Geometría analítica

Sistemas de coordenadas

El teorema de Darboux es un teorema en el campo matemático de la geometría diferencial, y más específicamente de las formas diferenciales, generalizando parcialmente el teorema de la integración de Frobenius. Es un resultado fundamental en varios campos, el principal el de la geometría simpléctica. El teorema se nombra en reconocimiento del matemático francés Jean Gaston Darboux¹ que lo estableció en 1882 como la solución del problema de Pfaff² y que también probó un resultado análogo en geometría de contacto.

El teorema afirma que todas las variedades simplécticas son localmente simplectomórficas. Eso significa, que para toda variedad de ese tipo de dimensión 2n existe un homeomorfismo con el espacio lineal simpléctico ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2n},\omega _{0})}$ dotado de la forma simpléctica canónica ω₀. Equivalentemente el teorema implica que en un entorno de cualquier punto puede definirse un conjunto de coordenadas canónicas.

Enunciado del teorema

El enunciado preciso del problema es el siguiente:

Sea ${\displaystyle ({\mathcal {M}},\omega )}$ una variedad simpléctica de dimensión 2n, donde con ${\displaystyle \omega \,}$ es la 2-forma simpléctica. Entonces para cada punto ${\displaystyle P\in {\mathcal {M}}}$ existe una carta local ${\displaystyle (U_{P},\{p_{i},q_{i}\}_{i=1...n})\,}$ que contiene a P tal que ω tiene la forma:

${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}}$

Enunciado más formalmente

Para cada punto de una variedad simpléctica existe una carta local ${\displaystyle \phi :U_{P}\to \mathbb {R} ^{2n}}$ tal que si ${\displaystyle \omega \,}$ es el pullback de la forma simpléctica canónica ${\displaystyle \omega _{0}\,}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ entonces:

${\displaystyle \omega =\phi ^{*}\omega _{0}\,}$

La carta local U_P se llama carta local de Darboux alrededor de P. La variedad simpléctica ${\displaystyle ({\mathcal {M}},\omega )}$ puede ser recubierta mediante un recubrimiento formado por cartas de Darboux. El conjunto de coordenadas de Darboux se llaman usualmente en mecánica hamiltoniana, coordenadas canónicas.

Comparación con la geometría riemanniana

Este resultado implica que no existen invariantes locales en geometría simpléctica. Siempre se puede escoger un sistema de coordenadas canónicas o coordenadas de Darboux, sea cual sea el punto, es decir, todos los puntos presentan cierta equivalencia. Esto contrata con la situación en geometría riemanniana donde por ejemplo la curvatura es un invariante local que permite distinguir unos puntos de otros. En una variedad riemanniana pueden escogerse siempre coordenadas que hagan que en un punto concreto la métrica sea idéntica a la euclídea, pero en general esto no es posible en todo un entorno del punto. En cambio en una variedad simpléctica las coordenadas que hacen de la forma simpléctica la canónica pueden extenderse a todo un entorno del punto.

tupla es una lista ordenada de elementos. Una n-tupla es una secuencia (o lista ordenada) de n elementos, siendo n un número natural (entero no-negativo). La única 0-tupla es la secuencia vacía. Una n-tupla se define inductivamente desde la construcción de un par ordenado. Las tuplas suelen anotarse listando sus elementos entre paréntesis "${\displaystyle ({\text{ }})}$", separados por comas. Por ejemplo, ${\displaystyle (2,7,4,1,7)}$ denota una 5-tupla. En ocasiones se usan otros delimitadores, como los corchetes "${\displaystyle [{\text{ }}]}$" o las angulares "${\displaystyle \langle {\text{ }}\rangle }$". Las tuplas suelen emplearse para describir otros objetos matemáticos, como los vectores. Esto es, una lista con un número limitado de objetos (una secuencia infinita se denomina en matemática como una familia, aunque hay autores que consideran el término tupla para denominar no solo listas finitas). Las tuplas se emplean para describir objetos matemáticos que tienen estructura; es decir, que son capaces de ser descompuestos en un cierto número de componentes. Por ejemplo, un grafo dirigido se puede definir como una tupla de (V, E), donde V es el conjunto de nodos y E es el subconjunto de V × V que denota las aristas del grafo.

