COSMOLOGÍA FÍSICA

Más allá del modelo estándar
Datos simulados del detector de partículas CMS de gran Hadron Collider que representan un bosón de Higgs producido por protones en colisión que se descomponen en chorros de hadrones y electrones
Modelo estandar
Evidencia[show]
Las teorías[mostrar]
La supersimetría[mostrar]
Gravedad cuántica[ocultar] Teoria de las cuerdas Gravedad cuántica de bucle Cosmología cuántica de bucles Triangulación dinámica causal Sistemas de fermiones causales Conjuntos causales Simetría de eventos Gravedad cuántica canónica Teoría del vacío superfluido
Experimentos[mostrar]
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La seguridad asintótica (a veces también denominada renormalizabilidad no perturbativa ) es un concepto en la teoría del campo cuántico que tiene como objetivo encontrar una teoría cuántica consistente y predictiva del campo gravitatorio . Su ingrediente clave es un punto fijo no trivial del flujo del grupo de renormalización de la teoría que controla el comportamiento de las constantes de acoplamiento en el régimen ultravioleta (UV) y hace que las cantidades físicas estén a salvo de divergencias. Aunque originalmente propuesto por Steven Weinberg para encontrar una teoría de la gravedad cuántica , la idea de un punto fijo no trivial proporciona una posible terminación UV.puede aplicarse también a otras teorías de campo, en particular a las perturbativamente no normalizables . En este sentido, es similar a la trivialidad cuántica .

La esencia de la seguridad asintótica es la observación de que los puntos fijos del grupo de renormalización no trivial se pueden utilizar para generalizar el procedimiento de renormalización perturbativa . En una teoría asintóticamente segura, los acoplamientos no necesitan ser pequeños o tienden a cero en el límite de alta energía, sino que tienden a valores finitos: se acercan a un punto fijo UV no trivial . El funcionamiento de las constantes de acoplamiento, es decir, su dependencia de escala descrita por el grupo de renormalización (RG), es por lo tanto especial en su límite UV en el sentido de que todas sus combinaciones adimensionales siguen siendo finitas. Esto es suficiente para evitar divergencias no físicas, por ejemplo, en amplitudes de dispersión . El requisito de un punto fijo UV restringe la forma de la acción desnuday los valores de las constantes de acoplamiento simples, que se convierten en predicciones del programa de seguridad asintótica en lugar de entradas.

En cuanto a la gravedad, el procedimiento estándar de renormalización perturbativa falla ya que la constante de Newton , el parámetro de expansión relevante, tiene una dimensión de masa negativa que hace que la relatividad general no se pueda normalizar perturbativamente. Esto ha impulsado la búsqueda de marcos no perturbativos que describan la gravedad cuántica, incluida la seguridad asintótica que, en contraste con otros enfoques, se caracteriza por su uso de métodos de teoría cuántica de campos, sin depender de técnicas perturbativas, sin embargo. En la actualidad, hay evidencia acumulada de un punto fijo adecuado para la seguridad asintótica, mientras que todavía falta una prueba rigurosa de su existencia.

Motivación [ editar ]

La gravedad, a nivel clásico, se describe mediante las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein.$${\ displaystyle \ textstyle R _ {\ mu \ nu} - {1 \ sobre 2} g _ {\ mu \ nu} \, R + g _ {\ mu \ nu} \ Lambda = 8 \ pi G \, T _ {\ mu \ nu}}. Estas ecuaciones combinan la geometría del espacio-tiempo codificada en la métrica $${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}Con el contenido de materia comprendido en el tensor de energía-momento. $${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu}}. La naturaleza cuántica de la materia ha sido probada experimentalmente, por ejemplo, la electrodinámica cuántica es una de las teorías confirmadas con mayor precisión en la física. Por esta razón, la cuantización de la gravedad también parece plausible. Desafortunadamente, la cuantización no se puede realizar de manera estándar (renormalización perturbativa): ya una simple consideración de conteo de potencia señala la no alteración perturbativa ya que la dimensión de masa de la constante de Newton es$${\ displaystyle -2}. El problema se produce de la siguiente manera. De acuerdo con el punto de vista tradicional, la renormalización se implementa a través de la introducción de contra-términos que deberían cancelar expresiones divergentes que aparecen en integrales de bucle . Sin embargo, aplicando este método a la gravedad, los contragolpes requeridos para eliminar todas las divergencias proliferan hasta un número infinito. Como esto inevitablemente conduce a un número infinito de parámetros libres para ser medidos en experimentos, es poco probable que el programa tenga un poder predictivo más allá de su uso como una teoría efectiva de baja energía .

