Geometría analítica

curva mariposa algebraica es una curva algebraica plana de grado seis, dada por la ecuación

${\displaystyle x^{6}+y^{6}=x^{2}.\,\!}$

La curva mariposa tiene una singularidad simple con invarianza delta tres, lo que significa que es una curva de género siete. Las únicas curvas planas de género siete son singulares, puesto que siete no es un número triangular, y el mínimo grado para tal curva es seis, así que la curva mariposa aparte de su aspecto es posiblemente interesante como ejemplo.

La curva mariposa tiene número de rama y multiplicidad dos, y por lo tanto la singularidad del enlace tiene dos componentes, en la foto a la derecha.

El área de la curva mariposa algebraica es dada por (con la función gamma ${\displaystyle \Gamma }$)

${\displaystyle 4\cdot \int _{0}^{1}(x^{2}-x^{6})^{\frac {1}{6}}dx={\frac {\Gamma ({\frac {1}{6}})\cdot \Gamma ({\frac {1}{3}})}{3{\sqrt {\pi }}}}\approx 2.804,}$

y su longitud de arco s por

${\displaystyle s\approx 9.017}$

${\displaystyle x^{6}+y^{6}=x^{2}}$

 doble hélice consiste típicamente en dos hélicescongruentes con un mismo eje, difiriendo por una traslación a lo largo del eje.

En la cultura popular moderna, la forma de la doble hélice está fuertemente asociada con el ADN. El ADN toma esta forma de manera natural por dos razones: puede ser doble para así poder replicarse por sí misma, y la hélice es más fuerte que dos cadenas paralelas, ya que al empujarse en cualquier dirección no sean desquebrajadas por ser dobles en ese caso son muy resistentes y se forman por dos hélices.

La línea azul es una hélice, y la roja es otra, formando juntas una doble hélice.

Imagen de una cadena de ADN mostrando la doble hélice replicándose.

esponja de Menger (a veces llamada cubo de Menger o bien cubo o esponja de Menger-Sierpiński o de Sierpiński) es un conjunto fractal descrito por primera vez en 1926 por Karl Menger¹ mientras exploraba el concepto de dimensión topológica.²

Al igual que la alfombra de Sierpinski constituye una generalización bidimensional del conjunto de Cantor, esta es una generalización tridimensional de ambos. Comparte con estos muchas de sus propiedades, siendo un conjunto compacto, no numerable y de medida de Lebesgue nula. Su dimensión dimensión fractal de Hausdorff es ${\displaystyle d_{H}=\log 20/\log 3\approx 2.7268}$ La esponja tiene una superficie infinita y al mismo tiempo encierra un volumen cero.

Es de destacar su propiedad de curva universal, pues es un conjunto topológico de dimensión topológica uno, y cualquier otra curva o grafo es homeomorfo a un subconjunto de la esponja de Menger.

Esponja de Menger.

La construcción de la esponja de Menger se define de forma recursiva:

1. Comenzamos con un cubo (primera imagen).
2. Dividimos cada cara del cubo en 9 cuadrados. Esto subdivide el cubo en 27 cubos más pequeños, como le sucede al cubo de Rubik.
3. Eliminamos los cubos centrales de cada cara (6) y el cubo central (1), dejando solamente 20 cubos (segunda imagen).
4. Repetimos los pasos 1, 2 y 3 para cada uno de los veinte cubos menores restantes.

La esponja de Menger es el límite de este proceso tras un número infinito de iteraciones.

evolvente del círculo, a veces llamada involuta, es una curva plana de desarrollo, cuyas normales son tangentes de la circunferencia.

A menudo se traza sin saberlo: cuando un hilo tenso o un cable se desenrollan de una bobina circular sus puntos describen la evolvente de la circunferencia de esa bobina.

Fue estudiada originalmente por Christian Huygens,¹ que trataba de diseñar relojes de péndulo para uso marino. Huygens utilizó la cicloide para forzar la oscilación regular del péndulo. Cuando un hilo tenso se enrolla en una cicloide cada uno de sus puntos describe un cicloide, es decir, la curva de desarrollo de una cicloide es una cicloide, como la de una circunferencia es una evolvente. La aplicación a los perfiles de las ruedas dentadas fue propuesta por Leonhard Euler.

