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 grupo abeliano , también llamado grupo conmutativo , es un grupo en el que el resultado de aplicar la operación de grupo a dos elementos de grupo no depende del orden en que se escriben. Es decir, estos son los grupos que obedecen al axioma de conmutatividad . Los grupos abelianos generalizan la aritmética de la suma de enteros . Su nombre proviene del matemático de principios del siglo XIX Niels Henrik Abel . ^[1]

El concepto de grupo abeliano es uno de los primeros conceptos encontrados en álgebra abstracta de pregrado, a partir de la cual se desarrollan muchos otros conceptos básicos, como módulos y espacios vectoriales . La teoría de los grupos abelianos es generalmente más simple que la de sus homólogos no abelianos , y los grupos abelianos finitos son muy bien entendidos. Por otro lado, la teoría de los grupos abelianos infinitos es un área de investigación actual.

Definición [ editar ]

Estructuras tipo grupo
	Totalidad α	Asociatividad	Identidad	Invertibilidad	La conmutatividad
Semigroupoid	Innecesario	Necesario	Innecesario	Innecesario	Innecesario
Categoría pequeña	Innecesario	Necesario	Necesario	Innecesario	Innecesario
Groupoid	Innecesario	Necesario	Necesario	Necesario	Innecesario
Magma	Necesario	Innecesario	Innecesario	Innecesario	Innecesario
Cuasigrupo	Necesario	Innecesario	Innecesario	Necesario	Innecesario
Lazo	Necesario	Innecesario	Necesario	Necesario	Innecesario
Semigrupo	Necesario	Necesario	Innecesario	Innecesario	Innecesario
Semigrupo Inverso	Necesario	Necesario	Innecesario	Necesario	Innecesario
Monoide	Necesario	Necesario	Necesario	Innecesario	Innecesario
Grupo	Necesario	Necesario	Necesario	Necesario	Innecesario
Grupo abeliano	Necesario	Necesario	Necesario	Necesario	Necesario
^ El cierre α , que se usa en muchas fuentes, es un axioma equivalente a la totalidad, aunque se define de manera diferente.

Un grupo abeliano es un conjunto , A , junto con una operación • que combina cualquiera de los dos elementos a y b para formar otro elemento denotado a • b . El símbolo • es un marcador de posición general para una operación concreta. Para calificar como grupo abeliano, el conjunto y la operación, ( A , •) , deben cumplir cinco requisitos conocidos como los axiomas del grupo abeliano :

Cierre

Para todos un , b en A , el resultado de la operación de un • b es también en una .

Asociatividad

Para todos un , b y c en A , la ecuación ( una • b ) • c = un • ( b • c ) se mantiene.

Elemento de identidad

Existe un elemento e en A , de modo que para todos los elementos a en A , se cumple la ecuación e • a = a • e = a .

Elemento inverso

Para cada a en A , existe un elemento b en A tal que a • b = b • a = e , donde e es el elemento de identidad.

La conmutatividad

Para todos a , b en A , a • b = b • a .

Un grupo en el que la operación de grupo no es conmutativa se denomina "grupo no abeliano" o "grupo no conmutativo".

Hechos [ editar ]

Notación [ editar ]

Ver también: Grupo aditivo y Grupo multiplicativo.

Existen dos convenciones notacionales principales para los grupos abelianos: aditivos y multiplicativos.

Convención	Operación	Identidad	Potestades	Inverso
Adición	x + y	0	nx	- x
Multiplicación	x ⋅ y o xy	e o 1	x n	x −1

Generalmente, la notación multiplicativa es la notación usual para grupos, mientras que la notación aditiva es la notación usual para módulos y anillos . La notación aditiva también se puede usar para enfatizar que un grupo particular es abeliano, siempre que se consideren grupos abelianos y no abelianos, algunas excepciones notables son los grupos cercanos a los anillos y parcialmente ordenados , donde una operación se escribe de manera aditiva incluso cuando no es abeliana. .

Tabla de multiplicación [ editar ]

Para verificar que un grupo finito es abeliano, se puede construir una tabla (matriz), conocida como tabla de Cayley , de manera similar a una tabla de multiplicación . Si el grupo es G = { g ₁ = e , g ₂ , ..., g _n } bajo la operación ⋅, la entrada ( i , j ) th de esta tabla contiene el producto g _i ⋅ g _j . El grupo es abeliano si y solo si esta tabla es simétrica respecto a la diagonal principal.

