Geometría analítica

Sistemas de coordenadas

coordenadas de Jacobi se usan con frecuencia para simplificar las fórmulas matemáticas. Estas coordenadas son especialmente comunes en el tratamiento de moléculas poliatómicas y reacciones químicas,¹ y en mecánica celeste.²

Algoritmo para N cuerpos

Un algoritmo para generar coordenadas de Jacobi para N cuerpos puede basarse en árboles binarios.³ Literalmente el algoritmo se describe como sigue:³

Sean m_j y m_k las masas de dos cuerpos que son reemplazados por un nuevo cuerpo de masa virtual M = m_j + m_k.

Las coordenadas x _j y x _k se reemplazan por sus posiciones relativas r_jk =x_j − x_k y por el vector al centro de sus masas R_jk = (m_j q_j + m_kq_k)/(m_j + m_k).

El nodo en el árbol binario correspondiente al cuerpo virtual tiene m_j como rama derecha y m_k como rama izquierda. El orden de las ramas indica el punto de coordenadas relativas desde x'_k a x_j.

Repita esta secuencia para N − 1 cuerpos, o sea los N − 2 cuerpos originales más el nuevo cuerpo virtual.

Un posible conjunto de coordenadas de Jacobi para el problema de los cuatro cuerpos; las coordenadas de Jacobi son r₁, r₂, r₃ y el centro de gravedad R. Véase Cornille.⁴

Problema de los cuatro cuerpos

Para el problema de cuatro cuerpos el resultado es:⁴

${\displaystyle {\boldsymbol {r_{1}=x_{1}-x_{2}}}\ ,}$

${\displaystyle {\boldsymbol {r_{j}}}={\frac {1}{m_{0j}}}\sum _{k=1}^{j}m_{k}{\boldsymbol {x_{k}}}\ -\ {\boldsymbol {x_{j+1}}}\ ,}$

con

${\displaystyle m_{0j}=\sum _{k=1}^{j}\ m_{k}\ .}$

El vector R es el centro de gravedad de todos los cuerpos:

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\frac {1}{m_{0}}}\sum _{k=1}^{N}\ m_{k}{\boldsymbol {x_{k}}}\ ;}$   ${\displaystyle m_{0}=\sum _{k=1}^{N}\ m_{k}\ .}$

coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio ${\displaystyle r}$, el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ.

Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de -90° a 90° (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del azimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0° a 360° (0 a 2π en radianes) o de -180° a +180° (-π a π).

Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.

Convenios utilizadas

Convenio no estadounidense

La mayoría de los físicos, ingenieros y matemáticos no norteamericanos escriben:

• φ ,el azimut  : de 0° a 360°
• θ ,la colatitud : de 0° a 180°

Esta es la convención que se sigue en este artículo. En el sistema internacional, los rangos de variación de las tres coordenadas son:

${\displaystyle 0\leq r<\infty \qquad 0\leq \theta \leq \pi \qquad 0\leq \varphi <2 annotation="" pi="">$

La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ${\displaystyle r}$ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ${\displaystyle r}$; vuelve a aumentar, pero θ pasa a valer π-θ y φ aumenta o disminuye en π radianes.

Convenio estadounidense

Actualmente, el convenio usado en los EE. UU. no es el mismo que el europeo. Para denotar el ángulo azimutal se usa θ y para referirse al polar, latitud o colatitud se usa φ.

Relación con otros sistemas de coordenadas

Relación con las coordenadas cartesianas

Sobre los conjuntos abiertos:

${\displaystyle U=\{(r,\theta ,\varphi )|r>0,0<\theta <\pi ,0\leq \varphi <2 mbox="" pi="" qquad="" v="\{(x,y,z)|x^{2}+y^{2}+z^{2}" y="">0\}}$

Existe una correspondencia unívoca ${\displaystyle F:V\to U}$entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, definidas por las relaciones:

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\qquad \theta ={\begin{cases}\arctan \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)&z>0\\{\frac {\pi }{2}}&z=0\\\pi +\arctan \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)&z<0 amp="" cases="" end="" frac="" left="" qquad="" right="" varphi="{\begin{cases}\arctan" x="" y="">0{\mbox{ y }}y>0{\mbox{ (1° Q)}}\\2\pi +\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&x>0{\mbox{ y }}y<0 3="" amp="" annotation="" arctan="" cases="" end="" frac="" left="" mbox="" pi="" q="" right="" sgn="" x="" y="">$

Estas relaciones se hacen singulares cuando tratan de extenderse al propio eje ${\displaystyle z\,}$, donde ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0}$, en el cual φ, no está definida. Además, φ no es continua en ningún punto ${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$ tal que ${\displaystyle x=0\;}$.

La función inversa ${\displaystyle F^{-1}}$ entre los dos mismos abiertos puede escribirse en términos de las relaciones inversas:

${\displaystyle x=r\sin \,\theta \,\cos \varphi \qquad y=r\sin \,\theta \sin \,\varphi \qquad z=r\,\cos \theta }$

Coordenadas esféricas y ejes cartesianos relacionados.

Relación con las coordenadas cilíndricas

Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, está el de las coordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por las relaciones

${\displaystyle r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\qquad \theta =\arctan \left({\frac {\rho }{z}}\right)\qquad \varphi =\varphi }$

y sus inversas

${\displaystyle \rho =r\,{\sin }\,\theta \qquad \varphi =\varphi \qquad z=r\,\cos \theta }$

Líneas y superficies coordenadas

Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas esféricas, estas son:

• Líneas coordenadas ${\displaystyle r}$: Semirrectas radiales partiendo del origen de coordenadas.
• Líneas coordenadas θ: Semicírculos verticales (meridianos)
• Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales (paralelos).