Evolvente del círculo

Definición matemática

La evolvente de la circunferencia (en trazo negro) es semejante a la Espiral de Arquímedes (en rojo), pero no coinciden.

La curva se puede definir paramétricamente mediante la siguiente ecuación:

${\displaystyle {\begin{cases}x(t)=k(\cos {t}+t\,\sin {t})\\y(t)=k(\sin {t}-t\,\cos {t})\end{cases}}}$

donde k es el radio en el punto de contacto.

También puede ser definido por una ecuación intrínseca:

${\displaystyle R_{c}^{2}=2k\,s}$, donde ${\displaystyle R_{c}}$ representa el radio de curvatura y la ${\displaystyle s}$ la abscisa curvilínea.

Propiedades y aplicaciones

Si se hace rodar sin deslizamiento una recta sobre un círculo, cada punto de esta línea describe con respecto al círculo una evolvente.

Engranajes con perfil en evolvente

Los dientes de los engranajes rectos tienen perfil de evolvente de circunferencia, porque garantiza una relación de transmisión constante y una transmisión de energía óptima entre los engranajes, ya que en el punto de contacto entre dos dientes la tangente al perfil es común a ambos dientes.

Otras propiedades notables de engranajes de evolvente son las siguientes:

1. Si un diente de engranaje de perfil de evolvente engrana con otro diente con el mismo perfil, a velocidad de rotación uniforme, el movimiento angular de la rueda accionada es uniforme también, incluso cuando variamos la distancia entre ejes.
2. La velocidad de movimiento relativo entre la rueda conductora y la rueda conducida de un engranaje está establecida por los diámetros de sus círculos base.
3. El contacto de acoplamiento entre el diente de las ruedas conducida y conductora se producen a lo largo de una recta tangente al círculo base de las ruedas. Esta recta se llama línea de acción. Pasa en general entre los círculos base (engranajes convencional), pero puede estar fuera (en el llamado engranaje paradójico, cuyas ruedas giran en el mismo sentido). A lo largo de esta recta están los puntos de engrane, en los que el deslizamiento relativo entre las superficies es cero.
4. Las superficies de desgaste activo se distribuye de manera más uniforme.
5. Las vibraciones son más bajas que con otro perfil.

La longitud de la evolvente es equivalente a ${\displaystyle d\cdot \pi ^{2}\cdot \theta ^{2}}$, donde:

• d es el diámetro del círculo
• π es el número pi
• θ es el ángulo en revoluciones

 flecha o sagita de un arco circular es la distancia desde el centro del arco al centro de la cuerda.¹ Este concepto se emplea a menudo en arquitectura para obtener el arco necesario para cubrir un vano y en óptica en donde se emplea para hallar la profundidad de un espejo esférico o una lente.

Expresiones

En las siguientes expresiones, ${\displaystyle f}$ se refiere a la flecha, ${\displaystyle R}$ al radio de la circunferencia, ${\displaystyle c}$ a la cuerda del arco y ${\displaystyle d}$ a la distancia desde el centro de la circunferencia hasta la cuerda.

La flecha se define como:

${\displaystyle f=R-d}$

Aplicando el Teorema de Pitágoras, la flecha se puede calcular como:

${\displaystyle f=R-{\sqrt {R^{2}-\left({\frac {c}{2}}\right)^{2}}}}$

La flecha también se puede calcular empleando la función verseno. Sea ${\displaystyle \alpha }$ el ángulo que define el arco,

${\displaystyle f=R\cdot \operatorname {versin} {\frac {\alpha }{2}}=R\left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)}$

O de forma alternativa:

${\displaystyle f={\frac {c}{2}}\cdot \tan {\frac {\alpha }{4}}}$

Cuando la flecha es pequeña en comparación con el radio se puede aproximar de la siguiente forma:²

${\displaystyle f\approx {\frac {\left(c/2\right)^{2}}{2R}}={\frac {c^{2}}{8R}}}$

Esquema de una arco de circunferencia.
c: cuerda; f: flecha; s: arco, d: apotema.