Geometría elemental

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen determinadas condiciones o propiedades geométricas.

En el plano

Ejemplos de lugares geométricos en el plano:

• El lugar geométrico de los puntos que equidistan a otros dos puntos fijos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ es una recta o eje de simetría de dichos dos puntos. Si los dos puntos son los dos extremos de un segmento ${\displaystyle {\overline {AB}}}$, dicha recta o lugar geométricos, es llamada mediatriz y es la recta que se interseca perpendicularmente a ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ en su punto medio.

• La bisectriz es también un lugar geométrico. Dado un ángulo la bisectriz cumple la propiedad de que todos sus puntos equidistan a los lados de dicho ángulo, convirtiéndose la bisectriz en un caso particular del lugar geométrico que sigue a continuación.

• Generalizando la propiedad de equidistancia a dos rectas, obtenemos que la paralela media es el lugar geométrico de los puntos que las equidistan. Se observa que, bajo el punto de vista de que las rectas paralelas se cortan en el infinito -se elimina, pues, la noción de paralelismo-, pasa a ser un sinónimo de la bisectriz, donde el ángulo ha tomado valor nulo. Si, por el contrario, se diferencia el concepto de paralelismo, la bisectriz vuelve a ser, como se ha dicho antes, un caso particular de esta definición y el caso de rectas paralelas, con ángulo 0, es disjunto al de las bisectrices (ángulo no nulo).

Secciones cónicas

Las secciones cónicas pueden ser descritas mediante sus lugares de geométria:

• La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto determinado, el centro, es un valor dado (el radio).

• La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos, los focos, es una constante equivalente a la longitud del semieje mayor de la elipse.

• La parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un foco equivale a su distancia a una recta llamada directriz.

• La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos, los focos, es igual a una constante (positiva), que equivale a la distancia entre los vértices.

En el espacio

Figuras geométricas muy complejas pueden ser descritas mediante el lugar geométrico generado por los ceros de una función o de un polinomio. Por ejemplo, las cuádricas están definidas como el lugar geométrico de los ceros de polinomios cuadráticos.

En general, los lugares geométricos generados por los ceros del conjunto de polinomios reciben el nombre de variedad algebraica, las propiedades de dichas variedades se estudian en la geometría algebraica.

Imagínate una serie de puntos en un plano en que todos gozan de la misma propiedad a ese conjunto de puntos le llamamos lugar geométrico.

Seguramente te he aclarado muy poco. Veamos un ejemplo muy sencillo.

Últimamente hemos estudiado diversos aspectos de la circunferencia. La circunferencia la dibujamos en un plano, un papel, la pizarra, etc., y en realidad se trata de muchos puntos que poseen todos, la misma propiedad  y es que equidistan (están a igual distancia) de otro punto fijo que llamamos centro.

En este caso, la circunferencia es un lugar geométrico.

En la figura tienes 50 puntos muy grandes redondos de color amarillo. Todos estos puntos amarillos gozan de la propiedad de estar a la misma distancia del centro, representado por un gran punto circular de color rojo. La distancia de cada punto al centro viene representada por una línea azul y es la misma para todos los puntos amarillos.
El lugar geométrico de los puntos amarillos representa a una circunferencia.

El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos se llama mediatriz:

Cualquiera de las líneas de puntos de D tiene la misma longitud que su correspondiente en D’.

Recuerda que la mediatriz de un segmento  es la perpendicular a este segmento cuyos puntos están a igual distancia de A y B y divide a  en dos partes iguales.Podemos definir a la mediatriz de un segmento como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos A y B.

Todos los puntos de la mediatriz gozan de la propiedad de equidistar de dos puntos fijos.

Anteriormente definimos la bisectriz de un ángulo como la recta que partiendo del vértice divide a un ángulo en dos partes iguales.

Ahora, como lugar geométrico de los puntos del plano, podríamos definir:

Bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo.

