ARTÍCULOS DE MATEMÁTICAS

teoremas abelianos y tauberianos son teoremas que dan condiciones para que dos métodos de sumar series divergentes den el mismo resultado, que llevan el nombre de Niels Henrik Abel y Alfred Tauber . Los ejemplos originales son el teorema de Abel que muestra que si una serie converge a algún límite, entonces su suma de Abel es el mismo límite, y el teorema de Tauber que muestra que si la suma de Abel de una serie existe y los coeficientes son suficientemente pequeños (o (1 / n ) ) entonces la serie converge a la suma de Abel. Los teoremas abelianos y tauberianos más generales dan resultados similares para métodos de resumen más generales.

Todavía no hay una distinción clara entre los teoremas abelianos y tauberianos, y no existe una definición generalmente aceptada de lo que significan estos términos. A menudo, un teorema se llama "abeliano" si muestra que algún método de suma da la suma usual para series convergentes, y se llama "tauberiano" si da condiciones para una serie sumable mediante algún método que permita que sea sumable de la forma habitual. sentido.

Teoremas abelianos [ editar ]

Para cualquier método sumatorio L , su teorema abeliano es el resultado de que si c = ( c _n ) es un convergentesecuencia, con límite de C , entonces L ( c ) = C . Un ejemplo lo proporciona el método Cesàro , en el que L se define como el límite de las medias aritméticas de los primeros N términos de c , ya que N tiende a infinito . Uno puede probar que si c converge a C, entonces también lo hace la secuencia ( d _N ) donde

$${\ displaystyle d_ {N} = {\ frac {c_ {1} + c_ {2} + \ cdots + c_ {N}} {N}}.}

Para ver eso, reste C en todas partes para reducir al caso C = 0. Luego divida la secuencia en un segmento inicial, y una cola de términos pequeños: dado cualquier ε> 0, podemos tomar N lo suficientemente grande para hacer el segmento inicial de términos hasta c _N promedia a lo más ε / 2, mientras que cada término en la cola está delimitado por ε / 2, de modo que el promedio también está necesariamente limitado.

El nombre deriva del teorema de Abel sobre las series de poder . En ese caso, L es el límite radial (pensado dentro de la unidad de disco complejo ), donde dejamos que r tiende al límite 1 desde abajo a lo largo del eje real en la serie de potencias con el término

a _n z ⁿ

y establece z = r · e ^iθ . Ese teorema tiene su interés principal en el caso de que la serie de potencias tenga un radio de convergencia exactamente 1: si el radio de convergencia es mayor que uno, la convergencia de las series de potencias es uniforme para r en [0,1], de modo que la suma es automáticamente continuo y se deduce directamente que el límite según r tiende a 1 es simplemente la suma de a _n . Cuando el radio es 1, la serie de potencias tendrá alguna singularidad en | z | = 1; la afirmación es que, sin embargo, si la suma de la a _n existe, es igual al límite sobre r . Esto por lo tanto encaja exactamente en el cuadro abstracto.

Teoremas Tauberian [ editar ]

Los conversos parciales a los teoremas abelianos se denominan teoremas tauberianos . El resultado original de Alfred Tauber  ( 1897 ) declaró que si asumimos también

a _n = o (1 / n )

(vea la notación de Little O ) y el límite radial existe, entonces la serie obtenida al establecer z = 1 es realmente convergente. Esto fue fortalecido por John Edensor Littlewood : solo necesitamos asumir O (1 / n ). Una generalización radical es el teorema tauberiano de Hardy-Littlewood .

En la configuración abstracta, por lo tanto, un teorema abeliano establece que el dominio de L contiene las secuencias convergentes, y sus valores son iguales a los de la función Lim . Un teorema tauberiano establece, bajo alguna condición de crecimiento, que el dominio de L es exactamente la secuencia convergente y no más.

Si uno piensa en L como un tipo generalizado de promedio ponderado , llevado al límite, un teorema de Tauber le permite descartar la ponderación, bajo las hipótesis correctas. Hay muchas aplicaciones de este tipo de resultados en la teoría de números , en particular en el manejo de series de Dirichlet .

El desarrollo del campo de los teoremas tauberianos recibió un nuevo giro con los resultados muy generales de Norbert Wiener , a saber, el teorema tauberiano de Wiener y su gran colección de corolarios. El teorema central puede ahora probarse con los métodos del álgebra de Banach y contiene gran parte de la teoría anterior, aunque no toda.

categoría abeliana es una categoría en la que se pueden agregar morfismos y objetos y en la que existen núcleos y pepinos y tienen propiedades deseables. El ejemplo de prototipo motivador de una categoría abeliana es la categoría de grupos abelianos , Ab . La teoría se originó en un esfuerzo por unificar varias teorías de cohomología de Alexander Grothendieck e independientemente en el trabajo un poco más temprano de David Buchsbaum . Las categorías abelianas son categorías muy estables ; por ejemplo son regularesy satisfacen a la serpiente lemma . La clase de categorías abelianas está cerrada bajo varias construcciones categóricas, por ejemplo, la categoría de complejos de cadena de una categoría abeliana, o la categoría de functores de una categoría pequeña a una categoría abeliana también son abelianas. Estas propiedades de estabilidad las hacen inevitables en el álgebra homológica y más allá; La teoría tiene aplicaciones principales en geometría algebraica , cohomología y teoría de categorías puras . Las categorías abelianas llevan el nombre de Niels Henrik Abel .