Resulta que las primeras divergencias en la cuantización de la relatividad general que no se pueden absorber de manera sistemática (es decir, sin la necesidad de introducir nuevos parámetros) ya aparecen a nivel de un solo bucle en presencia de campos de materia. ^[1] A nivel de dos bucles, las divergencias problemáticas surgen incluso en gravedad pura. ^[2] Para superar esta dificultad conceptual, se requería el desarrollo de técnicas no perturbativas, que proporcionaban varias teorías candidatas de la gravedad cuántica.. Durante mucho tiempo, la opinión predominante ha sido que el concepto mismo de la teoría cuántica de campos, aunque tenga un éxito notable en el caso de las otras interacciones fundamentales, está condenado al fracaso de la gravedad. A modo de contraste, la idea de seguridad asintótica conserva campos cuánticos como el escenario teórico y, en cambio, abandona solo el programa tradicional de renormalización perturbativa.

Historia de seguridad asintótica [ editar ]

Después de darse cuenta de la no alteración perturbativa de la gravedad, los físicos intentaron emplear técnicas alternativas para curar el problema de la divergencia, por ejemplo, resumir o teorías extendidas con campos de materia y simetrías adecuados, todo lo cual tiene sus propios inconvenientes. En 1976, Steven Weinbergpropuso una versión generalizada de la condición de renormalización, basada en un punto fijo no trivial del flujosubyacente del grupo de renormalización (RG) para la gravedad. ^[3] Esto fue llamado seguridad asintótica. ^[4] [5]La idea de una terminación UV mediante un punto fijo no trivial de los grupos de renormalización había sido propuesta anteriormente por Kenneth G. Wilson y Giorgio Parisi.en la teoría del campo escalar ^[6] [7] (véase también Trivialidad cuántica ). La aplicabilidad a teorías perturbativas no renovables se demostró por primera vez explícitamente para el modelo sigma no lineal ^[8] y para una variante del modelo Gross-Neveu . ^[9]

En cuanto a la gravedad, los primeros estudios sobre este nuevo concepto se realizaron en $${\ displaystyle d = 2 + \ epsilon}Dimensiones del espacio-tiempo a finales de los setenta. En exactamente dos dimensiones hay una teoría de la gravedad pura que puede renormalizarse según el punto de vista anterior. (Para renderizar la acción de Einstein – Hilbert $${\ displaystyle \ textstyle {1 \ sobre 16 \ pi G} \ int \ mathrm {d} ^ {2} x {\ sqrt {g}} \, R} Sin dimensiones, la constante de Newton. $${\ displaystyle G}debe tener dimensión de masa cero.) Para pequeño pero finito$${\ displaystyle \ epsilon} La teoría de la perturbación todavía es aplicable, y uno puede expandir la función beta($${\ displaystyle \ beta}-función) que describe el grupo de renormalización que ejecuta la constante de Newton como una serie de potencias en $${\ displaystyle \ epsilon}. De hecho, con este espíritu fue posible demostrar que muestra un punto fijo no trivial. ^[4]

Sin embargo, no estaba claro cómo hacer una continuación de $${\ displaystyle d = 2 + \ epsilon} a $${\ displaystyle d = 4} Dimensiones según los cálculos basados ​​en la pequeñez del parámetro de expansión. $${\ displaystyle \ epsilon}. Los métodos computacionales para un tratamiento no perturbativo no estaban disponibles en este momento. Por esta razón, la idea de seguridad asintótica en la gravedad cuántica se dejó de lado durante algunos años. Solo a principios de los 90, aspectos de$${\ displaystyle 2+ \ epsilon} La gravedad dimensional ha sido revisada en varias obras, pero aún no se continúa con la dimensión a cuatro.

