Geometría analítica

Sistemas de coordenadas

par ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se distingue un elemento y otro. El par ordenado cuyo primer elemento es A y cuyo segundo elemento es Bse denota como (a, b).

Un par ordenado (a, b) no es el conjunto que contiene a a y b, denotado por {a, b}. Un conjunto está definido únicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado el orden de estos es también parte de su definición. Por ejemplo, los conjuntos {0, 1} y {1, 0} son idénticos, pero los pares ordenados (0, 1) y (1, 0) son distintos.

Los pares ordenados también se denominan 2-tuplas o vectores 2-dimensionales. La noción de una colección finita de objetos ordenada puede generalizarse a más de dos objetos, dando lugar al concepto de n-tupla.

El producto cartesiano de conjuntos, las relaciones binarias, las coordenadas cartesianas, las fracciones y las funciones se definen en términos de pares ordenados.

Ejemplos de ocho puntos localizados en el plano cartesiano mediante pares ordenados.

Definición

La propiedad característica que define un par ordenado es la condición para que dos de ellos sean idénticos:

Dos pares ordenados (a, b) y (c, d) son idénticos si y sólo si coinciden sus primer y segundo elemento respectivamente: ${\displaystyle (a,b)=(c,d)\ {\text{ si y solo si }}\ a=c\ {\text{ y }}\ b=d\!}$

Los elementos de un par ordenado también se denominan componentes.

Producto cartesiano

Dados dos conjuntos X e Y, la colección de todos los pares ordenados (x, y), formados con un primer elemento en X y un segundo elemento en Y, se denomina el producto cartesiano de X e Y, y se denota X × Y. El producto cartesiano de conjuntos permite definir relaciones y funciones.

Generalizaciones

Es habitual trabajar con colecciones ordenadas de más de dos objetos, sin más que extender la definición del par ordenado. Por ejemplo, un trío ordenado o terna ordenada es una terna de objetos matemáticos en la que se distinguen un primer, segundo y tercer elemento. La propiedad principal de un trío ordenado es entonces:

${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})=(b_{1},b_{2},b_{3}){\text{ si y solo si }}a_{1}=b_{1},\ a_{2}=b_{2}{\text{ y }}a_{3}=b_{3}}$

En general se puede adoptar una definición similar para un número cualquiera de elementos n, dando lugar así a una n-tupla.

Definición conjuntista

La condición de igualdad entre pares ordenados es su única propiedad matemática relevante.¹ Sin embargo, en teoría de conjuntos se construyen todos los objetos matemáticos a partir de conjuntos: números, funciones, etc. En este contexto, se define par ordenado como un conjunto particular de tal manera que su relación de igualdad sea la correcta.

La definición conjuntista habitual, debida a Kuratowski, es:²

${\displaystyle (a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}\!}$

Mediante el axioma de extensionalidad y el axioma del par puede demostrarse que este término define un conjunto, con la propiedad característica del par ordenado.³

Esquemas sustitutivos

La definición conjuntista de Kuratowski no es la única existente en la literatura matemática:

• (a,b)={ {a, 1}, {b, 2} } (Hausdorff, 1914).²
• (a,b)= { {{a}, ∅}, {{b}} } (Wiener, 1914).

 Par Ordenado. 

3.2.1 Definición. Se llama par ordenado a un conjunto formado por dos elementos y un criterio de ordenación que establece cuál es primer elemento y cuál el segundo.

Un par ordenado de componentes a, b es el conjunto {{a}, {a,b}} y se denota (a, b).

A partir de dos objetos a y b, se forma un nuevo objeto (a, b) llamado par ordenado. En general (a, b) ≠ (b, a), a "a" se le llama primera componente o abscisa y a "b" se llama segunda componente u ordenada.

3.2.2 Axioma. (x, y) = (u, v) ⇔ x = u ∧ y = v.

Intuitivamente, dos pares ordenados son iguales sí y sólo sí son iguales sus primeras componentes y sus segundas componentes.

Nota: En muchas ocasiones es necesario tener un conjunto de más de dos elementos, en el cual haya un orden establecido y se pasa entonces a formar conjuntos de n elementos ordenados. Tales conjuntos se llaman n-adas ordenadas. Así: (a₁, a₂,..., a_n) representa la n-ada ordenada de componentes a₁, a₂,..., a_n.

De la misma manera, dos n- adas son iguales sí y sólo sí son iguales componente a componente.

¿Qué son los pares ordenados? Los pares ordenados son muy utilizados cuando graficamos una función matemática en el sistema de coordenadas cartesianas, y muy útiles para visualizar el comportamiento de las ecuaciones y los mapeos.

Casi todo grado universitario o de colegio, y todo curso secundario en matemáticas requieren aprender a dibujar y graficar funciones matemáticas. No importa si usted está tomando cursos en línea (también llamado e-learning), aprendizaje presencial, o una mezcla de ambos métodos.

Desde simples gráficos lineales, hasta funciones parabólicas e incluso curvas trigonométricas, los pares ordenados son necesarios y utilizados en todos los campos de la ciencia y la tecnología.

Es tan fácil trazar puntos en el sistema de coordenadas cartesianas que muchas veces no nos molestamos encontrar los fundamentos matemáticos de los pares ordenados. El sistema de ejes coordenados que se utiliza comúnmente para representar gráficamente las funciones matemáticas se basa en dos líneas supuestamente infinitas que son mutuamente perpendiculares. Esas líneas infinitas son comúnmente denominadas el eje-X y el eje-Y.