En el siguiente dibujo vemos la bisectriz  cuyos puntos están a igual distancia D del lado de las ordenadas que la distancia D’ con relación al eje de la abscisa:

En este caso, todos los puntos del plano de la bisectriz gozan de la propiedad de equidistar de los lados.

15.158  ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano que distan la misma longitud D respecto a otra recta dada?

Respuesta: Una recta paralela a otra dada.

Solución:

Si tenemos una recta r:

y desde cada punto de esta línea  coloco una distancia d:

Obtendré una sucesión de puntos que gozan todos de estar a la misma distancia d:

siendo estos puntos los que forman la nueva recta r’ paralela a r:

medianas o transversales de gravedad¹ de un triángulo son, cada uno de los tres segmentos que unen cada vértice con el punto medio de su lado opuesto.

Propiedades

Las transversales de gravedad de un triángulo (líneas verdes) se cortan en el baricentro (centro de gravedad).

Las medianas tienen las siguientes propiedades:

• Cada mediana divide al triángulo en dos triángulos, de los cuales es un lado común; dichos triángulos, en general, no son congruentes, pero sí de igual área, por ejemplo para el caso de la mediana AI (véase la figura) dichas regiones son los dos triángulos ΔABI y ΔACI de igual área.
• Las tres medianas se intersecan en un único punto, llamado baricentro.
• Dos tercios de la longitud de cada mediana están entre el vértice y el baricentro, mientras que el tercio restante está entre el baricentro y el punto medio del lado opuesto.
• Para cualquier triángulo (euclidiano) con lados ${\displaystyle a,b,c}$, medianas ${\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}}$ y perímetro ${\displaystyle p}$, se cumple la siguiente desigualdad:²

${\displaystyle {\frac {3}{4}}p<\left(m_{a}+m_{b}+m_{c}\right)<{\frac {3}{2}}p}$

• Para cualquier triángulo (euclidiano) con lados ${\displaystyle a,b,c}$ y medianas ${\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}}$, ${\displaystyle pr_{a}}$ la proyección de ${\displaystyle m_{a}}$ sobre a, los elementos indicados verifican las siguientes ecuaciones:²

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}\;=\;{\tfrac {3}{4}}\;(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$

${\displaystyle b^{2}+c^{2}=2m_{a}^{2}+{\frac {a^{2}}{2}}}$

${\displaystyle m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}}$

${\displaystyle 2apr_{a}=b^{2}-c^{2}}$

³

Relación con el centro de gravedad

Cada una de las tres medianas de un triángulo pasa por el centroide del mismo, el cual es coincidente con el centro de gravedad de un objeto con forma de triángulo (si éste es de densidad uniforme). Así, dicho objeto estaría en equilibrio en cualquier transversal de gravedad (línea que pase a través del centro de gravedad ), Las medianas son solo tres transversales de gravedad, del haz infinito de transversales de gravedad del triángulo.

Teorema de la mediana

fig. m1: Esquema con áreas → ( ${\displaystyle {\scriptstyle {\color {Red}a^{2}}\;+\;{\color {Orange}b^{2}}\;=\;{\color {Blue}{\frac {1}{2}}\;c^{2}}\;+\;{\color {OliveGreen}2\;M^{2}}}}$ ).

En geometría, el teorema de Apolonio, también llamado teorema de la mediana, es un teorema que relaciona la longitud de la mediana de un triángulo con las longitudes de sus lados.