Origen del concepto

El término tupla se generó sencillamente de una generalización de la secuencia siguiente: dupla, tripla, cuádrupla, quíntupla, ... n-tupla. Una tupla de longitud n se describe generalmente como una n-tupla. Una 2-tupla, por ejemplo, se denomina un par o dupla; una 3-tupla una tripla o tripleta (en Hispanoamérica también se usa terna o triada). El prefijo n puede ser por generalización cualquier número entero positivo; se puede, por ejemplo, denominar un cuaternión mediante la representación de una 4-tupla, y continuar generando nombres sucesivamente, tales como una octupla, pero muchos matemáticos prefieren la denominación rápida y sencilla de escribir una "8-tupla" incluso si se pronunciara como "octupla".

Definiciones formales

Las principales propiedades que distinguen una tupla de, por ejemplo, un conjunto, son que en dicha tupla:

1. Un objeto puede contener internamente (por agregación) a otros objetos.
2. Los objetos aparecen obligatoriamente representados en un orden dado.

Es de notar que la primera de las características distingue de lo que se denomina un multiconjunto y la segunda de los que se denomina un conjunto ordenado. Esto se puede formalizar dando la siguiente regla de identidad para dos n-tuplas:

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})\Leftrightarrow a_{1}=b_{1},{\text{ }}a_{2}=b_{2},{\text{ }}\ldots ,{\text{ }}a_{n}=b_{n}}$

Otra forma de formalizar tuplas es mediante asociación biyectiva entre la definición de una tupla y una construcción más primitiva en la teoría de conjuntos tal y como pares ordenados. Por ejemplo, una n-tupla (con n> 2) se puede definir como un par ordenado de su primera entrada y (n−1)-tupla que contenga el resto de las entradas, de tal forma que:

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=(a_{1},(a_{2},(\ldots ,(a_{n}))}$

Empleando la definición más corriente dentro de la teoría de conjuntos para un par ordenado y dejando que el conjunto vacío represente la tupla vacía, se puede obtener un resultado correcto empleando una definición por inductiva:

1. La 0-tupla (por ejemplo la tupla vacía) se representa por ${\displaystyle \varnothing }$.
2. Si x es una n-tupla entonces ${\displaystyle \,\{\{a\},\{a,x\}\}}$ es una (n + 1)-tupla.

Empleando esta definición, la 3-tupla ${\displaystyle \,(1,2,2)}$ podría ser:

${\displaystyle \,(1,(2,(2,())))=(1,(2,\{\{2\},\{2,\varnothing \}\}))=(1,\{\{2\},\{2,\{\{2\},\{2,\varnothing \}\}\}\})=\{\{1\},\{1,\{\{2\},\{2,\{\{2\},\{2,\varnothing \}\}\}\}\}\}}$

Existe una similaridad importante aquí con la forma en que se describen objetos en algunos lenguajes informáticos, tales como Lisp en los que generalmente se emplea un par ordenado, y se emplea esta abstracción para iterar todos los elementos de de la estructura del n-tupla, para ello se procede de la siguiente forma:

1. Un símbolo especial, tal y como NIL representa a una lista vacía
2. Si X es una lista y A es un valor arbitrario, entonces el par (A, X) respresenta una lista con la cabecera (es decir el primer elemento) A y la cola (es decir el resto de la estructura) X.

Usos

Ciencias de la computación

En las ciencias de la computación una tupla puede tener dos significados distintos. Generalmente en los lenguajes de programación funcional y en otros lenguajes de programación, una tupla es un objeto que bien puede tener datos o diversos objetos, de forma similar a una tupla definida matemáticamente. Un objeto de este tipo es conocido también como registro (o record en inglés).

Una definición más formal del anterior párrafo sería: Conjunto de elementos de distinto tipo que se guardan de forma consecutiva en memoria.

En algunos lenguajes y especialmente en la teoría de bases de datos, una tupla se define como una función finita que mapea (asocia unívocamente) los nombres con algunos valores. Su propósito es el mismo que se definió en las matemáticas.