El eje-X y el eje-Y son también conjuntos de números; conjuntos de números reales. Cuando graficamos funciones, es decir, cuando hacemos gráficas de ecuaciones, se utiliza el eje-X para representar los valores de la variable independiente, generalmente indicados por la variable-x, y se utiliza el eje-Y para representar los valores de la variable dependiente, denotado generalmente por la variable y.

La estrecha relación entre el sistema cartesiano ortogonal y la teoría de conjuntos es lo que nos asegura resultados fiables cuando se obtiene una representación gráfica del comportamiento de una función matemática. Un gráfico cartesiano es exactamente eso: una imagen visual de una función. Cuando se extienden los ejes ortogonales a un sistema de 3-ejes, obtenemos superficies visuales de funciones. Otros sistemas de 4 ejes pueden ser concebidos, como el modelo del espacio-tiempo físico utilizado en la física de la relatividad.

Si tenemos un conjunto A con dos elementos, por ejemplo A = {x, y}, eso no lo hace un par ordenado, aunque el conjunto tiene dos elementos. La ordenación del conjunto no es una cuestión de cómo se lee A, es decir, la lectura del elemento x primero y luego el elemento y. El hecho es que los conjuntos A = {x, y} y B = {y, x} son el mismo conjunto, porque tiene los mismos elementos. Así que, la forma en que los elementos están escritos no es lo que define la propiedad fundamental de los pares ordenados.

Considere los siguientes dos conjuntos A = {x, y}, P = {x, {y}}; aquí no se puede decir que los conjuntos A y P son los mismos excepto que tienen nombres diferentes. Lo que hace que estos dos conjuntos desiguales es que el elemento y del conjunto A no es el mismo elemento {y} del conjunto P, y es por lo general un número real, mientras que {y} representa el conjunto que contiene el elemento y.

El excesivo uso de llaves {} en el formalismo de la teoría de conjuntos se puede simplificar mediante la adopción del uso de los paréntesis (). Por lo tanto, P = (x, y) representa P = {x, {y}}. Por ejemplo, cuando hablamos del par ordenado (5, 3), nos referimos al conjunto {5, {3}}, que lo graficamos en en los ejes X y Y como X = 5 y Y = 3.

Cuando hacemos una gráfica completa de una función, el conjunto de todos los puntos del eje-X utilizado para el trazado es lo que llamamos el dominio de la función. El conjunto de todos los puntos del eje generado por el dominio usado para el trazado se denomina el rango de la función. El dominio y el rango de algunas funciones son conjuntos infinitos, pero por lo general graficamos de un pequeño subconjunto del dominio.

 recta numérica o recta real¹ es un gráfico unidimensional o línea recta la cual contiene todos los números reales ya sea mediante una correspondencia biunívoca o mediante una aplicación biyectiva, usada para representar los números como puntos especialmente marcados, por ejemplo los números enteros mediante una recta llamada recta graduada entera¹ ordenados y separados con la misma distancia.

Recta numérica en la que se muestran los números enteros entre -9 y 9, se sobrentiende que la recta incluye todos los números reales ilimitadamente en cada sentido.

Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en violeta.

Topologías sobre la recta real

Sobre la recta real se pueden definir diferentes topologías bajo las cuales la recta real tiene propiedades topológicas y geométricas, diferentes de la topología métrica usual.

Topología usual

Punto interior

Sea H un subconjunto de ℝ. Un punto y₀ de H se denomina un punto interior de H, si existe r real positivo tal que 0

 - r, y_º +r > ⊂ A. Al conjunto de los puntos interiores de H se nombra interior de H, se denota por int(a). Si el punto y₀ está en el interior de A, se dirá que A es entorno de dicho punto.²

Ejemplo: Si H = {1}∪[3,5] ∪[6, 8> . Los puntos 1, 3, 5 y 6 no son puntos interiores de H. Mientras int(H) = <3>∪<6 8="">.

Tener presente que si H es parte de J entonces el interior de H es parte de del interior de J. También que el interior de H es parte de H.²

Conjunto abierto

Un subconjunto K de ℝ se llama abierto, si todo punto de K es punto interior de K. Esto es, K ⊂ Int(K).

Es obvio que ℝ y ∅ son conjunto abiertos.

Cualquier intervalo abierto ⊂ℝ es un subconjunto abierto de ℝ

La intersección de <-1 1="" n=""> con <-1 1="" n=""> es un subconjunto abierto de ℝ, para cualquier n entero positivo

<2 8=""> - [4, 6] es un subconjunto abierto de ℝ.

Para cualquier conjunto de números reales su interior es un conjunto abierto.²

Propiedades topológicas

1. La unión de una familia de abiertos de ℝ es un abierto.
2. La intersección de dos abiertos de ℝ es un abierto de ℝ( considerando el conjunto vacío como abierto ).
3. La intersección arbitraria de infinitos abiertos no tiene por que ser un abierto.
4. Los intervalos <- p=""> son conjuntos abiertos; para el caso, el primero es la unión de los abiertos , n recorre todo ℤ₊.²

Punto adherente

Dados el subconjunto M de números reales y el punto real y₀, diremos que este punto es adherente a M si la intersección de M con cualquier intervalo simétrico que contiene a y₀ es no vacía. Al conjunto de puntos adhrentes a M se llama adherencia (clausura) de M y se denota adh(M) o Cl(M).