MATEMÁTICAS - LISTA DE TEMAS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

semigrupo es una estructura algebraica que consiste en un conjunto junto con una operación binaria asociativa .

La operación binaria de un semigrupo a menudo se denota multiplicativamente : x · y , o simplemente xy , denota el resultado de aplicar la operación de semigrupo al par ordenado ( x , y ) . La asociatividad se expresa formalmente como que ( x · y ) · z = x · ( y · z ) para todos los x , y y z en el semigrupo.

El nombre "semigrupo" se origina en el hecho de que un semigrupo generaliza un grupo al preservar solo la asociatividad y el cierre bajo la operación binaria de los axiomas que definen un grupo y omite el requisito de un elemento de identidad e inversa. ^{[nota 1]} Desde el punto de vista opuesto (de agregar en lugar de eliminar axiomas ), un semigrupo es un magma asociativo . Como en el caso de grupos o magmas, la operación del semigrupo no necesita ser conmutativa , por lo que x · y no es necesariamente igual a y · x ; Un ejemplo típico de operación asociativa pero no conmutativa esmultiplicación de matrices . Si la operación del semigrupo es conmutativa, entonces el semigrupo se denomina semigrupo conmutativo o (con menos frecuencia que en el caso análogo de grupos ) puede denominarse semigrupo abeliano .

Un monoide es una estructura algebraica intermedia entre grupos y semigrupos, y es un semigrupo que tiene un elemento de identidad , por lo que obedece a todos menos uno de los axiomas de un grupo; No se requiere la existencia de inversos de un monoide. Un ejemplo natural son las cadenas con concatenación como operación binaria y la cadena vacía como elemento de identidad. La restricción a cadenas no vacías da un ejemplo de un semigrupo que no es un monoide. Los enteros positivos con suma forman un semigrupo conmutativo que no es un monoide, mientras que los enteros no negativoshacer un monoide. Un semigrupo sin un elemento de identidad se puede convertir fácilmente en un monoide simplemente agregando un elemento de identidad. En consecuencia, los monoides se estudian en la teoría de los semigrupos en lugar de en la teoría de grupos. Los semigrupos no deben confundirse con los cuasigrupos , que son una generalización de grupos en una dirección diferente; la operación en un quasigroup no necesita ser asociativa, pero los quasigroups conservan de los grupos una noción de división . La división en semigrupos (o en monoides) no es posible en general.

El estudio formal de los semigrupos comenzó a principios del siglo XX. Los primeros resultados incluyen un teorema de Cayley para semigrupos que realizan cualquier semigrupo como semigrupo de transformación , en el que las funciones arbitrarias reemplazan el papel de las biecciones de la teoría de grupos. Sin embargo, otras técnicas fundamentales de estudiar semigrupos como las relaciones de Green no imitan nada en la teoría de grupos. Un resultado profundo en la clasificación de semigrupos finitos es la teoría de Krohn-Rhodes . La teoría de los semigrupos finitos ha sido de particular importancia en la informática teórica desde la década de 1950 debido al vínculo natural entre los semigrupos finitos y los autómatas finitos a través del monoide sintáctico.. En la teoría de la probabilidad , los semigrupos están asociados con los procesos de Markov . ^[1] [2] En otras áreas de las matemáticas aplicadas , los semigrupos son modelos fundamentales para sistemas lineales invariantes en el tiempo . En las ecuaciones diferenciales parciales , un semigrupo está asociado a cualquier ecuación cuya evolución espacial es independiente del tiempo. Existen numerosas clases especiales de semigrupos , semigrupos con propiedades adicionales, que aparecen en aplicaciones particulares. Algunas de estas clases están aún más cerca de los grupos al exhibir algunas propiedades adicionales de un grupo, pero no todas. De estos mencionamos: semigrupos regulares ,Semigrupos ortodoxos , semigrupos con involución , semigrupos inversos y semigrupos cancelativos . También hay clases interesantes de semigrupos que no contienen ningún grupo, excepto el grupo trivial ; Ejemplos de este último tipo son las bandas y su subclase conmutativa: semilattices , que también son estructuras algebraicas ordenadas .

