jueves, 13 de junio de 2019

ARTÍCULOS DE MATEMÁTICAS


la prueba de Abel (también conocida como el criterio de Abel ) es un método de prueba para la convergencia de una serie infinita . La prueba lleva el nombre del matemático Niels Henrik Abel . Hay dos versiones ligeramente diferentes de la prueba de Abel: una se usa con series de números reales y la otra se usa con series de potencias en el análisis complejo . La prueba de convergencia uniforme de Abel es un criterio para la convergencia uniforme de una serie de funciones que dependen de los parámetros .

Prueba de Abel en el análisis real editar ]

Supongamos que las siguientes afirmaciones son ciertas:
  1.  es una serie convergente,
  2. n } es una secuencia monótona, y
  3. n } está limitado.
Entonces  También es convergente.
Es importante entender que esta prueba es principalmente pertinente y útil en el contexto de series no absolutamente convergentes. Para series absolutamente convergentes, este teorema, aunque cierto, es casi evidente por sí mismo.
Este teorema puede considerarse un caso especial de la prueba de Dirichlet , o puede comprobarse directamente mediante la suma de las partes .

Prueba de Abel en análisis complejo editar ]

Una prueba de convergencia estrechamente relacionada, también conocida como prueba de Abel , se puede usar para establecer la convergencia de una serie de potencias en el límite de su círculo de convergencia . Específicamente, la prueba de Abel establece que si una secuencia de números reales positivos está disminuyendo monótonamente (o al menos para todos n mayor que algún número natural m , tenemos) con
entonces la serie de poder
converge en todas partes en el círculo unitario cerrado , excepto cuando z = 1. La prueba de Abel no se puede aplicar cuando z = 1, por lo que la convergencia en ese único punto debe investigarse por separado. Observe que la prueba de Abel implica en particular que el radio de convergencia es al menos 1. También se puede aplicar a una serie de potencias con radio de convergencia R ≠ 1 por un simple cambio de variables ζ = z / R . [1]Observe que la prueba de Abel es una generalización del criterio de Leibniz al tomar z = −1.
Prueba de la prueba de Abel: suponga que z es un punto en el círculo unitario, z ≠ 1. Para cada, definimos
Al multiplicar esta función por (1 - z ), obtenemos
El primer sumando es constante, el segundo converge uniformemente a cero (ya que al asumir la secuencia converge a cero). Sólo queda por demostrar que la serie converge. Mostraremos esto mostrando que incluso converge absolutamente:  donde la última suma es una suma telescópica convergente. El valor absoluto desapareció porque la secuencia Está disminuyendo por supuesto.
De ahí, la secuencia. converge (incluso uniformemente) en el disco cerrado de la unidad. Si, podemos dividir por (1 - z ) y obtener el resultado.

Prueba de la convergencia uniforme de Abel editar ]

La prueba de convergencia uniforme de Abel es un criterio para la convergencia uniforme de una serie de funciones o una integración inadecuada de funciones dependientes de los parámetros . Está relacionado con la prueba de Abel para la convergencia de una serie ordinaria de números reales, y la prueba se basa en la misma técnica de suma por partes .

La prueba es la siguiente. Sea { n } una secuencia uniformemente delimitada de funciones continuas de valores reales en un conjunto E tal que n +1 ( x ) ≤  n ( x ) para todos los x  ∈  E y los enteros positivos n , y deje que { n } una secuencia de funciones de valor real tal que la serie Σ n ( x ) converge uniformemente en E . Entonces Σ n ( x ) gn ( x ) converge uniformemente en E .









el teorema de Abel para la serie de poder relaciona el límite de una serie de poder con la suma de sus coeficientes . Lleva el nombre del matemático noruego Niels Henrik Abel .

Teorema editar ]

Dejar
ser una serie de potencias con coeficientes reales k con un radio de convergencia 1. Supongamos que la serie
converge Entonces G ( x ) es continuo desde la izquierda enes decir
El mismo teorema es válido para series de potencias complejas.
siempre que dentro de un sector Stolz , es decir, una región del disco de unidad abierta donde
para algunos  m . Sin esta restricción, el límite puede dejar de existir: por ejemplo, la serie de potencias
converge a 0 en z  = 1, pero no tiene límites cerca de cualquier punto de la forma π i / 3 n , por lo que el valor en z  = 1 no es el límite, ya que z tiende a 1 en todo el disco abierto.
Tenga en cuenta que G ( z ) es continuo en el intervalo real cerrado [0,  t ] para t  <1 compactos="" convergencia.="" convergencia="" de="" del="" disco="" en="" font="" la="" nbsp="" serie="" subconjuntos="" uniforme="" virtud="">El teorema de Abel nos permite decir más, a saber, que G ( z ) es continuo en [0, 1].

Observaciones editar ]

Como consecuencia inmediata de este teorema, si z es un número complejo distinto de cero para el cual la serie
converge, entonces se sigue que
en el que el límite se toma desde abajo .
El teorema también se puede generalizar para dar cuenta de las sumas que divergen hasta el infinito. cita requerida ] si
entonces
Sin embargo, si solo se sabe que la serie es divergente, el teorema falla; Tomemos, por ejemplo, la serie de potencias para
 la serie es igual a  pero 
También observamos que el teorema es válido para radios de convergencia distintos de : dejar
Ser una serie de potencias con radio de convergencia. , y supongamos que la serie converge en Entonces es continuo desde la izquierda en es decir

Aplicaciones editar ]

La utilidad del teorema de Abel es que nos permite encontrar el límite de una serie de potencias como su argumento (es decir, ) se acerca a 1 desde abajo, incluso en los casos en que el radio de convergencia ,, de la serie de potencias es igual a 1 y no podemos estar seguros de si el límite debe ser finito o no. Ver, por ejemplo, la serie binomial . El teorema de Abel nos permite evaluar muchas series en forma cerrada. Por ejemplo, cuando
obtenemos
mediante la integración de la serie de potencia geométrica uniformemente convergente término por término en asi la serie
converge a por el teorema de Abel. Similar,
converge a 
Se llama la función generadora de la secuencia.El teorema de Abel es frecuentemente útil para tratar funciones generadoras de secuencias de valores reales y no negativas , como las funciones generadoras de probabilidad . En particular, es útil en la teoría de los procesos de Galton-Watson .

Esquema de la prueba editar ]

Después de restar una constante de , podemos asumir que DejarLuego sustituyendoy realizar una manipulación simple de la serie ( suma por partes ) da como resultado
Dado elige n lo suficientemente grande para que para todos  y nota que
cuando z se encuentra dentro del ángulo de Stolz dado. Siempre que z sea ​​suficientemente cercano a 1 tenemos
así que eso cuando z está lo suficientemente cerca de 1 y dentro del ángulo de Stolz.

Conceptos relacionados editar ]

Los conversos a un teorema como el de Abel se denominan teoremas tauberianos : no hay un converso exacto, pero los resultados son condicionales en algunas hipótesis. El campo de las series divergentes , y sus métodos de suma, contiene muchos teoremas de tipo abeliano y de tipo tauberiano .

No hay comentarios:

Publicar un comentario