ARTÍCULOS DE MATEMÁTICAS

 la desigualdad de Abel , llamada así por Niels Henrik Abel , proporciona un límite simple sobre el valor absoluto del producto interno de dos vectores en un caso especial importante.

Descripción matemática [ editar ]

Sea { a ₁ , a ₂ , ... } una secuencia de números reales que no aumente o no disminuya, y sea { b ₁ , b ₂ , ... } una secuencia de números reales o complejos . Si { a _n } no disminuye, sostiene que

$${\ displaystyle \ left | \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} \ right | \ leq \ operatorname {max} _ {k = 1, \ dots, n} | B_ { k} | (| a_ {n} | + a_ {n} -a_ {1}),}

y si { a _n } no aumenta, sostiene que

$${\ displaystyle \ left | \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} \ right | \ leq \ operatorname {max} _ {k = 1, \ dots, n} | B_ { k} | (| a_ {n} | -a_ {n} + a_ {1}),}

dónde

$${\ displaystyle B_ {k} = b_ {1} + \ cdots + b_ {k}.}

En particular, si la secuencia { a _n } no aumenta y no es negativa, se sigue que

$${\ displaystyle \ left | \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} \ right | \ leq \ operatorname {max} _ {k = 1, \ dots, n} | B_ { k} | a_ {1},}

Relación con la transformación de Abel [ editar ]

La desigualdad de Abel se desprende fácilmente de la transformación de Abel, que es la versión discreta de la integración por partes : si { a ₁ , a ₂ , ...} y { b ₁ , b ₂ , ...} son secuencias de números reales o complejos, sostiene que

$${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} = a_ {n} B_ {n} - \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} B_ {k } (a_ {k + 1} -a_ {k}).}

el teorema de irreductibilidad de Abel , un resultado de la teoría de campo descrito en 1829 por Niels Henrik Abel , ^[1] afirma que si ƒ ( x ) es un polinomio sobre un campo F que comparte una raíz con un polinomio g ( x ) que es irreducible sobre  F , entonces cada raíz de g ( x ) es una raíz de ƒ ( x ). De manera equivalente, si ƒ ( x ) comparte al menos una raíz con g (x ), entonces ƒ es divisible uniformemente por g ( x ), lo que significa que ƒ ( x ) se puede factorizar como g ( x ) h ( x ) con h ( x ) también tienen coeficientes en  F . ^[2] [3]

Los corolarios del teorema incluyen: ^[2]

• Si ƒ ( x ) es irreducible, no hay un polinomio de menor grado (que no sea el polinomio cero ) que comparte raíz con él. Por ejemplo, x ²  - 2 es irreductible sobre los números racionales y tiene$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}como una raíz por lo tanto, no hay un polinomio lineal o constante sobre los racionales que tienen$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}como una raíz Además, no existe un polinomio del mismo grado que comparta raíces con ƒ ( x ), aparte de los múltiplos constantes de ƒ( x ).
• Si ƒ ( x ) ≠  g ( x ) son dos polinomios monicos irreducibles diferentes , entonces no comparten raíces.

 la fórmula de resumen de Abel , introducida por Niels Henrik Abel , se usa intensivamente en la teoría de los números y en el estudio de funciones especiales para calcular series .

Fórmula [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n = 0} ^ {\ infty}}Ser una secuencia de números reales o complejos . Definir la función de suma parcial.$${\ displaystyle A} por

$${\ displaystyle A (t) = \ sum _ {0 \ leq n \ leq t} a_ {n}}

para cualquier número real $${\ displaystyle t}. Arreglar números reales{\ displaystyle x , y deja $${\ displaystyle \ phi}ser una función continuamente diferenciable en$${\ displaystyle [x, y]}. Entonces:

{\ displaystyle \ sum _ {x

La fórmula se deriva aplicando la integración por partes para una integral de Riemann-Stieltjes a las funciones$${\ displaystyle A}y $${\ displaystyle \ phi}.

Variaciones [ editar ]

Tomando el punto final izquierdo para ser $${\ displaystyle -1} da la formula

$${\ displaystyle \ sum _ {0 \ leq n \ leq x} a_ {n} \ phi (n) = A (x) \ phi (x) - \ int _ {0} ^ {x} A (u) \ phi '(u) \, du.}

Si la secuencia $${\ displaystyle (a_ {n})} se indexa a partir de $${\ displaystyle n = 1}, entonces podemos definir formalmente $${\ displaystyle a_ {0} = 0}. La fórmula anterior se convierte en.

$${\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq n \ leq x} a_ {n} \ phi (n) = A (x) \ phi (x) - \ int _ {1} ^ {x} A (u) \ phi '(u) \, du.}

Una forma común de aplicar la fórmula de suma de Abel es tomar el límite de una de estas fórmulas como $${\ displaystyle x \ to \ infty}. Las fórmulas resultantes son

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ phi (n) & = \ lim _ {x \ to \ infty} {\ bigl (} A ( x) \ phi (x) {\ bigr)} - \ int _ {0} ^ {\ infty} A (u) \ phi '(u) \, du, \\\ sum _ {n = 1} ^ { \ infty} a_ {n} \ phi (n) & = \ lim _ {x \ to \ infty} {\ bigl (} A (x) \ phi (x) {\ bigr)} - \ int _ {1} ^ {\ infty} A (u) \ phi '(u) \, du. \ end {alineado}}}

Estas ecuaciones se mantienen cuando ambos límites en el lado derecho existen y son finitos.