Un semigrupo es un conjunto. $${\ displaystyle S}junto con una operación binaria "$${\ displaystyle \ cdot}"(es decir, una función $${\ displaystyle \ cdot: S \ times S \ rightarrow S}) que satisface la propiedad asociativa :

Para todos $${\ displaystyle a, b, c \ en S}, la ecuacion $${\ displaystyle (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c)} sostiene

Más sucintamente, un semigrupo es un magma asociativo .

Ejemplos de semigrupos [ editar ]

• Semigroup vacío : el conjunto vacío forma un semigroup con la función vacía como la operación binaria.
• Semigrupo con un elemento : esencialmente hay solo uno (específicamente, solo uno hasta isomorfismo ), el singleton { a } con la operación a · a = a .
• Semigrupo con dos elementos : hay cinco que son esencialmente diferentes.
• El conjunto de enteros positivos con la suma. (Con 0 incluido, esto se convierte en un monoide ).
• El conjunto de enteros con mínimo o máximo. (Con el infinito positivo / negativo incluido, esto se convierte en un monoide).
• Matrices cuadradas no negativas de un tamaño dado con multiplicación de matrices.
• Cualquier ideal de un anillo con la multiplicación del anillo.
• El conjunto de todas las cadenas finitas sobre un alfabeto fijo Σ con concatenación de cadenas como operación de semigrupo, el llamado " semigrupo libre sobre Σ". Con la cadena vacía incluida, este semigrupo se convierte en el monoide libre sobre Σ.
• Una distribución de probabilidad F junto con todas las potencias de convolución de F, con convolución como la operación. Esto se llama un semigrupo de convolución.
• Un monoide es un semigrupo con un elemento de identidad .
• Un grupo es un monoide en el que cada elemento tiene un elemento inverso .
• Semigrupos de transformación y monoides .
• El conjunto de funciones continuas de un espacio topológico a sí mismo con composición de funciones forma un monoide con la función de identidad actuando como la identidad. Más en general, los endomorfismos de cualquier objeto de una categoría forman un monoide en composición.

Conceptos básicos [ editar ]

Identidad y cero [ editar ]

Una identidad izquierda de un semigrupo.$${\ displaystyle S}(o más en general, el magma ) es un elemento$${\ displaystyle e} tal que para todos $${\ displaystyle x} en $${\ displaystyle S}, $${\ displaystyle ex = x}. Del mismo modo, una identidad correcta es un elemento.$${\ displaystyle f} tal que para todos $${\ displaystyle x} en $${\ displaystyle S}, $${\ displaystyle xf = x}. Las identidades izquierda y derecha se denominan identidades unilaterales . Un semigrupo puede tener una o más identidades a la izquierda pero no una identidad a la derecha, y viceversa.

Una identidad de dos lados (o simplemente identidad ) es un elemento que es tanto una identidad izquierda como una derecha. Los semigrupos con una identidad de dos caras se llaman monoides . Un semigrupo puede tener a lo sumo una identidad de dos caras. Si un semigrupo tiene una identidad de dos lados, entonces la identidad de dos lados es la única identidad de un solo lado en el semigrupo. Si un semigrupo tiene una identidad izquierda y una identidad derecha, entonces tiene una identidad de dos caras (que por lo tanto es la identidad única de una cara).

Un semigrupo $${\ displaystyle S}sin identidad se puede incrustar en un monoide formado por un elemento adyacente$${\ displaystyle e \ notin S} a $${\ displaystyle S} y definiendo $${\ displaystyle e \ cdot s = s \ cdot e = s} para todos $${\ displaystyle s \ en S \ cup \ {e \}}. ^[3] [4] La notación$${\ displaystyle S ^ {1}} denota un monoide obtenido de $${\ displaystyle S}adjuntando una identidad si es necesario ($${\ displaystyle S ^ {1} = S}para un monoide). ^[4]

De manera similar, cada magma tiene a lo sumo un elemento absorbente , que en la teoría de semigrupos se llama cero . Análogamente a la construcción anterior, para cada semigrupo$${\ displaystyle S}, se puede definir $${\ displaystyle S ^ {0}}, un semigrupo con 0 que incrusta $${\ displaystyle S}.