En cuanto a los cálculos más allá de la teoría de la perturbación, la situación mejoró con el advenimiento de los nuevos métodos funcionales de grupo de renormalización , en particular la llamada acción promedio efectiva (una versión dependiente de la escala de la acción efectiva ). Introducido en 1993 por Christof Wetterich y Tim R Morris para las teorías escalares, ^[10] [11] y por Martin Reuter y Christof Wetterich para las teorías de gaugegeneral (en el espacio plano euclidiano), ^[12] es similar a una acción wilsoniana ( tosca energía libre granulada ) ^[6] y aunque se argumenta que difiere a un nivel más profundo, ^[13]de hecho está relacionado por una transformada de Legendre. ^[11] La dependencia de la escala de corte de este funcional se rige por una ecuación de flujo funcional que, a diferencia de los intentos anteriores, también se puede aplicar fácilmente en presencia de simetrías de calibre local.

En 1996, Martin Reuter construyó una acción promedio efectiva similar y la ecuación de flujo asociada para el campo gravitatorio. ^[14] Cumple con el requisito de independencia de fondo , uno de los principios fundamentales de la gravedad cuántica. Este trabajo puede considerarse un avance esencial en los estudios de seguridad asintótica relacionados con la gravedad cuántica, ya que brinda la posibilidad de cálculos no perturbativos para las dimensiones arbitrarias del espacio-tiempo. Se demostró que al menos para el truncamiento de Einstein-Hilbert , la respuesta más simple para la acción promedio efectiva, un punto fijo no trivial está de hecho presente.

Estos resultados marcan el punto de partida para muchos cálculos que siguieron. Dado que no estaba claro en el trabajo pionero de Martin Reuter en qué medida los hallazgos dependían del corteje analizado por Ansz, el siguiente paso obvio consistió en ampliar el truncamiento. Este proceso fue iniciado por Roberto Percacci y sus colaboradores, comenzando con la inclusión de campos de materia. ^[15] Hasta el presente, muchos trabajos diferentes de una comunidad en continuo crecimiento, que incluyen, por ejemplo,$${\ displaystyle f (R)}- y los truncamientos al tensor cuadrado de Weyl - han confirmado independientemente que el escenario de seguridad asintótica es realmente posible: la existencia de un punto fijo no trivial se mostró dentro de cada truncamiento estudiado hasta ahora. ^[16] Aunque todavía falta una prueba final, existe una creciente evidencia de que el programa de seguridad asintótica puede llevar a una teoría cuántica de la gravedad consistente y predictiva dentro del marco general de la teoría de campos cuánticos .

Seguridad asintótica: la idea principal [ editar ]

Espacio teórico [ editar ]

Las trayectorias del grupo de renormalización fluyen en el espacio de la teoría, parametrizadas por infinitas constantes de acoplamiento. Por convención, las flechas del campo vectorial (y la que está en la trayectoria verde) apuntan desde las escalas UV a IR. El conjunto de acciones que se encuentran dentro del espacio de la teoría y son arrastrados hacia el punto fijo bajo el flujo inverso de RG (es decir, yendo en la dirección opuesta a las flechas) se conoce como superficie crítica de UV. La hipótesis de seguridad asintótica es que una trayectoria solo se puede realizar en la Naturaleza si está contenida en la superficie crítica de UV, ya que solo entonces tiene un límite de alta energía de buen comportamiento (naranja, azul y magenta, como ejemplo). Trayectorias fuera de este espacio de la teoría de escape superficial para$${\ displaystyle k \ rightarrow \ infty}ya que desarrollan divergencias inaceptables en el UV, mientras que van bajando escalas, se acercan a la superficie crítica del UV. Esta situación está representada por la trayectoria verde que se encuentra sobre la superficie y se aleja para aumentar la escala RG (opuesta a la flecha verde).

El programa de seguridad asintótica adopta un punto de vista wilsoniano moderno sobre la teoría cuántica de campos. Aquí, los datos de entrada básicos que deben fijarse al principio son, en primer lugar, los tipos de campos cuánticos que llevan los grados de libertad dela teoría y, en segundo lugar, las simetríassubyacentes. Para cualquier teoría considerada, estos datos determinan la etapa en la que tiene lugar la dinámica del grupo de renormalización, el llamado espacio de la teoría. Consiste en todas las funciones de acción posibles en función de los campos seleccionados y respetando los principios de simetría prescritos. Cada punto en este espacio teórico representa así una acción posible. A menudo, uno puede pensar en el espacio como lo abarcan todos los monomios de campo adecuados. En este sentido, cualquier acción en el espacio teórico es una combinación lineal de monomios de campo, donde los coeficientes correspondientes son las constantes de acoplamiento ,$${\ displaystyle \ {g _ {\ alpha} \}}. (Aquí se supone que todos los acoplamientos son adimensionales. Los acoplamientos siempre pueden hacerse adimensionales mediante la multiplicación con una potencia adecuada de la escala RG).