Esto es cierto ya que si el grupo es abeliano, entonces g _i ⋅ g _j = g _j ⋅ g _i . Esto implica que la entrada ( i , j ) th de la tabla es igual a la entrada ( j , i ) th , por lo que la tabla es simétrica respecto a la diagonal principal.

Ejemplos [ editar ]

• Para los enteros y la suma de operación "+", denotada ( Z , +) , la operación + combina dos enteros cualquiera para formar un tercer entero, la suma es asociativa, cero es la identidad aditiva , cada entero ntiene un inverso aditivo , - n , y la operación de suma es conmutativa ya que m + n = n + m para cualquiera de los dos enteros m y n .
• Cada grupo cíclico G es abeliano, porque si x , y están en G , entonces xy = a ^m a ⁿ = a ^m + n = a ^n + m= a ⁿ a ^m = yx . Así, los números enteros , Z , forman un grupo abeliano bajo la adición, al igual que los enteros módulo n , Z / n Z .
• Cada anillo es un grupo abeliano con respecto a su operación de adición. En un anillo conmutativo, los elementos invertibles, o unidades , forman un grupo multiplicativo abeliano . En particular, los números realesson un grupo abeliano bajo adición, y los números reales distintos de cero son un grupo abeliano bajo multiplicación.
• Cada subgrupo de un grupo abeliano es normal , por lo que cada subgrupo da lugar a un grupo cociente . Los subgrupos, los cocientes y las sumas directas de los grupos abelianos son nuevamente abelianos. Los grupos abelianos simples finitos son exactamente los grupos cíclicos de primer orden. ^[2]
• Los conceptos de grupo abeliano y Z - módulo concuerdan. Más específicamente, cada módulo Z es un grupo abeliano con su operación de adición, y cada grupo abeliano es un módulo sobre el anillo de enteros Z de una manera única.

En general, las matrices , incluso matrices invertibles, no forman un grupo abeliano bajo la multiplicación porque la multiplicación de la matriz generalmente no es conmutativa. Sin embargo, algunos grupos de matrices son grupos abelianos bajo la multiplicación de matrices; un ejemplo es el grupo de matrices de rotación 2 × 2 .

Comentarios históricos [ editar ]

Camille Jordan nombró a los grupos abelianos por el matemático noruego Niels Henrik Abel , porque Abel descubrió que la conmutatividad del grupo de un polinomio implica que las raíces del polinomio pueden calcularse utilizando radicales . Consulte la Sección 6.5 de Cox (2004) para obtener más información sobre los antecedentes históricos.

Propiedades [ editar ]

Si n es un número natural y x es un elemento de un grupo abeliano G escrito de manera aditiva, entonces nxpuede definirse como x + x + ... + x ( n sumandos) y (- n ) x = - ( nx ) . De esta manera, G se convierte en un módulo sobre el anillo Z de enteros. De hecho, los módulos sobre Z pueden identificarse con los grupos abelianos.

Los teoremas sobre grupos abelianos (es decir, módulos sobre el dominio ideal principal Z ) a menudo pueden generalizarse a teoremas sobre módulos sobre un dominio ideal principal arbitrario. Un ejemplo típico es la clasificación de grupos abelianos finamente generados, que es una especialización del teorema de estructura para módulos generados finamente sobre un dominio ideal principal . En el caso de grupos abelianos finamente generados, este teorema garantiza que un grupo abeliano se divide como una suma directa de un grupo de torsión y un grupo abeliano libre. El primero puede escribirse como una suma directa de muchos grupos de la forma Z / p ^k Z para pprimer y el segundo es una suma directa de un número finito de copias de Z .

Si f , g  : G → H son dos homomorfismos de grupo entre grupos abelianos, entonces su suma f + g , definida por ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , es nuevamente un homomorfismo. (Esto no es cierto si H es un grupo no abeliano). El conjunto Hom ( G , H ) de todos los homomorfismos de grupo de G a H Así se convierte en un grupo abeliano por derecho propio.

Algo similar a la dimensión de los espacios vectoriales , cada grupo abeliano tiene un rango . Se define como la cardinalidad máxima de un conjunto de elementos linealmente independientes del grupo. Los enteros y los números racionales tienen rango uno, así como todos los subgrupos de los racionales.