Un pequeño ejemplo puede ilustrar esto:

( jugador : "Luis", puntuación : 25 )

En este caso se trata de una función que mapea el campo "jugador" con la cadena "Luis" y el campo "puntuación" al número entero 25. Es de notar que el orden de los componentes no es relevante, de esta forma la misma tupla puede ser re-escrita como: ( puntuación : 25, jugador : "Luis" ). En un modelo relacional tal y como se define en las tuplas, se suele representar una proposición simple, en este caso existe un jugador con el nombre "Luis" y que posee una puntuación de 25.

En los lenguajes de programación las tuplas se suelen usar para formar estructuras de datos. Por ejemplo, lo siguiente podría ser una definición de una estructura de datos para una lista enlazada:

( value : 16, previous-node : 1174782, next-node : 1174791 )

Lenguajes de marcado

Se suele emplear las tuplas en la definición de ciertos elementos en los lenguajes de marcado, tales como XML. En particular forma parte muy importante en parte del diseño de Taxonomías en el lenguaje XBRL para describir informes financieros.

Cálculo relacional

Las tuplas encuentran cabida en el estudio teórico de las bases de datos sobre todo en el campo del cálculo relacional ya que proporcionan una notación básica para formular la definición de la relación en términos de las relaciones de la base de datos. En el cálculo relacional se emplea el cálculo orientado a tuplas, frente al orientado a dominio. Se emplea muy a menudo en la definición a gran nivel de las definiciones de los pares atributo-valor.

lista de algunas fórmulas de cálculo vectorial de empleo corriente trabajando con varios sistemas de coordenadas.