Definiciones [ editar ]

Una categoría es abeliana si

• tiene un objeto cero ,
• tiene todos los biproductos binarios ,
• tiene todos los núcleos y cokernels , y
• Todos los monomorfismos y epimorfismos son normales .

Esta definición es equivalente ^[1] a la siguiente definición "por partes":

• Una categoría es preaditiva si se enriquece sobre la categoría monoidal Ab de grupos abelianos . Esto significa que todos los conjuntos de casas son grupos abelianos y la composición de los morfismos es bilineal.
• Una categoría preaditiva es aditiva si cada conjunto finito de objetos tiene un biproducto . Esto significa que podemos formar sumas directas finitas y productos directos . En ^[2] Def. 1.2.6, se requiere que una categoría aditiva tenga un objeto cero (biproducto vacío).
• Una categoría aditiva es preabeliana si cada morfismo tiene un núcleo y un cokernel .
• Finalmente, una categoría preabeliana es abeliana si todos los monomorfismos y todos los epimorfismos son normales . Esto significa que todo monomorfismo es un núcleo de algún morfismo, y cada epimorfismo es un cokernel de algún morfismo.

Tenga en cuenta que la estructura enriquecida en los conjuntos de casas es una consecuencia de los tres primeros axiomas de la primera definición. Esto resalta la relevancia fundacional de la categoría de los grupos abelianos en la teoría y su naturaleza canónica.

El concepto de secuencia exacta surge naturalmente en este contexto, y resulta que los funtores exactos , es decir, los funtores que conservan secuencias exactas en varios sentidos, son los functores relevantes entre las categorías abelianas. Este concepto de exactitud ha sido axiomatizado en la teoría de categorías exactas , formando un caso muy especial de categorías regulares .

Ejemplos [ editar ]

• Como se mencionó anteriormente, la categoría de todos los grupos abelianos es una categoría abeliana. La categoría de todos los grupos abelianos finamente generados es también una categoría abeliana, al igual que la categoría de todos los grupos abelianos finitos.
• Si R es un anillo , entonces la categoría de todos los módulos de la izquierda (o derecha) sobre R es una categoría abeliana. De hecho, se puede demostrar que cualquier categoría abeliana pequeña es equivalente a una subcategoría completa de dicha categoría de módulos ( el teorema de incrustación de Mitchell ).
• Si R es un anillo noetheriano izquierdo , entonces la categoría de módulos izquierdos generados de manera finita sobre R es abelian. En particular, la categoría de módulos generados de manera finita sobre un anillo conmutativo noeriano es abeliana; De esta manera, las categorías abelianas aparecen en álgebra conmutativa .
• Como casos especiales de los dos ejemplos anteriores: la categoría de espacios vectoriales sobre un campofijo k es abeliana, al igual que la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre k .
• Si X es un espacio topológico , la categoría de todos los paquetes de vectores (reales o complejos) en X no suele ser una categoría abeliana, ya que puede haber monomorfismos que no son núcleos.
• Si X es un espacio topológico , entonces la categoría de todas las gavillas de los grupos abelianos en X es una categoría abeliana. Más generalmente, la categoría de gavillas de grupos abelianos en un sitio Grothendieck es una categoría abeliana. De esta manera, las categorías abelianas se muestran en topología algebraica y geometría algebraica .
• Si C es una categoría pequeña y A es una categoría abeliana, entonces la categoría de todos los funtores de C a A forma una categoría abeliana. Si C es pequeño y predispuesto , la categoría de todos los funtores aditivos de C a A también forma una categoría abeliana. El último es una generalización del ejemplo del módulo R , ya que un anillo puede entenderse como una categoría preaditiva con un solo objeto.

Los axiomas de Grothendieck [ editar ]

En su artículo de Tōhoku , Grothendieck enumeró cuatro axiomas adicionales (y sus duales) que una categoría abeliana A podría satisfacer. Estos axiomas siguen siendo de uso común hasta nuestros días. Son los siguientes:

• AB3) Para cada familia indexada (A _i ) de objetos de A , el coproducto * A _i existe en A (es decir, A se completa ).
• AB4) A satisface AB3), y el coproducto de una familia de monomorfismos es un monomorfismo.
• AB5) A satisface AB3), y los colimits filtrados de las secuencias exactas son exactos.

y sus duales

• AB3 *) Para cada familia indexada (A _i ) de objetos de A , el producto PA _i existe en A (es decir, A está completo ).
• AB4 *) A satisface AB3 *), y el producto de una familia de epimorfismos es un epimorfismo.
• AB5 *) A satisface AB3 *), y los límites filtrados de las secuencias exactas son exactos.