Subgrupos e ideales [ editar ]

La operación de semigrupo induce una operación en la colección de sus subconjuntos: dados los subconjuntos Ay B de un semigrupo S , su producto A · B , escrito comúnmente como AB , es el conjunto { ab | a en A y b en B }. (Esta noción se define de forma idéntica a los grupos ). En términos de esta operación, se llama un subconjunto A

• un sub-grupo si AA es un subconjunto de A ,
• un ideal correcto si AS es un subconjunto de A , y
• un ideal a izquierda si SA es un subconjunto de A .

Si A es tanto un ideal de izquierda como un ideal de derecha, entonces se llama ideal (o ideal de dos caras ).

Si S es un semigrupo, entonces la intersección de cualquier colección de subsemigroups de S es también un subsemigroup de S . Así que los subgrupos de S forman una red completa .

Un ejemplo de semigrupo sin ideal mínimo es el conjunto de enteros positivos que se suman. El ideal mínimo de un semigrupo conmutativo , cuando existe, es un grupo.

Las relaciones de Green , un conjunto de cinco relaciones de equivalencia que caracterizan a los elementos en términos de los ideales principales que generan, son herramientas importantes para analizar los ideales de un semigrupo y las nociones relacionadas de estructura.

El subconjunto con la propiedad que todos sus elementos conmuta con cualquier otro elemento del semigrupo se denomina el centro del semigrupo. ^[5] El centro de un semigrupo es en realidad un subgrupo. ^[6]

Homomorfismos y congruencias [ editar ]

Un homomorfismo semigrupo es una función que preserva la estructura de semigrupos. Una función f : S → Tentre dos semigrupos es un homomorfismo si la ecuación

f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) .

se mantiene para todos los elementos a , b en S , es decir, el resultado es el mismo cuando se realiza la operación de semigrupo después o antes de aplicar el mapa f .

Un homomorfismo semigrupo entre monoides conserva la identidad si se trata de un homomorfismo monoide . Pero hay homomorfismos semigrupos que no son homomorfismos monoides, por ejemplo, la inclusión canónica de un semigrupo$${\ displaystyle S} sin identidad en $${\ displaystyle S ^ {1}}. Las condiciones que caracterizan los homomorfismos monoides se discuten más a fondo. Dejar$${\ displaystyle f: S_ {0} \ a S_ {1}}Ser un homomorfismo semigrupo. La imagen de$${\ displaystyle f}También es un semigrupo. Si$${\ displaystyle S_ {0}} Es un monoide con un elemento de identidad. $${\ displaystyle e_ {0}}, entonces $${\ displaystyle f (e_ {0})} Es el elemento de identidad en la imagen de. $${\ displaystyle f}. Si$${\ displaystyle S_ {1}} También es un monoide con un elemento de identidad. $${\ displaystyle e_ {1}} y $${\ displaystyle e_ {1}} pertenece a la imagen de $${\ displaystyle f}, entonces $${\ displaystyle f (e_ {0}) = e_ {1}}es decir $${\ displaystyle f}Es un homomorfismo monoide. En particular, si$${\ displaystyle f}Es suryectivo , entonces es un homomorfismo monoide.

Se dice que dos semigrupos S y T son isomorfos si hay una bijection f  : S ↔ T con la propiedad de que, para cualquier elemento a , b en S , f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) . Los semigrupos isomorfos tienen la misma estructura.

Una congruencia semigrupo $${\ displaystyle \ sim}es una relación de equivalencia que es compatible con la operación de semigrupo. Es decir, un subconjunto.$${\ displaystyle \ sim \; \ subseteq S \ times S} Esa es una relación de equivalencia y $${\ displaystyle x \ sim y \,} y $${\ displaystyle u \ sim v \,} implica $${\ displaystyle xu \ sim yv \,} para cada $${\ displaystyle x, y, u, v}en s . Como cualquier relación de equivalencia, una congruencia de semigrupos.$${\ displaystyle \ sim}induce clases de congruencia

$${\ displaystyle [a] _ {\ sim} = \ {x \ en S \ vert \; x \ sim a \}}

y la operación semigrupo induce una operación binaria $${\ displaystyle \ circ} en las clases de congruencia:

$${\ displaystyle [u] _ {\ sim} \ circ [v] _ {\ sim} = [uv] _ {\ sim}}

Porque $${\ displaystyle \ sim} es una congruencia, el conjunto de todas las clases de congruencia de $${\ displaystyle \ sim} forma un semigrupo con $${\ displaystyle \ circ}, llamado cociente semigrupo o factor semigrupo , y se denota$${\ displaystyle S / \ sim}. El mapeo$${\ displaystyle x \ mapsto [x] _ {\ sim}}es un homomorfismo semigrupo, llamada la aplicación cociente , canónica surjection o de proyección ; si S es un monoide, el semigrupo cociente es un monoide con identidad$${\ displaystyle [1] _ {\ sim}}. Por el contrario, el núcleo de cualquier homomorfismo semigrupo es una congruencia semigrupo. Estos resultados no son más que una particularización del primer teorema de isomorfismo en el álgebra universal . Las clases de congruencia y los monoides de factor son los objetos de estudio en los sistemas de reescritura de cadenas .

Una congruencia nuclear en S es uno que es el núcleo de un endomorfismo de S . ^[7]

Un semigrupo S satisface la condición máxima en congruencias si alguna familia de congruencias en S , ordenada por inclusión, tiene un elemento máximo. Por el Lema de Zorn , esto es equivalente a decir que la condición de cadena ascendente sostiene: no hay una infinita cadena estrictamente ascendente de congruencias en S . ^[8]

Cada ideales I de un semigrupo induce una subsemigroup, el factor de semigrupo Rees a través de la congruencia x ρ y   ⇔ o bien x = y o ambos x y y están en I .

Cocientes y divisiones [ editar ]

Las siguientes nociones ^[9] introducen la idea de que un semigrupo está contenido en otro.

Un semigrupo T es un cociente de un semigrupo S si hay un morfismo semigrupo sobreyectiva de S a T . Por ejemplo,$${\ displaystyle (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}, +)} es un cociente de $${\ displaystyle (\ mathbb {Z} / 4 \ mathbb {Z}, +)}, usando el morfismo que consiste en tomar el resto módulo pde un número entero.

Un semigrupo T divide un semigrupo S , anotado$${\ displaystyle T \ preceq S}si T es un cociente de un subsemigroup S . En particular, subsemigroups de S divide T , mientras que no es necesariamente el caso que hay un cociente de S .

Ambas relaciones son transitivas.

Estructura de semigrupos [ editar ]

Para cualquier subconjunto A de S hay un pequeño subsemigroup T de S que contiene A , y decimos que A genera T . Un solo elemento x de S genera el subgrupo { x ⁿ | n es un entero positivo}. Si esto es finito, entonces se dice que x es de orden finito , de lo contrario es de orden infinito . Se dice que un semigrupo es periódicoSi todos sus elementos son de orden finito. Un semigrupo generado por un solo elemento se dice que es monogénico (o cíclico ). Si un semigrupo monogénico es infinito, entonces es isomorfo al semigrupo de enterospositivos con la operación de adición. Si es finito y no vacío, debe contener al menos un idempotente . Se deduce que cada semigrupo periódico no vacío tiene al menos un idempotente.

Un subgrupo que también es un grupo se llama subgrupo . Existe una estrecha relación entre los subgrupos de un semigrupo y sus idempotents. Cada subgrupo contiene exactamente un idempotente, a saber, el elemento de identidad del subgrupo. Para cada idempotente e del semigrupo hay un único subgrupo máximo que contiene e . Cada subgrupo máximo surge de esta manera, por lo que hay una correspondencia de uno a uno entre idempotentes y subgrupos máximos. Aquí el término subgrupo máximo difiere de su uso estándar en la teoría de grupos.

A menudo se puede decir más cuando el orden es finito. Por ejemplo, cada semigrupo finito no vacío es periódico y tiene un ideal mínimo y al menos un idempotente. El número de semigrupos finitos de un tamaño dado (mayor que 1) es (obviamente) mayor que el número de grupos del mismo tamaño. Por ejemplo, de las dieciséis posibles "tablas de multiplicación" para un conjunto de dos elementos {a, b}, ocho semigrupos forman ^{[nota 2],} mientras que solo cuatro de estos son monoides y solo dos grupos forman. Para obtener más información sobre la estructura de los semigrupos finitos, consulte la teoría de Krohn-Rhodes .