Grupo de renormalización de flujo [ editar ]

El grupo de renormalización (RG) describe el cambio de un sistema físico debido a que suaviza o promedia los detalles microscópicos cuando se pasa a una resolución más baja. Esto pone en juego una noción de dependencia de escala para los funcionarios de acción de interés. Las transformaciones de RG infinitesimales mapean las acciones a las cercanas, dando lugar a un campo vectorial en el espacio de la teoría. La dependencia de escala de una acción se codifica en una "ejecución" de las constantes de acoplamiento que parametrizan esta acción,$${\ displaystyle \ {g _ {\ alpha} \} \ equiv \ {g _ {\ alpha} (k) \}}, con la escala RG $${\ displaystyle k}. Esto da lugar a una trayectoria en el espacio teórico (trayectoria RG), que describe la evolución de una acción funcional con respecto a la escala. Cuál de todas las trayectorias posibles se realiza en la Naturaleza tiene que ser determinado por medidas.

Tomando el límite UV [ editar ]

La construcción de una teoría cuántica de campos equivale a encontrar una trayectoria RG que se extiende infinitamente en el sentido de que la acción funcional descrita por $${\ displaystyle \ {g _ {\ alpha} (k) \}} se comporta bien para todos los valores del parámetro de escala de momento $${\ displaystyle k}, incluido el límite infrarrojo $${\ displaystyle k \ rightarrow 0} y el límite ultravioleta (UV) $${\ displaystyle k \ rightarrow \ infty}. La seguridad asintótica es una forma de lidiar con este último límite. Su requisito fundamental es la existencia de un punto fijo del flujo de RG. Por definición este es un punto$${\ displaystyle \ {g _ {\ alpha} ^ {*} \}}en el espacio teórico donde se detiene la ejecución de todos los acoplamientos, o, en otras palabras, un cero de todas las funciones beta :$${\ displaystyle \ beta _ {\ gamma} (\ {g _ {\ alpha} ^ {*} \}) = 0} para todos $${\ displaystyle \ gamma}. Además, ese punto fijo debe tener al menos una dirección atractiva para los rayos UV. Esto asegura que hay una o más trayectorias RG que se ejecutan en el punto fijo para aumentar la escala. El conjunto de todos los puntos en el espacio de la teoría que se "arrastran" hacia el punto fijo de UV al ir a escalas más grandes se conoce como superficie crítica de UV . Por lo tanto, la superficie crítica UV consta de todas aquellas trayectorias que están a salvo de divergencias UV en el sentido de que todos los acoplamientos se aproximan a valores de punto fijo finitos como$${\ displaystyle k \ rightarrow \ infty}. La hipótesis clave que subyace a la seguridad asintótica es que solo las trayectorias que se ejecutan completamente dentro de la superficie crítica UV de un punto fijo apropiado pueden extenderse infinitamente y, por lo tanto, definir una teoría de campo cuántica fundamental. Es obvio que tales trayectorias se comportan bien en el límite UV ya que la existencia de un punto fijo les permite "permanecer en un punto" durante un "tiempo" de RG infinitamente largo.

Con respecto al punto fijo, las direcciones atractivas a los rayos UV se denominan relevantes, las direcciones repulsivas a los rayos UV son irrelevantes, ya que los campos de escalamiento correspondientes aumentan y disminuyen, respectivamente, cuando se reduce la escala. Por lo tanto, la dimensionalidad de la superficie crítica UV es igual al número de acoplamientos relevantes. Una teoría asintóticamente segura es, por lo tanto, cuanto más predictiva es, más pequeña es la dimensionalidad de la superficie crítica de UV correspondiente.