También se dieron axiomas AB1) y AB2). Son los que hacen abeliano una categoría aditiva. Específicamente:

• AB1) Todo morfismo tiene un núcleo y un cokernel.
• AB2) Para cada morfismo f , el morfismo canónico desde la cabecera f hasta la im f es un isomorfismo.

Grothendieck también dio los axiomas AB6) y AB6 *).

• AB6) A satisface AB3), y se le da una familia de categorías filtradas$${\ displaystyle I_ {j}, j \ en J} y mapas $${\ displaystyle A_ {j}: I_ {j} \ a A}, tenemos $${\ displaystyle \ prod _ {j \ en J} \ lim _ {I_ {j}} A_ {j} = \ lim _ {I_ {j}, \ forall j \ in J} \ prod _ {j \ in J } A_ {j}}, donde lim denota el colimit filtrado.
• AB6 *) A satisface AB3 *), y se le asigna una familia de categorías cofiltradas$${\ displaystyle I_ {j}, j \ en J} y mapas $${\ displaystyle A_ {j}: I_ {j} \ a A}, tenemos $${\ displaystyle \ sum _ {j \ en J} \ lim _ {I_ {j}} A_ {j} = \ lim _ {I_ {j}, \ forall j \ in J} \ sum _ {j \ in J } A_ {j}}, donde lim denota el límite cofiltrado.

Propiedades elementales [ editar ]

Dado cualquier par A , B de los objetos en una categoría abeliana, hay un especial morfismo cero de A a B . Esto se puede definir como el elemento cero del hom-set Hom ( A , B ), ya que este es un grupo abeliano. Alternativamente, se puede definir como la composición única A → 0 → B , donde 0 es el objeto cero de la categoría abeliana.

En una categoría abeliana, cada morfismo f puede escribirse como la composición de un epimorfismo seguido de un monomorfismo. Este epimorfismo se llama la imagen de f , mientras que el monomorfismo se llama la imagende f .

Los subobjetos y los objetos cocientes se comportan bien en categorías abelianas. Por ejemplo, el conjunto parcialmente ordenado de subobjetos de cualquier objeto dado A es un enrejado limitado .

Cada categoría abeliana A es un módulo sobre la categoría monoidal de grupos abelianos generados de manera definitiva; es decir, se puede formar un producto tensorial de un grupo abeliano finitamente generado G y cualquier objeto A de A . La categoría abeliana es también un comodule ; Hom ( G , A ) puede interpretarse como un objeto de A . Si A está completo , entonces podemos eliminar el requisito de que G se genere finamente; más generalmente, podemos formar finitista límites enriquecidos en A .

Conceptos relacionados [ editar ]

Las categorías abelianas son el escenario más general para el álgebra homológica . Todas las construcciones utilizadas en ese campo son relevantes, como las secuencias exactas y, especialmente, las secuencias exactas cortas y los funtores derivados . Los teoremas importantes que se aplican en todas las categorías abelianas incluyen el lema cinco (y el lema corto cinco como un caso especial), así como el lema serpiente (y el lema nuevecomo un caso especial).

Subcategorías de categorías abelianas [ editar ]

Existen numerosos tipos de subcategorías (completas, aditivas) de categorías abelianas que ocurren en la naturaleza, así como alguna terminología conflictiva.

Sea A una categoría abeliana, C una subcategoría completa y aditiva, y I el functor de inclusión.

