ARTÍCULOS DE MATEMÁTICAS

la prueba de Abel (también conocida como el criterio de Abel ) es un método de prueba para la convergencia de una serie infinita . La prueba lleva el nombre del matemático Niels Henrik Abel . Hay dos versiones ligeramente diferentes de la prueba de Abel: una se usa con series de números reales y la otra se usa con series de potencias en el análisis complejo . La prueba de convergencia uniforme de Abel es un criterio para la convergencia uniforme de una serie de funciones que dependen de los parámetros .

Prueba de Abel en el análisis real [ editar ]

Supongamos que las siguientes afirmaciones son ciertas:

1. $${\ displaystyle \ sum a_ {n}} es una serie convergente,
2. { b _n } es una secuencia monótona, y
3. { b _n } está limitado.

Entonces $${\ displaystyle \ sum a_ {n} b_ {n}} También es convergente.

Es importante entender que esta prueba es principalmente pertinente y útil en el contexto de series no absolutamente convergentes. $${\ displaystyle \ sum a_ {n}}. Para series absolutamente convergentes, este teorema, aunque cierto, es casi evidente por sí mismo.

Este teorema puede considerarse un caso especial de la prueba de Dirichlet , o puede comprobarse directamente mediante la suma de las partes .

Prueba de Abel en análisis complejo [ editar ]

Una prueba de convergencia estrechamente relacionada, también conocida como prueba de Abel , se puede usar para establecer la convergencia de una serie de potencias en el límite de su círculo de convergencia . Específicamente, la prueba de Abel establece que si una secuencia de números reales positivos $${\ displaystyle (a_ {n})}está disminuyendo monótonamente (o al menos para todos n mayor que algún número natural m , tenemos$${\ displaystyle a_ {n} \ geq a_ {n + 1}}) con

$${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} a_ {n} = 0}

entonces la serie de poder

$${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}}

converge en todas partes en el círculo unitario cerrado , excepto cuando z = 1. La prueba de Abel no se puede aplicar cuando z = 1, por lo que la convergencia en ese único punto debe investigarse por separado. Observe que la prueba de Abel implica en particular que el radio de convergencia es al menos 1. También se puede aplicar a una serie de potencias con radio de convergencia R ≠ 1 por un simple cambio de variables ζ = z / R . ^[1]Observe que la prueba de Abel es una generalización del criterio de Leibniz al tomar z = −1.

Prueba de la prueba de Abel: suponga que z es un punto en el círculo unitario, z ≠ 1. Para cada$${\ displaystyle n \ geq 1}, definimos

$${\ displaystyle f_ {n} (z): = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} z ^ {k}.}

Al multiplicar esta función por (1 - z ), obtenemos

{\ displaystyle {\ begin {alineado} (1-z) f_ {n} (z) & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} (1-z) z ^ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} z ^ {k} - \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} z ^ {k + 1} = a_ {0} + \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} z ^ {k} - \ sum _ {k = 1} ^ {n + 1} a_ {k-1} z ^ {k} \\ & = a_ {0} + a_ {n} z ^ {n + 1} + \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} -a_ {k-1}) z ^ {k}. \ end {alineado}}}

El primer sumando es constante, el segundo converge uniformemente a cero (ya que al asumir la secuencia $${\ displaystyle (a_ {n})}converge a cero). Sólo queda por demostrar que la serie converge. Mostraremos esto mostrando que incluso converge absolutamente: $${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left | (a_ {k} -a_ {k-1}) z ^ {k} \ right | = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} | a_ {k} -a_ {k-1} | \ cdot | z | ^ {k} \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} (a_ {k-1} -a_ {k})} donde la última suma es una suma telescópica convergente. El valor absoluto desapareció porque la secuencia$${\ displaystyle (a_ {n})} Está disminuyendo por supuesto.

De ahí, la secuencia. $${\ displaystyle (1-z) f_ {n} (z)}converge (incluso uniformemente) en el disco cerrado de la unidad. Si$${\ displaystyle z \ not = 1}, podemos dividir por (1 - z ) y obtener el resultado.

Prueba de la convergencia uniforme de Abel [ editar ]

La prueba de convergencia uniforme de Abel es un criterio para la convergencia uniforme de una serie de funciones o una integración inadecuada de funciones dependientes de los parámetros . Está relacionado con la prueba de Abel para la convergencia de una serie ordinaria de números reales, y la prueba se basa en la misma técnica de suma por partes .

La prueba es la siguiente. Sea { g _n } una secuencia uniformemente delimitada de funciones continuas de valores reales en un conjunto E tal que g _n +1 ( x ) ≤  g _n ( x ) para todos los x  ∈  E y los enteros positivos n , y deje que { f _n } una secuencia de funciones de valor real tal que la serie Σ f _n ( x ) converge uniformemente en E . Entonces Σ f _n ( x ) g_n ( x ) converge uniformemente en E .

el teorema de Abel para la serie de poder relaciona el límite de una serie de poder con la suma de sus coeficientes . Lleva el nombre del matemático noruego Niels Henrik Abel .

Teorema [ editar ]

Dejar

$${\ displaystyle G (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k}}

ser una serie de potencias con coeficientes reales a _k con un radio de convergencia 1. Supongamos que la serie

$${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k}}

converge Entonces G ( x ) es continuo desde la izquierda en$${\ displaystyle x = 1}es decir

$${\ displaystyle \ lim _ {x \ a 1 ^ {-}} G (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k}.}

El mismo teorema es válido para series de potencias complejas.

$${\ displaystyle G (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} z ^ {k},}

siempre que $${\ displaystyle z \ a 1}dentro de un sector Stolz , es decir, una región del disco de unidad abierta donde

$${\ displaystyle | 1-z | \ leq M (1- | z |)}

para algunos  m . Sin esta restricción, el límite puede dejar de existir: por ejemplo, la serie de potencias

{\ displaystyle \ sum _ {n> 0} {\ frac {z ^ {3 ^ {n}} - z ^ {2 \ cdot 3 ^ {n}}} {n}}}

converge a 0 en z  = 1, pero no tiene límites cerca de cualquier punto de la forma e ^{π i / 3 n} , por lo que el valor en z  = 1 no es el límite, ya que z tiende a 1 en todo el disco abierto.

