ARTÍCULOS DE MATEMÁTICAS

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Mostrando la diferencia absoluta de números reales x y y como la distancia entre ellos en la recta real .

La diferencia absoluta de dos números reales x , y está dada por | x  -  y |, el valor absoluto de su diferencia . Describe la distancia en la línea real entre los puntos correspondientes a x e y . Es un caso especial de la L ^pdistancia para todo 1 ≤ p ∞ ≤ y es el estándar métricautilizada tanto para el conjunto de los números racionales Qy su finalización, el conjunto de los números reales R .

Al igual que con cualquier métrica, las propiedades métricas tienen:

• | x - y | ≥ 0, ya que el valor absoluto es siempre no negativo.
• | x - y | = 0 si y solo si   x = y .
• | x - y | = | y - x | ( simetría o conmutatividad ).
• | x - z | ≤ | x - y | + | y - z | ( desigualdad del triángulo ); en el caso de la diferencia absoluta, la igualdad se mantiene si y solo si x ≤ y ≤ z .

Por el contrario, la resta simple no es ni negativa ni conmutativa, pero sí obedece a la segunda y cuarta propiedades anteriores, ya que x - y = 0 si y solo si x  =  y , y - x - z = ( x - y ) + ( y - z ).

La diferencia absoluta se utiliza para definir otras cantidades, incluida la diferencia relativa , la norma L ¹ utilizada en la geometría del taxi y las etiquetas elegantes en la teoría de grafos.

Cuando es deseable evitar la función de valor absoluto, por ejemplo, debido a que es costoso calcularlo o porque su derivado no es continuo, a veces se puede eliminar por la identidad

| x - y | <| z - w | si y solo si ( x - y ) ² <( z - w ) ² .

Esto sigue desde | x - y | ² = ( x - y ) ² y la cuadratura es monotónica en los reales no negativos.

grupo absoluta Galois G _K de un campo K es el grupo de Galois de K ^septiembre sobre K , donde K ^septiembre es un cierre separable de K . Alternativamente, es el grupo de todos los automorfismos de la clausura algebraica de K que fijan K . El grupo absoluto de Galois está bien definido hasta el automorfismo interno . Es un grupo profinito .

(Cuando K es un campo perfecto , K ^sep es lo mismo que un cierre algebraico K ^alg de K. Esto se mantiene, por ejemplo, para K de cero característico , o K para un campo finito ).

El grupo absoluto de Galois de los números reales es un grupo cíclico de orden 2 generado por conjugación compleja, ya que C es el cierre separable de R y [ C : R ] = 2.

Ejemplos [ editar ]

• El grupo absoluto de Galois de un campo algebraicamente cerrado es trivial.
• El grupo absoluto de Galois de los números reales es un grupo cíclico de dos elementos (conjugación compleja y el mapa de identidad), ya que C es el cierre separable de R y [ C : R ] = 2.
• El grupo de Galois absoluto de un campo finito K es isomorfo al grupo

$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {Z}}} = \ varprojlim \ mathbf {Z} / n \ mathbf {Z}.}

(Para la notación, ver Límite inverso .)

El Frobenius automorphism Fr es un generador canónica (topológico) de G _K . (Recuerde que Fr ( x ) = x ^qpara todas las x en K ^alg , donde q es el número de elementos en K ).

• El grupo absoluto de Galois del campo de las funciones racionales con coeficientes complejos es libre (como un grupo profinito). Este resultado se debe a Adrien Douady y tiene sus orígenes en el teorema de existencia de Riemann . ^[1]
• Más generalmente, sea C un campo algebraicamente cerrado y x una variable. A continuación, el grupo absoluto de Galois de K  =  C ( x ) es libre de rango igual a la cardinalidad de C . Este resultado se debe a David Harbater y Florian Pop , y también fue probado más tarde por Dan Haran y Moshe Jarden utilizando métodos algebraicos. ^{[2] [3] [4]}
• Sea K una extensión finita de los números p-adic Q _p . Para p  ≠ 2, su grupo de Galois absoluto es generado por [ K : Q _p ] + 3 elementos y tiene una descripción explícita por generadores y relaciones. Este es un resultado de Uwe Jannsen y Kay Wingberg. ^[5] [6] Se conocen algunos resultados en el caso de p = 2, pero la estructura para Q ₂ no se conoce. ^[7]
• Otro caso en el que se ha determinado el grupo absoluto de Galois es para el subcampo totalmente real más grande del campo de los números algebraicos. ^[8]

Problemas [ editar ]

• No se conoce ninguna descripción directa para el grupo absoluto de Galois de los números racionales . En este caso, del teorema de Belyi se desprende que el grupo Galois absoluto ejerce una acción fiel sobre los dessins d'enfants de Grothendieck (mapas en superficies), lo que nos permite "ver" la teoría de Galois de los campos numéricos algebraicos.
• Sea K la máxima extensión abeliana de los números racionales. Entonces, la conjetura de Shafarevichafirma que el grupo absoluto de Galois de K es un grupo libre y gratuito. ^[9]

Algunos resultados generales [ editar ]

• Cada grupo profinito se presenta como un grupo de Galois de alguna extensión de Galois, ^[10] sin embargo, no todos los grupos profinitos aparecen como un grupo de Galois absoluto. Por ejemplo, el teorema de Artin-Schreier afirma que los únicos grupos de Galois absolutos finitos son triviales o de orden 2, es decir, solo dos clases de isomorfismo.
• Cada grupo profinito proyectivo puede realizarse como un grupo absoluto de Galois de un campo pseudoalgebraicamente cerrado . Este resultado se debe a Alexander Lubotzky y Lou van den Dries .