• C es una subcategoría exacta si es en sí misma una categoría exacta y la inclusión I es un functor exacto . Esto ocurre si y solo si C está cerrado por retrocesos de epimorfismos y expulsiones de monomorfismos. Las secuencias exactas en C son, pues, las secuencias exactas en A para la que todos los objetos se encuentran en C .
• C es una subcategoría abeliana si es en sí misma una categoría abeliana y la inclusión I es un functor exacto. Esto ocurre si y solo si C está cerrado al tomar núcleos y cokernels. Tenga en cuenta que hay ejemplos de subcategorías completas de una categoría abeliana que son abelianas, pero en las que el functor de inclusión no es exacto, por lo que no son subcategorías abelianas (ver más abajo).
• C es una subcategoría gruesa si se cierra bajo sumandos directos y satisface la propiedad 2 de 3 en secuencias exactas cortas; es decir, si$${\ displaystyle 0 \ to M '\ to M \ to M' '\ to 0}es una secuencia exacta corta en A tal que dos de$${\ displaystyle M ', M, M' '}mentir en C , entonces también lo hace el tercero. En otras palabras, C está cerrado bajo núcleos de epimorfismos, pepinos de monomorfismos y extensiones. Tenga en cuenta que P. Gabriel usó el término subcategoría gruesa para describir lo que aquí llamamos una subcategoría Serre .
• C es una subcategoría topologizada si está cerrada en subcotientes .
• C es una subcategoría de Serre si, para todas las secuencias exactas cortas$${\ displaystyle 0 \ to M '\ to M \ to M' '\ to 0}en A tenemos M en C si y solo si ambos$${\ displaystyle M ', M' '}estan en c . En otras palabras, C está cerrado bajo extensiones y subcotentes . Estas subcategorías son precisamente los núcleos de los funtores exactos de A a otra categoría abeliana.
• C es una subcategoría de localización si se trata de una subcategoría de Serre tal que el funtor de cociente$${\ displaystyle Q \ colon \ mathbf {A} \ to \ mathbf {A} / \ mathbf {C}}Admite un derecho adjunto .
• Hay dos nociones en competencia de una subcategoría amplia. Una versión es que C contiene todos los objetos de A (hasta isomorfismo); para una subcategoría completa esto obviamente no es interesante. (Esto también se denomina subcategoría lluf .) La otra versión es que C está cerrado en las extensiones.

Aquí hay un ejemplo explícito de una subcategoría completa y aditiva de una categoría abeliana que es abeliana, pero el functor de inclusión no es exacto. Sea k un campo,$${\ displaystyle T_ {n}} el álgebra de triangular superior $${\ displaystyle n \ times n}matrices sobre k , y$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {n}} la categoria de finito-dimensional $${\ displaystyle T_ {n}}-módulos. Entonces cada uno$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {n}} Es una categoría abeliana y tenemos un functor de inclusión. $${\ displaystyle I \ colon \ mathbf {A} _ {2} \ to \ mathbf {A} _ {3}}Identificación de los módulos proyectivo, inyectivo simple e indecomposible proyectivo-inyectivo. La imagen esencial de I es una subcategoría completa y aditiva, pero no es exacta.

Historia [ editar ]

Buchsbaum (1955) (bajo el nombre de "categoría exacta") y Grothendieck (1957) introdujeron las categorías abelianas para unificar varias teorías de la cohomología. En ese momento, había una teoría cohomológica para las gavillas y una teoría cohomológica para grupos . Los dos se definieron de manera diferente, pero tenían propiedades similares. De hecho, gran parte de la teoría de categorías se desarrolló como un lenguaje para estudiar estas similitudes. Grothendieck unificó las dos teorías: ambas surgen como funtores derivados en categorías abelianas; la categoría abeliana de gavillas de grupos abelianos en un espacio topológico, y la categoría abeliana de módulos G para un grupo dadoG .

extensión abeliana es una extensión de Galois cuyo grupo de Galois es abeliano . Cuando el grupo de Galois también es cíclico , la extensión también se denomina extensión cíclica . Yendo en la otra dirección, una extensión de Galois se llama solucionable si su grupo de Galois es solucionable , es decir, si el grupo se puede descomponer en una serie de extensiones normales de un grupo abeliano.

Toda extensión finita de un campo finito es una extensión cíclica.

La teoría de los campos de clase proporciona información detallada sobre las extensiones abelianas de los campos numéricos , los campos funcionales de las curvas algebraicas sobre los campos finitos y los campos locales .

Hay dos definiciones ligeramente diferentes del término extensión ciclotómica. Puede significar una extensión formada por las raíces de la unidad adyacentes a un campo, o una extensión de dicha extensión. Los campos ciclotómicos son ejemplos. Una extensión ciclotómica, bajo cualquiera de las dos definiciones, es siempre abeliana.

Si un campo K contiene una raíz n -th primitiva de la unidad y la raíz n -ésima de un elemento de K está contigua, la extensión de Kummer resultante es una extensión abeliana (si K tiene la característica p , deberíamos decir que p no se divide) n , ya que de lo contrario esto puede fallar incluso para ser una extensión separable ). En general, sin embargo, los grupos de Galois de raíces n -ésimas de elementos operan tanto en las raíces n-ésimas como en las raíces de la unidad, dando un grupo de Galois no abeliano como producto semidirecto . La teoria de kummerproporciona una descripción completa del caso de extensión abeliana, y el teorema de Kronecker-Weber nos dice que si K es el campo de los números racionales , una extensión es abeliana si y solo si es un subcampo de un campo obtenido al unir una raíz de unidad .

Existe una importante analogía con el grupo fundamental en la topología , que clasifica todos los espacios de cobertura de un espacio: las cubiertas abelianas se clasifican por su abelianización que se relaciona directamente con el primer grupo de homología .