Tenga en cuenta que G ( z ) es continuo en el intervalo real cerrado [0,  t ] para t  <1 compactos="" convergencia.="" convergencia="" de="" del="" disco="" en="" font="" la="" nbsp="" serie="" subconjuntos="" uniforme="" virtud="">El teorema de Abel nos permite decir más, a saber, que G ( z ) es continuo en [0, 1].

Observaciones [ editar ]

Como consecuencia inmediata de este teorema, si z es un número complejo distinto de cero para el cual la serie

$${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} z ^ {k}}

converge, entonces se sigue que

$${\ displaystyle \ lim _ {t \ to 1 ^ {-}} G (tz) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} z ^ {k}}

en el que el límite se toma desde abajo .

El teorema también se puede generalizar para dar cuenta de las sumas que divergen hasta el infinito. ^{[ cita requerida ]} si

$${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} = \ infty}

entonces

$${\ displaystyle \ lim _ {z \ to 1 ^ {-}} G (z) \ to \ infty.}

Sin embargo, si solo se sabe que la serie es divergente, el teorema falla; Tomemos, por ejemplo, la serie de potencias para

$${\ displaystyle {\ frac {1} {1 + z}}.}

A $${\ displaystyle z = 1} la serie es igual a $${\ displaystyle 1-1 + 1-1 + \ cdots,} pero $${\ displaystyle {\ tfrac {1} {1 + 1}} = {\ tfrac {1} {2}}.

También observamos que el teorema es válido para radios de convergencia distintos de $${\ displaystyle R = 1}: dejar

$${\ displaystyle G (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k}}

Ser una serie de potencias con radio de convergencia. $${\ displaystyle R}, y supongamos que la serie converge en $${\ displaystyle x = R}. Entonces$${\ displaystyle G (x)} es continuo desde la izquierda en $${\ displaystyle x = R}es decir

$${\ displaystyle \ lim _ {x \ to R ^ {-}} G (x) = G (R)}

Aplicaciones [ editar ]

La utilidad del teorema de Abel es que nos permite encontrar el límite de una serie de potencias como su argumento (es decir, $${\ displaystyle z}) se acerca a 1 desde abajo, incluso en los casos en que el radio de convergencia ,$${\ displaystyle R}, de la serie de potencias es igual a 1 y no podemos estar seguros de si el límite debe ser finito o no. Ver, por ejemplo, la serie binomial . El teorema de Abel nos permite evaluar muchas series en forma cerrada. Por ejemplo, cuando

$${\ displaystyle a_ {k} = {\ frac {(-1) ^ {k}} {k + 1}},}

obtenemos

{\ displaystyle G_ {a} (z) = {\ frac {\ ln (1 + z)} {z}}, \ qquad 0

mediante la integración de la serie de potencia geométrica uniformemente convergente término por término en $${\ displaystyle [-z, 0]}; asi la serie

$${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k + 1}}}

converge a $${\ displaystyle \ ln (2)}por el teorema de Abel. Similar,

$${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {2k + 1}}}

converge a $${\ displaystyle \ arctan (1) = {\ tfrac {\ pi} {4}}.}

$${\ displaystyle G_ {a} (z)}Se llama la función generadora de la secuencia.$${\ displaystyle a}. El teorema de Abel es frecuentemente útil para tratar funciones generadoras de secuencias de valores reales y no negativas , como las funciones generadoras de probabilidad . En particular, es útil en la teoría de los procesos de Galton-Watson .

Esquema de la prueba [ editar ]

Después de restar una constante de $${\ displaystyle a_ {0}}, podemos asumir que $${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} = 0}. Dejar$${\ displaystyle s_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} \!}. Luego sustituyendo$${\ displaystyle a_ {k} = s_ {k} -s_ {k-1}}y realizar una manipulación simple de la serie ( suma por partes ) da como resultado

$${\ displaystyle G_ {a} (z) = (1-z) \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} s_ {k} z ^ {k}.}

Dado {\ displaystyle \ varepsilon> 0,}elige n lo suficientemente grande para que{\ displaystyle | s_ {k} | <\ varepsilon} para todos $${\ displaystyle k \ geq n} y nota que

{\ displaystyle \ left | (1-z) \ sum _ {k = n} ^ {\ infty} s_ {k} z ^ {k} \ right | \ leq \ varepsilon | 1-z | \ sum _ {k = n} ^ {\ infty} | z | ^ {k} = \ varepsilon | 1-z | {\ frac {| z | ^ {n}} {1- | z |}} <\ varepsilon M}

cuando z se encuentra dentro del ángulo de Stolz dado. Siempre que z sea ​​suficientemente cercano a 1 tenemos

{\ displaystyle \ left | (1-z) \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} s_ {k} z ^ {k} \ right | <\ varepsilon,}

así que eso {\ displaystyle | G_ {a} (z) | <(M + 1) \ varepsilon}cuando z está lo suficientemente cerca de 1 y dentro del ángulo de Stolz.

Conceptos relacionados [ editar ]

Los conversos a un teorema como el de Abel se denominan teoremas tauberianos : no hay un converso exacto, pero los resultados son condicionales en algunas hipótesis. El campo de las series divergentes , y sus métodos de suma, contiene muchos teoremas de tipo abeliano y de tipo tauberiano .