El centro Z ( G ) de un grupo G es el conjunto de elementos que conmutan con todos los elementos de G . Un grupo G es abeliano si y solo si es igual a su centro Z ( G ). El centro de un grupo G es siempre una característica del subgrupo abeliano de G . Si el grupo cociente G / Z ( G ) de un grupo por su centro es cíclico, Ges abeliano. ^[3]

Grupos abelianos finitos [ editar ]

Los grupos cíclicos de enteros módulo n , Z / n Z , fueron algunos de los primeros ejemplos de grupos. Resulta que un grupo abeliano finito arbitrario es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos finitos de orden de poder primario, y estos órdenes se determinan de manera única, formando un sistema completo de invariantes. El grupo de automorfismo de un grupo abeliano finito se puede describir directamente en términos de estos invariantes. La teoría se desarrolló por primera vez en el artículo de 1879 de Georg Frobenius y Ludwig Stickelberger, y luego se simplificó y generalizó a los módulos generados de manera finita sobre un dominio ideal principal, formando un importante capítulo de álgebra lineal..

Cualquier grupo de primer orden es isomorfo a un grupo cíclico y, por lo tanto, abeliano. Cualquier grupo cuyo orden es un cuadrado de un número primo es abeliano. ^[4] De hecho, para cada número primo p hay (hasta isomorfismo) exactamente dos grupos de orden p ² , a saber, Z _p ² y Z _p × Z _p .

Clasificación [ editar ]

El teorema fundamental de los grupos abelianos finitos establece que cada grupo abeliano finito G puede expresarse como la suma directa de los subgrupos cíclicos de primer orden de poder; También se conoce como el teorema de base para grupos abelianos finitos . ^[5] Esto se generaliza por el teorema fundamental de los grupos abelianos generados finamente , siendo los grupos finitos el caso especial cuando G tiene rango cero ; esto a su vez admite numerosas generalizaciones adicionales.

La clasificación fue probada por Leopold Kronecker en 1870, aunque no se declaró en términos modernos de teoría de grupos hasta más tarde, y fue precedida por una clasificación similar de formas cuadráticas por Gauss en 1801; ver la historia para más detalles.

El grupo cíclico Z _mn de orden mn es isomorfo a la suma directa de Z _m y Z _n si y solo si m y n son coprime . De ello se deduce que cualquier grupo abeliano G finito es isomorfo a una suma directa de la forma

$${\ displaystyle \ bigoplus _ {i = 1} ^ {u} \ \ mathbf {Z} _ {k_ {i}}}

En cualquiera de las siguientes formas canónicas:

• los números k ₁ , ..., k _u son potencias de números primos (no necesariamente distintos),
• o k ₁ divide k ₂ , que divide k ₃ , y así sucesivamente hasta k _u .

Por ejemplo, Z ₁₅ puede expresarse como la suma directa de dos subgrupos cíclicos de orden 3 y 5: Z ₁₅ ≅ {0, 5, 10} ⊕ {0, 3, 6, 9, 12}. Lo mismo puede decirse de cualquier grupo abeliano de orden 15, lo que lleva a la notable conclusión de que todos los grupos abelianos de orden 15 son isomorfos .

Para otro ejemplo, cada grupo abeliano de orden 8 es isomorfo a cualquiera de Z ₈ (los enteros de 0 a 7 bajo el módulo de adición 8), Z ₄ ⊕ Z ₂ (los enteros impares de 1 a 15 bajo el módulo de multiplicación 16), o Z ₂ ⊕ Z ₂ ⊕ Z ₂ .

Vea también la lista de grupos pequeños para grupos abelianos finitos de orden 30 o menos.

Automorfismos [ editar ]

Se puede aplicar el teorema fundamental para contar (y, a veces, determinar) los automorfismos de un grupo abeliano finito G dado . Para hacer esto, se usa el hecho de que si G se divide como una suma directa H ⊕ K de subgrupos de orden de coprime , entonces Aut ( H ⊕ K ) ≅ Aut ( H ) ⊕ Aut ( K ) .