Clases especiales de semigrupos [ editar ]

Artículo principal: Clases especiales de semigrupos.

• Un monoide es un semigrupo con identidad.
• Un subgrupo es un subconjunto de un semigrupo que se cierra bajo la operación del semigrupo.
• Una banda es un semigrupo cuya operación es idempotente .
• Un semigrupo cancelativo es uno que tiene la propiedad de cancelación : ^[10] a · b = a · c implica b = c y de manera similar para b · a = c · a .
• Un semilattice es un semigroup cuyo funcionamiento es idempotente y conmutativo .
• Semigrupos 0-simples .
• Semigrupos de transformación : cualquier semigrupo S finito puede representarse mediante transformaciones de un conjunto (estado) Q como máximo | S | + 1 estados. Cada elemento x de S continuación, asigna Q en sí mismo x : Q → Q y la secuencia xy es definido por q ( xy () = qx ) y para cada q en Q . La secuenciación claramente es una operación asociativa, aquí equivalente a la composición de la función. Esta representación es básica para cualquier autómata o máquina de estados finitos (FSM).
• El semigrupo bicíclico es, de hecho, un monoide, que se puede describir como el semigrupo libre en dos generadores p y q , bajo la relación pq = 1 .
• C ₀ -semigroups .
• Semigrupos regulares . Cada elemento x tiene al menos una y inversa que satisface xyx = x y yxy = y ; los elementos de x y y son a veces llamados "mutuamente inversa".
• Los semigrupos inversos son semigrupos regulares donde cada elemento tiene exactamente un inverso. Alternativamente, un semigrupo regular es inverso si y solo si dos de los idempotents conmutan.
• Semigrupo afín: un semigrupo que es isomorfo a un subgrupo de Z ^d generado finamente . Estos semigrupos tienen aplicaciones al álgebra conmutativa .

Teorema de estructura para semigrupos conmutativos [ editar ]

Existe un teorema de estructura para semigrupos conmutativos en términos de semilattices . ^[11] Un semilattice (o más precisamente un meet-semilattice)$${\ displaystyle (L, \ leq)}es un conjunto parcialmente ordenado donde cada par de elementos$${\ displaystyle a, b \ in L}tiene un mayor límite inferior , denotado$${\ displaystyle a \ wedge b}. La operacion$${\ displaystyle \ wedge} hace $${\ displaystyle L}en un semigrupo que cumpla con la ley de idempotencia adicional$${\ displaystyle a \ wedge a = a}.

Dado un homomorfismo $${\ displaystyle f: S \ to L} de un semigrupo arbitrario a un semilattice, cada imagen inversa $${\ displaystyle S_ {a} = f ^ {- 1} \ {a \}}es un semigrupo (posiblemente vacío). Además,$${\ displaystyle S}se clasifica por$${\ displaystyle L}, en el sentido de que

$${\ displaystyle S_ {a} S_ {b} \ subseteq S_ {a \ wedge b}}

Si $${\ displaystyle f} es sobre, la semilattice $${\ displaystyle L}es isomorfo al cociente de$${\ displaystyle S} por la relación de equivalencia $${\ displaystyle \ sim} tal que $${\ displaystyle x \ sim y} si $${\ displaystyle f (x) = f (y)}. Esta relación de equivalencia es una congruencia de semigrupos, como se definió anteriormente.

Cada vez que tomamos el cociente de un semigrupo conmutativo por una congruencia, obtenemos otro semigrupo conmutativo. El teorema de la estructura dice que para cualquier semigrupo conmutativo$${\ displaystyle S}, hay una mejor congruencia $${\ displaystyle \ sim} tal que el cociente de $${\ displaystyle S}Por esta relación de equivalencia es un semilattice. Denotando este semilattice por$${\ displaystyle L}, conseguimos un homomorfismo $${\ displaystyle f} desde $${\ displaystyle S} sobre $${\ displaystyle L}. Como se mencionó,$${\ displaystyle S} se califica por este semilattice.