Por ejemplo, si la superficie crítica UV tiene la dimensión finita $${\ displaystyle n} es suficiente para realizar solo $${\ displaystyle n}Mediciones para identificar de forma única la trayectoria de RG de la naturaleza. Una vez el$${\ displaystyle n}se miden los acoplamientos relevantes, el requisito de seguridad asintótica corrige todos los demás acoplamientos, ya que estos últimos deben ajustarse de tal manera que la trayectoria de RG se encuentre dentro de la superficie crítica de UV. En este sentido, la teoría es altamente predictiva, ya que un número finito de mediciones fija infinitos parámetros.

En contraste con otros enfoques, una acción simple que debe ser promovida a una teoría cuántica no es necesaria como una entrada aquí. El espacio teórico y las ecuaciones de flujo de RG determinan los posibles puntos fijos de UV. Dado que este punto fijo, a su vez, corresponde a una acción simple, se puede considerar la acción simple como una predicción en el programa de seguridad asintótica. Esto puede pensarse como una estrategia de búsqueda sistemática entre teorías que ya son "cuánticas" que identifican las "islas" de teorías físicamente aceptables en el "mar" de las inaceptables plagadas de singularidades de corta distancia.

Puntos fijos gaussianos y no gaussianos [ editar ]

Un punto fijo se llama gaussiano si corresponde a una teoría libre. Sus exponentes críticos concuerdan con las dimensiones de masa canónicas de los operadores correspondientes, que generalmente equivalen a valores de puntos fijos triviales.$${\ displaystyle g _ {\ alpha} ^ {*} = 0} para todos los acoplamientos esenciales $${\ displaystyle g _ {\ alpha}}. Por lo tanto, la teoría de la perturbación estándar solo es aplicable en la vecindad de un punto fijo gaussiano. En este sentido, la seguridad asintótica en el punto fijo gaussiano es equivalente a la alteración de la normalidad perturbativa más la libertad asintótica . Sin embargo, debido a los argumentos presentados en las secciones introductorias, esta posibilidad se descarta por gravedad.

En contraste, un punto fijo no trivial, es decir, un punto fijo cuyos exponentes críticos difieren de los canónicos, se conoce como no gaussiano . Por lo general esto requiere$${\ displaystyle g _ {\ alpha} ^ {*} \ neq 0} por al menos un esencial $${\ displaystyle g _ {\ alpha}}. Es un punto fijo no gaussiano que ofrece un posible escenario para la gravedad cuántica. Hasta ahora, los estudios sobre este tema se centraban principalmente en establecer su existencia.

Quantum Einstein Gravity (QEG) [ editar ]

La gravedad cuántica de Einstein (QEG) es el nombre genérico de cualquier teoría cuántica de campo de la gravedad que (independientemente de su acción ) toma la métrica del espacio-tiempo como la variable de campo dinámico y cuya simetría está dada por la invariabilidad del difeomorfismo . Esto corrige el espacio teórico y un flujo RG de la acción promedio efectiva definida sobre él, pero no señala a priori ninguna acción específica funcional. Sin embargo, la ecuación de flujo determina un campo vectorial en ese espacio teórico que puede investigarse. Si muestra un punto fijo no gaussiano por medio del cual se puede tomar el límite UV de manera "asintóticamente segura", este punto adquiere el estado de la acción.

Implementación a través de la acción promedio efectiva [ editar ]

Ecuación de grupo de renormalización funcional exacta [ editar ]

Artículo principal: Grupo de renormalización funcional.

La herramienta principal para investigar el flujo gravitacional de RG con respecto a la escala de energía$${\ displaystyle k} En el nivel no perturbativo es la acción promedio efectiva. $${\ displaystyle \ Gamma _ {k}}por la gravedad. ^[14] es la versión dependiente de la escala de la acción eficaz donde en los subyacentes integrales funcionales modos de campo con covariante de movimiento por debajo$${\ displaystyle k}Se suprimen mientras que solo los restantes se integran. Para un espacio teórico dado, dejemos$${\ displaystyle \ Phi} y $${\ displaystyle {\ bar {\ Phi}}}denota el conjunto de campos dinámicos y de fondo, respectivamente. Entonces$${\ displaystyle \ Gamma _ {k}}satisface la siguiente ecuación de RG funcional de tipo Wetterich-Morris (FRGE): ^[10] [11]