Dado esto, el teorema fundamental muestra que para calcular el grupo de automorfismos de G basta con calcular los grupos de automorfismos de los subgrupos p de Sylow por separado (es decir, todas las sumas directas de los subgrupos cíclicos, cada uno con orden y poder de p ). Fije una p prima y suponga que los exponentes e _i de los factores cíclicos del subgrupo p de Sylow están ordenados en orden creciente:

$${\ displaystyle e_ {1} \ leq e_ {2} \ leq \ cdots \ leq e_ {n}}

para algunos n > 0 . Hay que encontrar los automorfismos de

$${\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {p ^ {e_ {1}}} \ oplus \ cdots \ oplus \ mathbf {Z} _ {p ^ {e_ {n}}}.}

Un caso especial es cuando n = 1, de modo que sólo hay un factor primo-cíclico de alimentación eléctrica en el Sylow p -subgroup P . En este caso se puede utilizar la teoría de los automorfismos de un grupo cíclico finito . Otro caso especial es cuando n es arbitrario pero e _i = 1 para 1 ≤ i ≤ n . Aquí, uno está considerando que P es de la forma

$${\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {p} \ oplus \ cdots \ oplus \ mathbf {Z} _ {p},}

por lo tanto, se puede considerar que los elementos de este subgrupo comprenden un espacio vectorial de dimensión n sobre el campo finito de p elementos F _p . Los automorfismos de este subgrupo, por lo tanto, están dados por las transformaciones lineales invertibles, por lo que

$${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (P) \ cong \ mathrm {GL} (n, \ mathbf {F} _ {p}),}

donde GL es el grupo lineal general apropiado . Esto se muestra fácilmente para tener orden

$${\ displaystyle \ left | \ operatorname {Aut} (P) \ right | = (p ^ {n} -1) \ cdots (p ^ {n} -p ^ {n-1}).}

En el caso más general, donde el e _i y n son arbitrarias, el grupo automorphism es más difícil de determinar. Se sabe, sin embargo, que si se define

$${\ displaystyle d_ {k} = \ max \ {r \ mid e_ {r} = e_ {k} ^ {\,} \}}

y

$${\ displaystyle c_ {k} = \ min \ {r \ mid e_ {r} = e_ {k} \}}

entonces uno tiene en particular d _k ≥ k , c _k ≤ k , y

$${\ displaystyle \ left | \ operatorname {Aut} (P) \ right | = \ prod _ {k = 1} ^ {n} (p ^ {d_ {k}} - p ^ {k-1}) \ prod _ {j = 1} ^ {n} (p ^ {e_ {j}}) ^ {n-d_ {j}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} (p ^ {e_ {i} - 1}) ^ {n-c_ {i} +1}.}

Se puede comprobar que esto produce los pedidos en los ejemplos anteriores como casos especiales (ver Hillar, C., y Rhea, D.).

Grupos abelianos generados finamente [ editar ]

Artículo principal: Grupo abeliano finamente generado.

Un grupo abeliano A se genera de manera finita si contiene un conjunto finito de elementos (llamados generadores )$${\ displaystyle G = \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \}}de tal manera que cada elemento del grupo es una combinación lineal con coeficientes enteros de elementos de G .

Sea L un grupo abeliano libre con base$${\ displaystyle B = \ {b_ {1}, \ ldots, b_ {n} \}.} Hay un grupo único de homomorfismo. $${\ displaystyle p \ colon L \ to A,}tal que

$${\ displaystyle p (b_ {i}) = x_ {i} \ quad {\ text {for}} i = 1, \ ldots, n.}

Este homomorfismo es suprayectivo, y su núcleo se genera finamente (ya que los enteros forman un anillo noetheriano ). Considere la matriz M con entradas de enteros, de modo que las entradas de su columna j son los coeficientes del generador j del kernel. A continuación, el grupo abeliano es isomorfo al conúcleo de mapa lineal definida por M . A la inversa, cada matriz de enteros define un grupo abeliano finamente generado.

De ello se deduce que el estudio de grupos abelianos finamente generados es totalmente equivalente al estudio de matrices enteras. En particular, cambiar el conjunto generador de A es equivalente a multiplicar M a la izquierda por una matriz unimodular (es decir, una matriz entera invertible cuya inversa también es una matriz entera). Cambiar el grupo generador del núcleo de M es equivalente a multiplicar M a la derecha por una matriz unimodular.