Además, los componentes $${\ displaystyle S_ {a}}Son todos los semigrupos arquimedianos . Un semigrupo arquimediano es uno donde se le da cualquier par de elementos$${\ displaystyle x, y}existe un elemento $${\ displaystyle z} y {\ displaystyle n> 0} tal que $${\ displaystyle x ^ {n} = yz}.

La propiedad arquimediana se desprende inmediatamente de la ordenación en el semilattice $${\ displaystyle L}, ya que con este pedido tenemos $${\ displaystyle f (x) \ leq f (y)} si y solo si $${\ displaystyle x ^ {n} = yz} para algunos $${\ displaystyle z} y {\ displaystyle n> 0}.

Grupo de fracciones [ editar ]

El grupo de fracciones o la finalización grupal de un semigrupo S es el grupo G = G ( S ) generado por los elementos de S como generadores y todas las ecuaciones xy = z que se mantienen verdaderas en S como relaciones . ^[12] Hay un homomorfismo semigrupo obvio j  : S → G ( S ) que envía cada elemento de S al generador correspondiente. Esto tiene una propiedad universal.para los morfismos de S a un grupo: ^[13] dado cualquier grupo H y cualquier homomorfismo semigrupo k  : S → H , existe un grupo único de homomorfismo f  : G → H con k = fj . Podemos pensar en G como el grupo "más general" que contiene una imagen de homomorphic S .

Una pregunta importante es caracterizar aquellos semigrupos para los cuales este mapa es una incrustación. No siempre es necesario que este sea el caso: por ejemplo, tome S como el semigrupo de subconjuntos de algún conjunto X con intersección teórica de conjuntos como operación binaria (este es un ejemplo de una semilabtica). Desde A . A = A se aplica a todos los elementos de S , esto también debe ser cierto para todos los generadores de G ( S ): que, por lo tanto, es el grupo trivial . Es claramente necesario para la incrustación que S tenga la propiedad de cancelación . Cuando ses conmutativa esta condición también es suficiente ^[14] y el grupo Grothendieck del semigrupo proporciona una construcción del grupo de fracciones. El problema de los semigrupos no conmutativos se puede rastrear hasta el primer documento sustancial sobre los semigrupos. ^[15] [16] Anatoly Maltsev dio las condiciones necesarias y suficientes para la integración en 1937. ^[17]

Métodos semigrupo en ecuaciones diferenciales parciales [ editar ]

Más información: C0-semigroup

La teoría de semigrupos se puede utilizar para estudiar algunos problemas en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales . En términos generales, el enfoque de semigrupo es considerar una ecuación diferencial parcial dependiente del tiempo como una ecuación diferencial ordinaria en un espacio de función. Por ejemplo, considere el siguiente problema de valor inicial / límite para la ecuación de calor en el intervalo espacial (0, 1) ⊂ R y tiempos t ≥ 0 :

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ parcial _ {t} u (t, x) = \ parcial _ {x} ^ {2} u (t, x), y x \ in (0,1), t> 0; \\ u (t, x) = 0, & x \ in \ {0,1 \}, t> 0; \\ u (t, x) = u_ {0} (x), & x \ in (0 , 1), t = 0. \ End {cases}}}

Sea X = L ² ((0, 1) R ) el espacio L ^p de las funciones de valores reales integrables de forma cuadrada con el intervalo del dominio (0, 1) y sea A el operador de la segunda derivada con el dominio

$${\ displaystyle D (A) = {\ big \ {} u \ en H ^ {2} ((0,1); \ mathbf {R}) {\ big |} u (0) = u (1) = 0 {\ big \}},}

donde H ² es un espacio de Sobolev . Entonces, el problema de valor inicial / límite anterior se puede interpretar como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria en el espacio X :

$${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {u}} (t) = Au (t); \\ u (0) = u_ {0}. \ end {cases}}}

En un nivel heurístico, la solución a este problema "debería" ser u ( t ) = exp ( tA ) u ₀ . Sin embargo, para un tratamiento riguroso, se debe dar un significado a la exponencial de tA . Como una función de t , exp ( tA ) es un semigrupo de operadores de X a sí mismo, llevando el estado inicial u ₀ en el tiempo t = 0 al estado u ( t ) = exp ( tA ) u ₀ en el tiempo t . El operador ASe dice que es el generador infinitesimal del semigrupo.