La geometría absoluta es una geometría basada en un sistema de axiomas para la geometría euclidiana sin el postulado paralelo o cualquiera de sus alternativas. Tradicionalmente, esto ha significado usar solo los primeros cuatro postulados de Euclides , pero como estos no son suficientes como base de la geometría euclidiana , se usan otros sistemas, como los axiomas de Hilbert sin el axioma paralelo. ^[1] El término fue introducido por János Bolyai en 1832. ^[2] A veces se lo conoce como geometría neutral , ^[3] ya que es neutral con respecto al postulado paralelo.

Propiedades [ editar ]

Podría imaginarse que la geometría absoluta es un sistema bastante débil, pero ese no es el caso. De hecho, en los Elementosde Euclides , las primeras 28 proposiciones y la Proposición 31 evitan el uso del postulado paralelo, y por lo tanto son válidas en geometría absoluta. También se puede probar en geometría absoluta el teorema del ángulo exterior (un ángulo exterior de un triángulo es más grande que cualquiera de los ángulos remotos), así como el teorema de Saccheri-Legendre , que establece que la suma de las medidas de los ángulos en una El triángulo tiene como máximo 180 °. ^[4]

La Proposición 31 es la construcción de una línea paralela a una línea dada a través de un punto que no está en la línea dada. ^[5] Como la prueba solo requiere el uso de la Proposición 27 (el Teorema del ángulo interior alternativo), es una construcción válida en geometría absoluta. Más precisamente, dada cualquier línea l y cualquier punto P no en l , hay al menos una línea a través de P que es paralela a l . Esto se puede probar usando una construcción familiar: dado que una línea l y un punto P no están en l , deja caer la perpendicular mde P a l, Entonces erigir una perpendicular n a m a través de P . Por el teorema de ángulo interior alternativo, l es paralelo a n . (El teorema del ángulo interior alternativo indica que si las líneas a y b se cortan con una t transversal, de modo que hay un par de ángulos internos alternos congruentes, entonces a y b son paralelos). La construcción anterior y el teorema del ángulo interior alternos no dependen del postulado paralelo y, por lo tanto, son válidos en geometría absoluta. ^[6]

En geometría absoluta también es demostrable que dos líneas perpendiculares a la misma línea no pueden intersecarse (lo que hace que las dos líneas sean paralelas por definición de líneas paralelas), lo que demuestra que los ángulos de la cumbre de un cuadrilátero de Saccheri no pueden ser obtusos , y que la geometría esféricano es Una geometría absoluta.

Relación con otras geometrías [ editar ]

Los teoremas de la geometría absoluta se mantienen en la geometría hiperbólica , que es una geometría no euclidiana , así como en la geometría euclidiana . ^[7]

La geometría absoluta es inconsistente con la geometría elíptica : en esa teoría, no hay líneas paralelas en absoluto, pero es un teorema de la geometría absoluta que existen líneas paralelas. Sin embargo, es posible modificar el sistema de axiomas para que la geometría absoluta, tal como se define en el sistema modificado, incluya geometrías esféricas y elípticas, que no tengan líneas paralelas. ^[8]

La geometría absoluta es una extensión de la geometría ordenada y, por lo tanto, todos los teoremas de geometría ordenada se mantienen en la geometría absoluta. Lo contrario no es cierto. La geometría absoluta asume que los cuatro primeros de los Axiomas de Euclides (o sus equivalentes) se contrastan con la geometría afín , que no asume los axiomas tercero y cuarto de Euclides. (3: "Para describir un círculo con cualquier radio decentro y distancia .", 4: "Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.") La geometría ordenada es una base común de la geometría absoluta y afín. ^[9]

La geometría de la relatividad especial se ha desarrollado a partir de nueve axiomas y once proposiciones de geometría absoluta. ^[10] [11] Los autores Edwin B. Wilson y Gilbert N. Lewis continúan más allá de la geometría absoluta cuando introducen la rotación hiperbólica como la transformación que relaciona dos marcos de referencia .

Planos de Hilbert [ editar ]

Un plano que satisface los axiomas de Incidencia , Entreess y Congruencia de Hilbert se denomina plano de Hilbert . ^[12] Los planos de Hilbert son modelos de geometría absoluta. ^[13]

Incompletitud [ editar ]

La geometría absoluta es un sistema axiomático incompleto , en el sentido de que uno puede agregar axiomas independientes adicionales sin hacer que el sistema de axiomas sea inconsistente. Uno puede extender la geometría absoluta agregando diferentes axiomas sobre líneas paralelas y obtener sistemas de axiomas incompatibles pero consistentes, dando lugar a una geometría euclidiana o hiperbólica. Por lo tanto, todo teorema de la geometría absoluta es un teorema de la geometría hiperbólica y la geometría euclidiana. Sin embargo, lo contrario no es cierto.