Operación	coordenadas cartesianas (x,y,z)	coordenadas cilíndricas (ρ,φ,z)	coordenadas esféricas (r,θ,φ)
Definición de las coordenadas		${\displaystyle \left[{\begin{matrix}x&=&\rho \cos \phi \\y&=&\rho \operatorname {sen} \phi \\z&=&z\end{matrix}}\right.}$	${\displaystyle \left[{\begin{matrix}x&=&r\operatorname {sen} \theta \cos \phi \\y&=&r\operatorname {sen} \theta \operatorname {sen} \phi \\z&=&r\cos \theta \end{matrix}}\right.}$
		${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\rho &=&{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\phi &=&\arctan(y/x)\\z&=&z\end{matrix}}\right.}$	${\displaystyle \left[{\begin{matrix}r&=&{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=&\arctan(({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})/z)\\\phi &=&\arctan(y/x)\end{matrix}}\right.}$
${\displaystyle \mathbf {A} }$	${\displaystyle A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} }$	${\displaystyle A_{\rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}{\boldsymbol {\hat {z}}}}$	${\displaystyle A_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$
${\displaystyle \nabla f}$	${\displaystyle {\partial f \over \partial x}\mathbf {\hat {x}} +{\partial f \over \partial y}\mathbf {\hat {y}} +{\partial f \over \partial z}\mathbf {\hat {z}} }$	${\displaystyle {\partial f \over \partial \rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+{1 \over \rho }{\partial f \over \partial \phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+{\partial f \over \partial z}{\boldsymbol {\hat {z}}}}$	${\displaystyle {\partial f \over \partial r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{1 \over r\operatorname {sen} \theta }{\partial f \over \partial \phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$
${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$	${\displaystyle {\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}}$	${\displaystyle {1 \over \rho }{\partial \rho A_{\rho } \over \partial \rho }+{1 \over \rho }{\partial A_{\phi } \over \partial \phi }+{\partial A_{z} \over \partial z}}$	${\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial r^{2}A_{r} \over \partial r}+{1 \over r\operatorname {sen} \theta }{\partial A_{\theta }\operatorname {sen} \theta \over \partial \theta }+{1 \over r\operatorname {sen} \theta }{\partial A_{\phi } \over \partial \phi }}$
${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} }$	${\displaystyle {\begin{matrix}\left({\partial A_{z} \over \partial y}-{\partial A_{y} \over \partial z}\right)\mathbf {\hat {x}} &+\\\left({\partial A_{x} \over \partial z}-{\partial A_{z} \over \partial x}\right)\mathbf {\hat {y}} &+\\\left({\partial A_{y} \over \partial x}-{\partial A_{x} \over \partial y}\right)\mathbf {\hat {z}} &\ \end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}\left({1 \over \rho }{\partial A_{z} \over \partial \phi }-{\partial A_{\phi } \over \partial z}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}&+\\\left({\partial A_{\rho } \over \partial z}-{\partial A_{z} \over \partial \rho }\right){\boldsymbol {\hat {\phi }}}&+\\{1 \over \rho }({\partial \rho A_{\phi } \over \partial \rho }-{\partial A_{\rho } \over \partial \phi }){\boldsymbol {\hat {z}}}&\ \end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}{1 \over r\operatorname {sen} \theta }({\partial A_{\phi }\operatorname {sen} \theta \over \partial \theta }-{\partial A_{\theta } \over \partial \phi }){\boldsymbol {\hat {r}}}&+\\({1 \over r\operatorname {sen} \theta }{\partial A_{r} \over \partial \phi }-{1 \over r}{\partial rA_{\phi } \over \partial r}){\boldsymbol {\hat {\theta }}}&+\\{1 \over r}({\partial rA_{\theta } \over \partial r}-{\partial A_{r} \over \partial \theta }){\boldsymbol {\hat {\phi }}}&\ \end{matrix}}}$
${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f}$	${\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}}$	${\displaystyle {1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }(\rho {\partial f \over \partial \rho })+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}}$	${\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}(r^{2}{\partial f \over \partial r})+{1 \over r^{2}\operatorname {sen} \theta }{\partial \over \partial \theta }(\operatorname {sen} \theta {\partial f \over \partial \theta })+{1 \over r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}}$
${\displaystyle \Delta \mathbf {A} =\nabla ^{2}\mathbf {A} }$	${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} \Delta A_{x}+\mathbf {\hat {y}} \Delta A_{y}+\mathbf {\hat {z}} \Delta A_{z}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}(\Delta A_{\rho }-{A_{\rho } \over \rho ^{2}}-{2 \over \rho ^{2}}{\partial A_{\phi } \over \partial \phi })&+\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}(\Delta A_{\phi }-{A_{\phi } \over \rho ^{2}}+{2 \over \rho ^{2}}{\partial A_{\rho } \over \partial \phi })&+\\{\boldsymbol {\hat {z}}}\Delta A_{z}&\ \end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}&(\Delta A_{r}-{2A_{r} \over r^{2}}-{2A_{\theta }\cos \theta \over r^{2}\operatorname {sen} \theta }\\\ &-{2 \over r^{2}}{\partial A_{\theta } \over \partial \theta }-{2 \over r^{2}\operatorname {sen} \theta }{\partial A_{\phi } \over \partial \phi })&+\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}&(\Delta A_{\theta }-{A_{\theta } \over r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }\\\ &+{2 \over r^{2}}{\partial A_{r} \over \partial \theta }-{2\cos \theta \over r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }{\partial A_{\phi } \over \partial \phi })&+\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}&(\Delta A_{\phi }-{A_{\phi } \over r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }\\\ &+{2 \over r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }{\partial A_{r} \over \partial \phi }+{2\cos \theta \over r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }{\partial A_{\theta } \over \partial \phi })&\ \end{matrix}}}$
Reglas de cálculo no triviales: ${\displaystyle \operatorname {div\ grad\ } f=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f=\Delta f}$ (laplaciano) ${\displaystyle \operatorname {rot\ grad\ } f=\nabla \times (\nabla f)=0}$ ${\displaystyle \operatorname {div\ rot\ } \mathbf {A} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$ ${\displaystyle \operatorname {rot\ rot\ } \mathbf {A} =\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla ^{2}\mathbf {A} }$ ${\displaystyle \Delta fg=f\Delta g+2\nabla f\cdot \nabla g+g\Delta f}$ Fórmula de Lagrange para el producto vectorial: ${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )}$