Historia [ editar ]

El estudio de los semigrupos se ubicó detrás de otras estructuras algebraicas con axiomas más complejos, como grupos o anillos . Varias fuentes ^[18] [19] atribuyen el primer uso del término (en francés) a J.-A. de Séguier en Élements de la Théorie des Groupes Abstraits (Elementos de la teoría de los grupos abstractos) en 1904. El término se usa en inglés en 1908 en la Teoría de los grupos de orden finita de Harold Hinton .

Anton Suschkewitsch obtuvo los primeros resultados no triviales sobre los semigrupos. Su artículo de 1928 "Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit" ("En grupos finitos sin la regla de invertibilidad única") determinó la estructura de los semigrupos finitos simples y mostró que el ideal mínimo (o laclase de relaciones de Green ) de un semigrupo finito es simple ^[19] A partir de ese momento, los fundamentos de la teoría de semigrupos fueron establecidos por David Rees , James Alexander Green , Evgenii Sergeevich Lyapin , Alfred H. Clifford y Gordon Preston.. Los dos últimos publicaron una monografía de dos volúmenes sobre teoría de semigrupos en 1961 y 1967 respectivamente. En 1970, una nueva publicación periódica llamada Semigroup Forum (actualmente editada por Springer Verlag ) se convirtió en una de las pocas revistas matemáticas dedicadas por completo a la teoría de semigroup.

En los últimos años, los investigadores en el campo se han especializado en monografías dedicadas que aparecen en importantes clases de semigrupos, como semigrupos inversos , así como monografías que se centran en aplicaciones en la teoría de autómatas algebraicos , particularmente para autómatas finitos, y también en análisis funcional .

Generalizaciones [ editar ]

Estructuras tipo grupo
	Totalidad α	Asociatividad	Identidad	Invertibilidad	Conmutatividad
Semigroupoid	Innecesario	Necesario	Innecesario	Innecesario	Innecesario
Categoría pequeña	Innecesario	Necesario	Necesario	Innecesario	Innecesario
Groupoid	Innecesario	Necesario	Necesario	Necesario	Innecesario
Magma	Necesario	Innecesario	Innecesario	Innecesario	Innecesario
Cuasigrupo	Necesario	Innecesario	Innecesario	Necesario	Innecesario
Lazo	Necesario	Innecesario	Necesario	Necesario	Innecesario
Semigrupo	Necesario	Necesario	Innecesario	Innecesario	Innecesario
Semigrupo Inverso	Necesario	Necesario	Innecesario	Necesario	Innecesario
Monoide	Necesario	Necesario	Necesario	Innecesario	Innecesario
Grupo	Necesario	Necesario	Necesario	Necesario	Innecesario
Grupo abeliano	Necesario	Necesario	Necesario	Necesario	Necesario
^ El cierre α , que se usa en muchas fuentes, es un axioma equivalente a la totalidad, aunque se define de manera diferente.

Si se cae el axioma de asociatividad de un semigrupo, el resultado es un magma , que no es más que un conjunto es M equipado con una operación binaria M × M → M .

Generalizando en una dirección diferente, una n semigrupo ary (también n -semigroup , semigrupo poliádico o semigrupo multiary ) es una generalización de un semigrupo a un conjunto G con un n operación ary en lugar de una operación binaria. ^[20] La ley asociativa se generaliza de la siguiente manera: la asociatividad ternaria es ( abc ) de = a ( bcd ) e = ab ( cde ) , es decir, la cadena abcde con tres elementos adyacentes entre corchetes.La asociatividad N es una cadena de longitud n + ( n - 1 ) con cualquier n elementos adyacentes entre corchetes. Un semigrupo de 2 arios es solo un semigrupo. Más axiomas conducen a un n grupo ary .

Una tercera generalización es el semigroupoid , en el que se elimina el requisito de que la relación binaria sea total. Como las categorías generalizan los monoides de la misma manera, un semigroupoide se comporta como una categoría pero carece de identidades.

Varios autores han considerado algunas veces las generalizaciones infinitarias de los semigrupos conmutativos.