Un caso particularmente útil es la secuencia. $${\ displaystyle a_ {n} = 1} para todos $${\ displaystyle n \ geq 0}. En este caso,$${\ displaystyle A (x) = \ lfloor x + 1 \ rfloor}. Para esta secuencia, la fórmula de suma de Abel se simplifica a

$${\ displaystyle \ sum _ {0 \ leq n \ leq x} \ phi (n) = \ lfloor x + 1 \ rfloor \ phi (x) - \ int _ {0} ^ {x} \ lfloor u + 1 \ rfloor \ phi '(u) \, du.}

Del mismo modo, para la secuencia. $${\ displaystyle a_ {0} = 0} y $${\ displaystyle a_ {n} = 1} para todos $${\ displaystyle n \ geq 1}, la fórmula se convierte en

$${\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq n \ leq x} \ phi (n) = \ lfloor x \ rfloor \ phi (x) - \ int _ {1} ^ {x} \ lfloor u \ rfloor \ phi ' (u) \, du.}

Al tomar el límite como $${\ displaystyle x \ to \ infty}, encontramos

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ phi (n) & = \ lim _ {x \ to \ infty} {\ bigl (} \ lfloor x + 1 \ rfloor \ phi (x) {\ bigr)} - \ int _ {0} ^ {\ infty} \ lfloor u + 1 \ rfloor \ phi '(u) \, du, \\\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ phi (n) & = \ lim _ {x \ to \ infty} {\ bigl (} \ lfloor x \ rfloor \ phi (x) {\ bigr)} - \ int _ {1} ^ {\ infty} \ lfloor u \ rfloor \ phi '(u) \, du, \ end {alineado}}}

asumiendo que ambos términos en el lado derecho existen y son finitos.

La fórmula de resumen de Abel se puede generalizar al caso donde $${\ displaystyle \ phi}solo se asume que es continuo si la integral se interpreta como una integral de Riemann-Stieltjes :

{\ displaystyle \ sum _ {x

Tomando $${\ displaystyle \ phi}Para ser la función de suma parcial asociada a alguna secuencia, esto lleva a la suma por fórmula de partes .

Ejemplos [ editar ]

Números armónicos [ editar ]

Si $${\ displaystyle a_ {n} = 1} para $${\ displaystyle n \ geq 1} y $${\ displaystyle \ phi (x) = 1 / x,} entonces $${\ displaystyle A (x) = \ lfloor x \ rfloor} y la fórmula cede

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ lfloor x \ rfloor} {\ frac {1} {n}} = {\ frac {\ lfloor x \ rfloor} {x}} + \ int _ {1 } ^ {x} {\ frac {\ lfloor u \ rfloor} {u ^ {2}}} \, du.}

El lado izquierdo es el número armónico. $${\ displaystyle H _ {\ lfloor x \ rfloor}}.

Representación de la función zeta de Riemann [ editar ]

Fijar un número complejo $${\ displaystyle s}. Si$${\ displaystyle a_ {n} = 1} para $${\ displaystyle n \ geq 1} y $${\ displaystyle \ phi (x) = x ^ {- s},} entonces $${\ displaystyle A (x) = \ lfloor x \ rfloor} y la fórmula se convierte en

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ lfloor x \ rfloor} {\ frac {1} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ lfloor x \ rfloor} {x ^ {s} }} + s \ int _ {1} ^ {x} {\ frac {\ lfloor u \ rfloor} {u ^ {1 + s}}} \, du.}

Si {\ displaystyle \ Re (s)> 1}, entonces el límite como $${\ displaystyle x \ to \ infty} Existe y cede la fórmula.

$${\ displaystyle \ zeta (s) = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lfloor u \ rfloor} {u ^ {1 + s}}} \, du.}

Esto puede ser usado para derivar el teorema de Dirichlet que $${\ displaystyle \ zeta (s)}tiene un polo simple con residuo  1 en s = 1 .

Recíproco de la función zeta de Riemann [ editar ]

La técnica del ejemplo anterior también se puede aplicar a otras series de Dirichlet . Si$${\ displaystyle a_ {n} = \ mu (n)}es la función de Möbius y$${\ displaystyle \ phi (x) = x ^ {- s}}, entonces $${\ displaystyle A (x) = M (x) = \ sum _ {n \ leq x} \ mu (n)}Es la función de Mertens y

$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}} = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {M (u)} {u ^ {1 + s}}} \, du.}

Esta fórmula es válida para {\ displaystyle \ Re (s)> 1}.