$${\ displaystyle k \ parcial _ {k} \ Gamma _ {k} {\ big [} \ Phi, {\ bar {\ Phi}} {\ big]} = {\ frac {1} {2}} \, {\ mbox {STr}} {\ Big [} {\ big (} \ Gamma _ {k} ^ {(2)} {\ big [} \ Phi, {\ bar {\ Phi}} {\ big]} + {\ mathcal {R}} _ {k} [{\ bar {\ Phi}}] {\ big)} ^ {- 1} k \ partial _ {k} {\ mathcal {R}} _ {k} [{\ bar {\ Phi}}] {\ Big]}.}

aquí $${\ displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {(2)}}Es el segundo derivado funcional de$${\ displaystyle \ Gamma _ {k}} con respecto a los campos cuánticos $${\ displaystyle \ Phi} en fijo $${\ displaystyle {\ bar {\ Phi}}}. El operador de supresión de modo.$${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {k} [{\ bar {\ Phi}}]} provee un $${\ displaystyle k}Dependiente a largo plazo para fluctuaciones con momentos covariantes. $${\ displaystyle p ^ {2} \ ll k ^ {2}} y desaparece para $${\ displaystyle p ^ {2} \ gg k ^ {2}}. Su aparición en el numerador y denominador hace que la supertracia. $${\ displaystyle ({\ mbox {STr}})} Tanto infrarrojo como UV finito, alcanzando un máximo en el momento $${\ displaystyle p ^ {2} \ approx k ^ {2}}. El FRGE es una ecuación exacta sin ninguna aproximación perturbativa. Dada una condición inicial que determina$${\ displaystyle \ Gamma _ {k}} para todas las escalas únicamente.

Las soluciones $${\ displaystyle \ Gamma _ {k}} de la interpolación de FRGE entre la acción desnuda (microscópica) en $${\ displaystyle k \ rightarrow \ infty}y la acción efectiva $${\ displaystyle \ Gamma [\ Phi] = \ Gamma _ {k = 0} {\ big [} \ Phi, {\ bar {\ Phi}} = \ Phi {\ big]}} a $${\ displaystyle k \ rightarrow 0}. Se pueden visualizar como trayectorias en el espacio teóricosubyacente . Tenga en cuenta que el FRGE en sí es independiente de la acción desnuda. En el caso de una teoría asintóticamente segura, la acción simple está determinada por el punto fijo funcional$${\ displaystyle \ Gamma _ {*} = \ Gamma _ {k \ rightarrow \ infty}}.

Truncamientos del espacio de la teoría [ editar ]

Supongamos que hay un conjunto de funciones básicas. $${\ displaystyle \ {P _ {\ alpha} [\, \ cdot \,] \}}que abarca el espacio teórico en cuestión para que cualquier acción funcional, es decir, cualquier punto de este espacio teórico, pueda escribirse como una combinación lineal de$${\ displaystyle P _ {\ alpha}}'s. Entonces soluciones$${\ displaystyle \ Gamma _ {k}}Del FRGE tenemos expansiones de la forma.

$${\ displaystyle \ Gamma _ {k} [\ Phi, {\ bar {\ Phi}}] = \ sum \ limits _ {\ alpha = 1} ^ {\ infty} g _ {\ alpha} (k) P _ {\ alpha} [\ Phi, {\ bar {\ Phi}}].}

Insertando esta expansión en el FRGE y expandiendo la traza en su lado derecho para extraer las funciones beta, se obtiene la ecuación exacta de RG en forma de componente:$${\ displaystyle k \ parcial _ {k} g _ {\ alpha} (k) = \ beta _ {\ alpha} (g_ {1}, g_ {2}, \ cdots)}. Junto con las condiciones iniciales correspondientes, estas ecuaciones fijan la evolución de los acoplamientos en funcionamiento.$${\ displaystyle g _ {\ alpha} (k)}, y asi determinar $${\ displaystyle \ Gamma _ {k}}completamente. Como se puede ver, el FRGE da lugar a un sistema de infinitas ecuaciones diferenciales acopladas, ya que hay infinitos acoplamientos, y la$${\ displaystyle \ beta}-Las funciones pueden depender de todas ellas. Esto hace que sea muy difícil resolver el sistema en general.