La forma normal de Smith de M es una matriz.

$${\ displaystyle S = UMV,}

donde U y V son unimodulares, y S es una matriz tal que todas las entradas no diagonales son cero, las entradas diagonales no cero$${\ displaystyle d_ {1,1}, \ ldots, d_ {k, k}} son los primeros, y $${\ displaystyle d_ {j, j}} es un divisor de $${\ displaystyle d_ {i, i}}para i > j . La existencia y la forma de la normal de Smith prueban que el grupo abeliano A finamente generado es la suma directa

$${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {r} \ oplus \ mathbb {Z} / d_ {1,1} \ mathbb {Z} \ oplus \ cdots \ oplus \ mathbb {Z} / d_ {k, k} \ mathbb {Z},}

donde r es el número de filas cero en la parte inferior de r (y también el rango del grupo). Este es el teorema fundamental de los grupos abelianos finamente generados .

La existencia de algoritmos para la forma normal de Smith muestra que el teorema fundamental de los grupos abelianos generados de manera definitiva no solo es un teorema de la existencia abstracta, sino que proporciona una manera de calcular la expresión de los grupos abelianos generados de manera definitiva como sumas directas.

Grupos abelianos infinitos [ editar ]

El grupo abeliano infinito más simple es el infinito cíclico grupo Z . Cualquier grupo abeliano A finamente generado es isomorfo a la suma directa de r copias de Z y un grupo abeliano finito, que a su vez se puede descomponer en una suma directa de muchos grupos cíclicos de órdenes primarias. A pesar de que la descomposición no es única, el número r , llamado el rango de A , y las potencias principales que dan las órdenes de sumas cíclicas finitas están determinadas de manera única.

En contraste, la clasificación de los grupos abelianos generados infinitamente en general está lejos de ser completa. Los grupos divisibles , es decir, los grupos abelianos A en los cuales la ecuación nx = a admite una solución x ∈ A para cualquier número natural n y el elemento a de A , constituyen una clase importante de grupos abelianos infinitos que pueden caracterizarse completamente. Cada grupo divisible es isomorfo a una suma directa, con sumandos isomorphic a Q y Prüfer group Q _p / Z _p para varios números primos p, y la cardinalidad del conjunto de sumas de cada tipo se determina de manera única. ^[6] Por otra parte, si un grupo divisible A es un subgrupo de un grupo abeliano G entonces A admite un complemento directo: un subgrupo C de G tal que G = A ⊕ C . Así, los grupos divisibles son módulos inyectivos en la categoría de grupos abelianos y, a la inversa, cada grupo abeliano inyectivo es divisible ( criterio de Baer ). Un grupo abeliano sin subgrupos divisibles que no sean cero se llama reducido .

Dos clases especiales importantes de grupos abelianos infinitos con propiedades diametralmente opuestos son grupos de torsión y grupos libre de torsión , ejemplificados por los grupos Q / Z (periódico) y Q (sin torsión).

Grupos de torsión [ editar ]

Un grupo abeliano se llama periódico o torsión , si cada elemento tiene un orden finito . Una suma directa de grupos cíclicos finitos es periódica. Aunque la declaración inversa no es cierta en general, se conocen algunos casos especiales. El primer y segundo teoremas de Prüfer establecen que si A es un grupo periódico y tiene un exponente acotado , es decir, nA = 0 para algún número natural n , o es contable y las p- alturas de los elementos de A son finitas para cada p , luego unEs isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos finitos. ^[7] La cardinalidad del conjunto de sumandos directos isomorfo a Z / p ^m Z en una descomposición de este tipo es una invariante de A . Estos teoremas fueron subsumidos posteriormente en el criterio de Kulikov . En una dirección diferente, Helmut Ulm encontró una extensión del segundo teorema de Prüfer a los grupos p abelianos contables con elementos de altura infinita: esos grupos se clasifican completamente por medio de sus invariantes de Ulm .

Grupos libres de torsión y mixtos [ editar ]

Un grupo abeliano se denomina libre de torsión si cada elemento distinto de cero tiene un orden infinito. Se han estudiado ampliamente varias clases de grupos abelianos sin torsión :

• Grupos abelianos libres , es decir, sumas directas arbitrarias de Z
• Cotorsión y grupos algebraicamente compactos sin torsión como los enteros p -adic
• Grupos esbeltos

Un grupo abeliano que no es ni periódico ni libre de torsión se llama mixto . Si A es un grupo abeliano y T ( A ) es su subgrupo de torsión , entonces el grupo de factores A / T ( A ) está libre de torsión. Sin embargo, en general, el subgrupo de torsión no es un sumando directo de A , por lo que A no es isomorfo a T ( A ) ⊕ A / T ( A ) . Por lo tanto, la teoría de grupos mixtos implica más que simplemente combinar los resultados sobre grupos periódicos y sin torsión.