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijando sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

• Superficies ${\displaystyle r}$=cte.: Esferas con centro en el origen de coordenadas.
• Superficies θ=cte.: Conos rectos con vértice en el origen.
• Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

${\displaystyle {\hat {r}}={\sin }\theta \,\cos \varphi \,{\hat {x}}+{\sin }\theta \,{\sin }\,\varphi \,{\hat {y}}+\cos \theta {\hat {z}}}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}=\cos \theta \,\cos \varphi \,{\hat {x}}+\cos \theta \,{\sin }\,\varphi \,{\hat {y}}-{\sin }\theta {\hat {z}}}$

${\displaystyle {\hat {\varphi }}=-{\sin }\varphi \,{\hat {x}}+\cos \,\varphi \,{\hat {y}}}$

e inversamente

${\displaystyle {\hat {x}}={\sin }\theta \,\cos \varphi \,{\hat {r}}+\cos \theta \,\cos \varphi \,{\hat {\theta }}-{\sin }\,\varphi \,{\hat {\varphi }}}$

${\displaystyle {\hat {y}}={\sin }\theta \,{\sin }\,\varphi \,{\hat {r}}+\cos \theta \,{\sin }\,\varphi \,{\hat {\theta }}+\cos \,\varphi \,{\hat {\varphi }}}$

${\displaystyle {\hat {z}}=\cos \theta \,{\hat {r}}-{\sin }\theta \,{\hat {\theta }}}$

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

${\displaystyle h_{r}=1\qquad h_{\theta }=r\qquad h_{\varphi }=r\,{\sin }\theta }$

Disponiendo de la base de coordenadas esféricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es

${\displaystyle {\vec {r}}=r\,{\hat {r}}}$

Nótese que no aparecen término en ${\displaystyle {\hat {\varphi }}}$ o ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$. La dependencia en estas coordenadas está oculta en el vector ${\displaystyle {\hat {r}}}$.

Diferenciales de línea, superficie y volumen

Diferencial de línea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas esféricas, viene dado por

${\displaystyle d{\vec {r}}=h_{r}\,dr\,{\hat {r}}+h_{\theta }\,d\theta \,{\hat {\theta }}+h_{\varphi }\,d\varphi \,{\hat {\varphi }}=dr\,{\hat {r}}+r\,d\theta \,{\hat {\theta }}+r\,{\sin }\,\theta \,d\varphi \,{\hat {\varphi }}}$

Diferenciales de superficie

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, ${\displaystyle q_{3}={\rm {cte.}}}$ el resultado es

${\displaystyle d{\vec {S}}_{q_{3}={\rm {cte}}}=h_{1}\,h_{2}\,dq_{1}\,dq_{2}\,{\hat {q}}_{3}}$

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas esféricas, los diferenciales de superficie son

• ${\displaystyle r}$=cte: ${\displaystyle d{\vec {S}}_{r={\rm {cte}}}=r^{2}\,{\sin }\theta \,d\theta \,d\varphi \,{\hat {r}}}$
• θ=cte: ${\displaystyle d{\vec {S}}_{\theta ={\rm {cte}}}=r\,{\sin }\theta \,dr\,d\varphi \,{\hat {\theta }}}$
• φ=cte: ${\displaystyle d{\vec {S}}_{\varphi ={\rm {cte}}}=r\,dr\,d\theta \,{\hat {\varphi }}}$

Diferencial de volumen

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al determinante del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

${\displaystyle dV=h_{1}\,h_{2}\,h_{3}\,dq_{1}\,dq_{2}\,dq_{3}}$

que para coordenadas esféricas en las que el ángulo vertical empieza en el eje z da

${\displaystyle dV=r^{2}\,{\sin }\,\theta \,dr\,d\theta \,d\varphi }$

y en las que el ángulo vertical empieza en el plano XY da

${\displaystyle dV=r^{2}\,{\cos }\,\theta \,dr\,d\theta \,d\varphi }$

Operadores diferenciales en coordenadas esféricas

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas esféricas. Estas son:

• Gradiente

${\displaystyle \nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial r}}{\hat {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}{\hat {e}}_{\theta }+{\frac {1}{r\,{\sin }\theta }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {e}}_{\varphi }}$

• Divergencia

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {F}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial (r^{2}F_{r})}{\partial r}}+{\frac {1}{r\,{\sin }\,\theta }}{\frac {\partial ({\sin }\,\theta \,F_{\theta })}{\partial \theta }}+{\frac {1}{r\,{\sin }\,\theta }}{\frac {\partial (F_{\varphi })}{\partial \varphi }}}$

• Rotacional

${\displaystyle \nabla \times {\vec {F}}={\frac {1}{r^{2}{\sin }\,\theta }}\left|{\begin{matrix}{\hat {r}}&r\,{\hat {\theta }}&r\,{\sin }\,\theta \,{\hat {\varphi }}\\&&\\{\frac {\partial }{\partial r}}&{\frac {\partial }{\partial \theta }}&{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\\&&\\F_{r}&rF_{\theta }&r{\sin }\,\theta \,F_{\varphi }\end{matrix}}\right|}$

• Laplaciano

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial \phi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\,{\sin }\,\theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left({\sin }\,\theta {\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}{\sin }^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \varphi ^{2}}}}$