Teorema de Apolonio (teorema de la mediana) Para todo triángulo la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera, es igual a la mitad del cuadrado del tercer lado más el doble del cuadrado de su mediana correspondiente. Apolonio de Perga

Para cualquier triángulo ΔABC (véase fig. m1), si M es la mediana correspondiente al lado c, donde AP = PB = ½ c, entonces :

${\displaystyle a^{2}+b^{2}={\frac {1}{2}}\;c^{2}+2\;M^{2}}$

Medianas (fórmulas de aplicación práctica)

Del teorema de Apolonio, también llamado "teorema de la mediana", pueden deducirse varias fórmulas prácticas (válidas para cualquier triángulo). Estas permiten calcular a partir del conocimiento de tres elementos, a un cuarto elemento desconocido, (los elementos en cuestión son lados y medianas). La siguiente tabla muestra un resumen de las mismas (con notación acorde a la figura de la propia tabla) :

Triángulos — Medianas ( fórmulas prácticas II )

${\displaystyle M_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2\left(b^{2}+c^{2}\right)-a^{2}}}}$
${\displaystyle M_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2\left(a^{2}+c^{2}\right)-b^{2}}}}$
${\displaystyle M_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)-c^{2}}}}$
${\displaystyle a={\sqrt {2\left(b^{2}+c^{2}\right)-4M_{a}^{2}}}}$	${\displaystyle b={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2M_{a}^{2}}}}$	${\displaystyle c={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2M_{a}^{2}}}}$
${\displaystyle a={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2M_{b}^{2}}}}$	${\displaystyle b={\sqrt {2\left(a^{2}+c^{2}\right)-4M_{b}^{2}}}}$	${\displaystyle c={\sqrt {-a^{2}+{\frac {b^{2}}{2}}+2M_{b}^{2}}}}$
${\displaystyle a={\sqrt {-b^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}+2M_{c}^{2}}}}$	${\displaystyle b={\sqrt {-a^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}+2M_{c}^{2}}}}$	${\displaystyle c={\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)-4M_{c}^{2}}}}$
( Lados: a, b y c ) — ( Medianas: Ma, Mb y Mc )4 — ( Semilados: ma=na = ½ a , mb=nb = ½ b y mc=nc = ½ c ).

En el triángulo isósceles

${\displaystyle m_{a}=h_{a}=b_{A}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4b^{2}-a^{2}}}}$; ${\displaystyle m_{b}=m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2a^{2}+b^{2}}}}$⁵

En el triángulo rectángulo

${\displaystyle m_{a}={\frac {a}{2}}}$

${\displaystyle m_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}-3b^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+3c^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+4c^{2}}}}$

${\displaystyle m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}-3c^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+3b^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4b^{2}+c^{2}}}}$^6 7

Triángulo mediano

Se conoce con el nombre de triángulo mediano respecto a otro triángulo al que tiene como vértices los puntos medios de un triángulo cualquiera dado.

Proposiciones

• Los lados de un triángulo mediano son las bases medias de un triángulo dado.
• El baricentro de un triángulo coincide con el baricentro del triángulo mediano.
• El área de un triángulo mediano es 1/4 del área del triángulo original.
• Un triángulo mediano es semejante al triángulo inicial⁸
• En cualquier triángulo isósceles la mediana correspondiente a la base es a la vez altura y bisectriz y es parte de la línea mediatriz de tal base.⁹

Mediana de un trapecio

En cualquier trapecio, se llama mediana al segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos. Recibe también el nombre de paralela media.¹⁰

• La mediana del trapecio es paralela a las bases e igual a la semisuma de las mismas.

La mediana de un triángulo es el segmento que une uno de sus vértices con el centro del costado opuesto.

Hay tres medianas (m_a, m_b y m_c), según de que vértice parta ésta. La longitud de las medianas se calcula a partir del teorema de la mediana:

Las tres medianas de un triángulo confluyen en un punto llamado baricentro o centroide (G).

En cualquier mediana, la distancia entre el baricentro (o centroide) G y el centro de su lado correspondiente es 1/3 de la longitud de dicha mediana.

En física, el baricentro (G) sería el centro de gravedad del triángulo.

Ejemplo

ANUNCIOS

Sea un triángulo de costados conocidos, siendo estos a=2 cm, b=4 cm y c=3 cm.

¿Cuales son sus medianas m_a, m_b y m_c?

Mediante la fórmula anterior se obtiene que las medianas son m_a=3,39 cm, m_b=1,58 cm y m_c=2,78 cm.