Una posible salida es restringir el análisis en un subespacio de dimensión finita como una aproximación del espacio completo de la teoría. En otras palabras, tal truncamiento del espacio de la teoría establece todos menos un número finito de acoplamientos a cero, considerando solo la base reducida$${\ displaystyle \ {P _ {\ alpha} [\, \ cdot \,] \}} con $${\ displaystyle \ alpha = 1, \ cdots, N}. Esto equivale a la ansatz.

$${\ displaystyle \ Gamma _ {k} [\ Phi, {\ bar {\ Phi}}] = \ sum \ limits _ {\ alpha = 1} ^ {N} g _ {\ alpha} (k) P _ {\ alpha } [\ Phi, {\ bar {\ Phi}}],}

conduciendo a un sistema de finamente muchas ecuaciones diferenciales acopladas, $${\ displaystyle k \ parcial _ {k} g _ {\ alpha} (k) = \ beta _ {\ alpha} (g_ {1}, \ cdots, g_ {N})}, que ahora se puede resolver empleando técnicas analíticas o numéricas.

Claramente, un truncamiento debe elegirse de tal manera que incorpore tantas características del flujo exacto como sea posible. Aunque es una aproximación, el flujo truncado todavía muestra el carácter no perturbador del FRGE, y el flujo$${\ displaystyle \ beta}-Las funciones pueden contener contribuciones de todos los poderes de los acoplamientos.

Evidencia de seguridad asintótica a partir de ecuaciones de flujo truncadas [ editar ]

Diagrama de flujo QEG para el truncamiento de Einstein-Hilbert. Las flechas apuntan desde las escalas UV a IR. El color de fondo oscuro indica una región de flujo rápido, en regiones de fondo claro el flujo es lento o incluso cero. El último caso incluye una proximidad del punto fijo gaussiano en el origen y el NGFP en el centro de las flechas en espiral, respectivamente. La trayectoria cruzada tangente a las flechas verdes conecta lo no gaussiano con el punto fijo gaussiano y desempeña el papel de separatriz .

El truncamiento de Einstein-Hilbert [ editar ]

Como se describe en la sección anterior, el FRGE se presta a una construcción sistemática de aproximaciones no perturbativas a las funciones beta gravitacionales al proyectar el flujo de RG exacto en subespacios abarcados por un ansatz adecuado para$${\ displaystyle \ Gamma _ {k}}. En su forma más simple, tal acción está dada por la acción de Einstein-Hilbert donde la constante de Newton $${\ displaystyle G_ {k}}y la constante cosmológica $${\ displaystyle \ Lambda _ {k}} Depende de la escala RG $${\ displaystyle k}. Dejar$${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}} y $${\ displaystyle {\ bar {g}} _ {\ mu \ nu}}denota la dinámica y la métrica de fondo, respectivamente. Entonces$${\ displaystyle \ Gamma _ {k}} lecturas, para la dimensión de espacio-tiempo arbitrario $${\ displaystyle d},

$${\ displaystyle \ Gamma _ {k} [g, {\ bar {g}}, \ xi, {\ bar {\ xi}}] = {\ frac {1} {16 \ pi G_ {k}}} \ int {\ text {d}} ^ {d} x \, {\ sqrt {g}} \, {\ big (} -R (g) +2 \ Lambda _ {k} {\ big)} + \ Gamma _ {k} ^ {\ text {gf}} [g, {\ bar {g}}] + \ Gamma _ {k} ^ {\ text {gh}} [g, {\ bar {g}}, \ xi, {\ bar {\ xi}}].}

Retrato de fase para el truncamiento de Einstein-Hilbert. Se muestran las trayectorias RGcorrespondientes al diagrama de flujo en el lado izquierdo. (Primero obtenido en Ref. ^[17] )

aquí $${\ displaystyle R (g)}Es la curvatura escalar construida a partir de la métrica.$${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}. Además,$${\ displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {\ text {gf}}}denota la acción de fijación del medidor , y$${\ displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {\ text {gh}}}La acción fantasma con los campos fantasma.$${\ displaystyle \ xi} y $${\ displaystyle {\ bar {\ xi}}}.