Invariantes y clasificación [ editar ]

Uno de los invariantes más básicos de un grupo abeliano infinita Una es su rango : la cardinalidad de la máxima linealmente independientes subconjunto de A . Los grupos abelianos de rango 0 son precisamente los grupos periódicos, mientras que los grupos abelianos libres de torsión de rango 1 son necesariamente subgrupos de Q y pueden describirse completamente. Más generalmente, un grupo abeliano libre de torsión de rango finito r es un subgrupo de Q ^r . Por otro lado, el grupo de enteros p pádicos Z _p es un grupo abeliano libre de torsión de infinito Z- clasificación y los grupos Zn 
p con diferentenno son isomorfos, por lo que este invariante ni siquiera captura completamente las propiedades de algunos grupos familiares.

Los teoremas de clasificación para los grupos abelianos libres de torsión, finamente generados, divisibles, contables periódicos y de rango 1 explicados anteriormente se obtuvieron antes de 1950 y forman una base de la clasificación de los grupos abelianos infinitos más generales. Las herramientas técnicas importantes utilizadas en la clasificación de grupos abelianos infinitos son subgrupos puros y básicos . La introducción de varios invariantes de grupos abelianos libres de torsión ha sido una vía de progreso adicional. Vea los libros de Irving Kaplansky , László Fuchs , Phillip Griffith y David Arnold , así como las actas de las conferencias sobre Teoría de grupos abelianos publicadas en Lecture Notes in Mathematics para los resultados más recientes.

Grupos aditivos de anillos [ editar ]

El grupo aditivo de un anillo es un grupo abeliano, pero no todos los grupos abelianos son grupos aditivos de anillos (con multiplicación no trivial). Algunos temas importantes en esta área de estudio son:

• Producto tensor
• Resultados de la esquina en grupos sin torsión contables
• El trabajo de Shelah para eliminar las restricciones de cardinalidad.

Relación con otros temas matemáticos [ editar ]

Muchos grupos abelianos grandes poseen una topología natural , que los convierte en grupos topológicos .

La colección de todos los grupos abelianos, junto con los homomorfismos entre ellos, forma la categoría Ab , el prototipo de una categoría abeliana .

Casi todas las estructuras algebraicas conocidas distintas de las álgebras booleanas son indecidibles . Por lo tanto, es sorprendente que la estudiante de Tarski, Wanda Szmielew  ( 1955 ), haya demostrado que la teoría de primer orden de los grupos abelianos, a diferencia de su contraparte nonabeliana, es decidible. Esta decidibilidad, más el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos descritos anteriormente, resaltan algunos de los éxitos en la teoría de grupos abelianos, pero todavía hay muchas áreas de investigación actual:

• Entre los grupos abelianos libres de torsión de rango finito, solo se conocen bien el caso generado finamente y el caso de rango 1 ;
• Hay muchos problemas sin resolver en la teoría de los grupos abelianos libres de torsión de rango infinito;
• Mientras que los grupos abelianos de torsión contable se entienden bien a través de presentaciones simples e invariantes de Ulm, el caso de los grupos mixtos contables es mucho menos maduro.
• Se sabe que muchas extensiones leves de la teoría de primer orden de los grupos abelianos son indecidibles.
• Los grupos abelianos finitos siguen siendo un tema de investigación en teoría de grupos computacionales .

Además, los grupos abelianos de orden infinito conducen, sorprendentemente, a preguntas profundas sobre la teoría de conjuntos que comúnmente se asume que subyacen a todas las matemáticas. Tome el problema de Whitehead : ¿son todos los grupos de Whitehead de orden infinito también grupos abelianos libres ? En la década de 1970, Saharon Shelah demostró que el problema de Whitehead es:

• Ineludible en ZFC ( axiomas de Zermelo-Fraenkel ), la teoría de conjuntos axiomática de la que se pueden derivar casi todas las matemáticas actuales. El problema de Whitehead también es la primera pregunta en matemática ordinaria demostrada indecidible en ZFC;
• Increíble incluso si ZFC se incrementa tomando la hipótesis del continuo generalizado como un axioma;
• Responda positivamente si ZFC se aumenta con el axioma de constructibilidad (vea las afirmaciones verdaderas en L ).