

Entre las propiedades de las cuerdas de un círculo se encuentran las siguientes:

1. Las cuerdas son equidistantes del centro si y solo si sus longitudes son iguales.
2. La mediatriz de una cuerda pasa por el centro.
3. Si las extensiones lineales (líneas secantes) de las cuerdas AB y CD se intersecan en un punto P, entonces sus longitudes satisfacen AP·PB = CP·PD, (ver potencia de un punto).
4. La cuerda de mayor longitud posible para un determinado círculo es cualquiera de sus diámetros.

La superficie limitada por un arco y la cuerda que la subtiende se llama segmento circular. El área que corta una cuerda circular es denominada un segmento circular.

Cuerdas en trigonometría

Las cuerdas fueron usadas extensivamente en el desarrollo inicial de la trigonometría. La primera tabla trigonométrica conocida, compilada por Hiparco de Nicea, tabulaba el valor de la función cuerda por cada 7,5 grados.

La función cuerda es definida geométricamente como en la imagen. La cuerda de un ángulo es la longitud dimensional de una cuerda entre dos puntos en una unidad circular separada por un ángulo. Al tomar uno de los puntos como cero, puede fácilmente ser relacionada con la moderna función trigonométrica seno:

${\displaystyle {\mbox{crd}}\ \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}=2\sin {\frac {\theta }{2}}.}$

El último paso utiliza la fórmula de medio ángulo. Gran parte de la trigonometría moderna se basa en la función seno, mientras que la trigonometría antigua fue construida sobre la base de la función cuerda. Hiparco habría escrito una obra en doce volúmenes sobre las cuerdas. La función cuerda satisface muchas identidades análogas a aquellas modernas bien conocidas:

Nombre	Basada en seno	Basada en cuerda
Pitagórica	${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$	${\displaystyle {\mbox{crd}}^{2}\theta +{\mbox{crd}}^{2}(180^{\circ }-\theta )=4}$
Medio ángulo	${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos ^{2}\theta }{2}}}}$	${\displaystyle {\mbox{crd}}\ {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {2-{\mbox{crd}}(180^{\circ }-\theta )}}}$

La identidad de medio ángulo agiliza enormemente la creación de tablas de cuerdas. Las tablas de cuerdas antiguas solían utilizar un gran valor para el radio del círculo, con lo que era una simple cuestión de escalar para determinar la cuerda necesaria para cualquier círculo. Según G. J. Toomer, Hiparco usó un círculo de radio 3438' (=3438/60=57.3). Este valor es extremadamente cercano al ${\displaystyle 180/\pi }$ (=57.29577951...). Una ventaja de esta elección de radio era que permitía aproximar de forma muy precisa la cuerda de un ángulo pequeño. En términos modernos, permitía una aproximación lineal simple:

${\displaystyle {\frac {3438}{60}}{\mbox{crd}}\ \theta =2{\frac {3438}{60}}\sin {\frac {\theta }{2}}\approx 2{\frac {3438}{60}}{\frac {\pi }{180}}{\frac {\theta }{2}}=\left({\frac {3438}{60}}{\frac {\pi }{180}}\right)\theta \approx \theta .}$

Cálculo de cuerdas de círculos

Cuando se desconoce la longitud de una cuerda de círculo es posible calcularla basándose en otros datos, la siguiente tabla reúne las fórmulas² adecuadas para lograrlo:

Datos iniciales	Radio ( r )	Diámetro ( Ø )
Sagita (flecha) ( s )	${\displaystyle c=2{\sqrt {s(2r-s)}}}$	${\displaystyle c=2{\sqrt {s(\phi -s)}}}$
Apotema ( a )	${\displaystyle c=2{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}}$	${\displaystyle c={\sqrt {\phi ^{2}-4a^{2}}}}$
Ángulo ( θ )	${\displaystyle c=2r\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}$	${\displaystyle c=\phi \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}$

Donde los símbolos representan respectivamente, c la longitud de la cuerda (a calcular), s la sagita, a el apotema, r el radio, Ø el diámetro y θ el ángulo que abarca el arco circular correspondiente a la cuerda en cuestión.

La sagita —también conocida como flecha— es la altura máxima del arco circular, se mide desde el punto medio de la cuerda hasta el cenit o cima del arco circular, tiene dirección radial (perpendicular a la cuerda), su longitud es → s = r - a.

La curva cruciforme es una curva plana cuártica definida por el ecuación

${\displaystyle x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0\,}$

donde a y b son dos parámetros que determinan la forma de la curva.

La curva cruciforme está relacionada por una transformación cuadrática estándar, x ↦; 1/x, y ↦; 1/y con la elipse a²x² + b²y² = 1, y por eso es una curva algebraica plana racional del género cero. La curva cruciforme tiene tres puntos dobles en el plano proyectivo real, en x=0 y y=0, x=0 y z=0, y y=0 y z=0.

Como que la curva es racional, puede ser parametrizada por funciones racionales. Por ejemplo, si a=1 y b=2, entonces

${\displaystyle x=-{\frac {t^{2}-2t+5}{t^{2}-2t-3}},y={\frac {t^{2}-2t+5}{2t-2}}}$

parametriza los puntos en la curva fuera de los casos excepcionales donde el denominador es cero.

Curva cruciforme con parámetros (b,a) con valores (1,1) en rojo; (2,2) en verde; (3,3) en azul.

La curva de Hjulström, llamada así por Filip Hjulström (1902-1982), es un gráfico utilizado por los hidrólogos para determinar si un río erosiona, transporta o deposita sedimentos. El gráfico tiene el tamaño de los sedimentos y la velocidad del canal en cuenta.

El eje X muestra el tamaño de las partículas en mm (milímetros). El eje Y muestra la velocidad del río en cm/s (centímetros por segundo). Las tres líneas en el programa de diagrama muestran diferentes tamaños de las partículas que se depositarán, transportarán o erosionarán.

La curva utiliza una escala logarítmica doble. Muestra varias ideas clave sobre las relaciones entre la erosión, el transporte y la deposición. La curva de Hjulström muestra que las partículas de un tamaño alrededor de 1 mm requieren menos energía para erosionar, ya que son las arenas que no presentan fuerzas de cohesión. Las partículas más pequeñas que estas arenas finas son a menudo las arcillas que requieren una mayor velocidad para producir la energía necesaria para separar las partículas de arcilla que se han cohesionado. Partículas más grandes tales como piedras se erosionan a velocidades más altas y los objetos de gran tamaño, como piedras requieren la más alta velocidad para erosionarse. Cuando la velocidad cae por debajo de esta velocidad llamada línea de la velocidad crítica, las partículas se depositarán o se transportarán, en lugar de ser erosionadas, dependiendo de la energía del río.