El correspondiente $${\ displaystyle \ beta}-funciones, describiendo la evolución de la constante de Newton adimensional $${\ displaystyle g_ {k} = k ^ {d-2} G_ {k}} y la constante cosmológica adimensional. $${\ displaystyle \ lambda _ {k} = k ^ {- 2} \ Lambda _ {k}}, se han derivado por primera vez en la referencia ^[14] para cualquier valor de la dimensionalidad del espacio-tiempo, incluidos los casos de$${\ displaystyle d} abajo y arriba $${\ displaystyle 4}dimensiones. En particular, en$${\ displaystyle d = 4}Las dimensiones dan lugar al diagrama de flujo RG que se muestra en el lado izquierdo. El resultado más importante es la existencia de un punto fijo no gaussiano adecuado para la seguridad asintótica. Es atractivo a la luz UV tanto en$${\ displaystyle g}- y en $${\ displaystyle \ lambda}-dirección.

Este punto fijo está relacionado con el que se encuentra en$${\ displaystyle d = 2 + \ epsilon}Dimensiones por métodos perturbativos en el sentido de que se recupera en el enfoque no perturbativo presentado aquí insertando $${\ displaystyle d = 2 + \ epsilon} en el $${\ displaystyle \ beta}-Funciones y ampliaciones en potencias de. $${\ displaystyle \ epsilon}. ^[14] Desde la$${\ displaystyle \ beta}Se demostró que las funciones existen y se calculan explícitamente para cualquier valor real, es decir, no necesariamente entero $${\ displaystyle d}No hay implicación analítica aquí involucrada. El punto fijo en$${\ displaystyle d = 4} Las dimensiones también son un resultado directo de las ecuaciones de flujo no perturbativas y, en contraste con los intentos anteriores, no hay extrapolación en $${\ displaystyle \ epsilon} es requerido.

Truncamientos extendidos [ editar ]

Posteriormente, la existencia del punto fijo encontrado en el truncamiento de Einstein-Hilbert se ha confirmado en subespacios de complejidad sucesivamente creciente. El siguiente paso en este desarrollo fue la inclusión de un$${\ displaystyle R ^ {2}}- Termino en el truncamiento de ansatz. ^[18] Esto se ha ampliado aún más teniendo en cuenta los polinomios de la curvatura escalar$${\ displaystyle R} (así llamado $${\ displaystyle f (R)}-truncamientos), ^[19] y el cuadrado del tensor de curvatura de Weyl . ^[20] [21] Además, se ha investigado el impacto de varios tipos de campos de materia. ^[15] También los cálculos basados ​​en una acción promedio efectiva invariable de reparación de campo parecen recuperar el punto fijo crucial. ^[22] En combinación, estos resultados constituyen una fuerte evidencia de que la gravedad en cuatro dimensiones es una teoría cuántica del campo cuántico no perturbable, de hecho con una superficie crítica de UVde dimensionalidad reducida, coordinada por solo unos pocos acoplamientos relevantes. ^[dieciséis]

La estructura microscópica de espacio-tiempo [ editar ]

Los resultados de las investigaciones relacionadas con la seguridad asintótica indican que los tiempos espacialesefectivos de QEG tienen propiedades de tipo fractal en escalas microscópicas. Es posible determinar, por ejemplo, su dimensión espectral y argumentar que experimentan una reducción dimensional de 4 dimensiones en distancias macroscópicas a 2 dimensiones microscópicamente. ^[23] [24] En este contexto, podría ser posible establecer una conexión con otros enfoques de la gravedad cuántica, por ejemplo, con triangulaciones dinámicas causales , y comparar los resultados. ^[25]

Aplicaciones físicas de la gravedad asintóticamente segura [ editar ]

Artículo principal: Aplicaciones físicas de la gravedad asintóticamente segura.

Las consecuencias fenomenológicas del escenario de seguridad asintótica se han investigado en muchas áreas de la física gravitatoria. Como ejemplo, la seguridad asintótica en combinación con el Modelo Estándar permite una declaración sobre la masa del bosón de Higgs y el valor de la constante de estructura fina . ^[26] Además, proporciona posibles explicaciones para fenómenos particulares en cosmología y astrofísica , por ejemplo , sobre los agujeros negros o la inflación . ^[26] Estos diferentes estudios aprovechan la posibilidad de que el requisito de seguridad asintótica puede dar lugar a nuevas predicciones y conclusiones para los modelos considerados, a menudo sin depender de supuestos adicionales, posiblemente no observados.