El Absoluto Infinito ( símbolo : Ω) es una extensión de la idea del infinito propuesta por el matemático Georg Cantor .

Puede considerarse como un número que es mayor que cualquier cantidad concebible o inconcebible, ya sea finita o transfinita .

Cantor vinculó el Infinito Absoluto con Dios , ^[1] y creía que tenía varias propiedades matemáticas , incluido el principio de reflexión : cada objeto del más pequeño posee cada propiedad del Infinito Absoluto.

vista de Cantor [ editar ]

Cantor dijo:

En la existencia completamente independiente, extramundana, en Deo, donde la llamo infinitamente absoluta o simplemente absoluta; segundo en la medida en que está representado en el mundo dependiente y creatural; concebido in abstracto en el pensamiento como una magnitud matemática, número o tipo de orden. Yo lo llamo transfinito y lo contraste fuertemente con lo absoluto. ^[3]

Cantor mencionó así la idea en sus cartas a Richard Dedekind (texto entre corchetes no presente en el original): ^[6]

Una multiplicidad se llama bien ordenada si cumple la condición de que cada sub-multiplicidad tiene un primer elemento ; buscar una multiplicidad que llamo una breve "secuencia".

... 

Ahora visualizo el sistema de todos los números [ordinales] y lo denoto Ω . 

... 

El sistema Ω en su orden natural es una "secuencia". 
Ahora adjuntemos 0 como un elemento adicional a esta secuencia, y colóquelo, obviamente, en la primera posición; luego obtenemos una secuencia Ω ' : 

0, 1, 2, 3, ... ω ₀ , ω ₀ +1, ..., γ, ... 
de la cual no podemos convencernos de que cada número γ está en ella es el tipo [es decir, tipo de orden] de la secuencia de todos sus elementos precedentes (incluido 0). (La secuencia Ω tiene esta propiedad primero para ω ₀ +1. [Ω ₀1 caso de que se w ₀ .]) 

Ahora Ω ' Por lo tanto (y por lo tanto Ω ) no puede haber una multiplicidad consistente. Porque si Ω 'fueron consistentes, a continuación, como un conjunto bien ordenada, un número δ correspondería a la misma que sería mayor que todos los números del sistema Ω ; el número δ , sin embargo, que pertenece al sistema Ω , porque abarca todos los números. Así, δ sería mayor que δ , lo que es una contradicción. Por lo tanto: 

El sistema Ω de todos los números [ordinales] es inconsistente, multiplicidad absolutamente infinita.

La paradoja de Burali-Forti [ editar ]

Artículo principal: paradoja de Burali-Forti

La idea de que la colección de todos los números ordinales no puede existir lógicamente parece paradójica para muchos. Esto está relacionado con la "paradoja" de Cesare Burali-Forti, que afirma que no hay un número ordinal mayor . Todos estos problemas se pueden remontar a la idea de que, para cada propiedad que puede definirse lógicamente, existe un conjunto de todo lo que tiene esa propiedad. Sin embargo, como en el argumento de Cantor (arriba), esta idea lleva a dificultades.

De manera más general, como lo señaló AW Moore , no hay un final para el proceso de formación de conjuntos , y por lo tanto no hay cosa de búsqueda como la totalidad de todos los conjuntos , o la jerarquía de conjuntos . Cualquier totalidad de este tipo tendría que ser un conjunto, por lo que se encuentra en algún lugar dentro de la jerarquía y, por lo tanto, no puede contener cada conjunto.

Una solución estándar a este problema se encuentra en el conjunto de teorías de Zermelo , que no permite la formación sin restricciones de conjuntos de propiedades arbitrarias. Más bien, podemos tener el conjunto de todos los objetos que tienen una propiedad dada y se encuentran en algún conjunto dado (el Axioma de Separación de Zermelo ). Esto permite la formación de conjuntos basados ​​en propiedades, en un sentido limitado, mientras que (con suerte) preserva la consistencia de la teoría.

Si bien esto resuelve el problema lógico, se podría argumentar que el problema filosófico permanece. Parece natural que exista un conjunto de individuos, mientras existan los individuos. De hecho, podría decirse que la teoría de conjuntos ingenua se basa en esta noción. Aunque la corrección de Zermelo permite que una clasedescriba entidades arbitrarias (posiblemente "grandes"), estas predicciones del meta-lenguaje pueden no tener una existencia formal (es decir, como un conjunto) dentro de la teoría. Por ejemplo, la clase de todos los conjuntos sería una clase adecuada . Esto es filosóficamente insatisfactorio para algunos trabajos adicionales motivados en teoría y otros métodos para formalizar los fundamentos de las matemáticas, como New Foundations byWillard Van Orman Quine .