ARTÍCULOS DE MATEMÁTICAS

 integral abeliana , llamada así por el matemático noruego Niels Henrik Abel , es una integral en el plano complejo de la forma.

$${\ displaystyle \ int _ {z_ {0}} ^ {z} R (x, w) \, dx,}

dónde $${\ displaystyle R (x, w)}Es una función racional arbitraria de las dos variables.$${\ displaystyle x} y $${\ displaystyle w}, que están relacionados por la ecuación

$${\ displaystyle F (x, w) = 0,}

dónde $${\ displaystyle F (x, w)}es un polinomio irreducible en$${\ displaystyle w},

$${\ displaystyle F (x, w) \ equiv \ varphi _ {n} (x) w ^ {n} + \ cdots + \ varphi _ {1} (x) w + \ varphi _ {0} \ left (x \ Correcto),}

cuyos coeficientes $${\ displaystyle \ varphi _ {j} (x)}, $${\ displaystyle j = 0,1, \ ldots, n}son funciones racionales de$${\ displaystyle x}. El valor de una integral abeliana no solo depende de los límites de integración sino también del camino a lo largo del cual se toma la integral, y por lo tanto es una función multivaluada de$${\ displaystyle z}.

Las integrales abelianas son generalizaciones naturales de las integrales elípticas , que surgen cuando

$${\ displaystyle F (x, w) = w ^ {2} -P (x), \,}

dónde $${\ displaystyle P \ left (x \ right)}es un polinomio de grado 3 o 4. Otro caso especial de una integral abeliana es una integral hiperelíptica , donde$${\ displaystyle P (x)}, en la fórmula anterior, es un polinomio de grado superior a 4.

Historia [ editar ]

La teoría de las integrales abelianas se originó con el artículo de Abel ^[1] publicado en 1841. Este artículo se escribió durante su estancia en París en 1826 y se presentó a Augustin-Louis Cauchy en octubre del mismo año. Esta teoría, desarrollada posteriormente por otros, fue uno de los logros culminantes de las matemáticas del siglo XIX y ha tenido un gran impacto en el desarrollo de las matemáticas modernas. En un lenguaje más abstracto y geométrico, está contenido en el concepto de variedad abeliana , o más precisamente en la forma en que una curva algebraica se puede mapear en variedades abelianas. La integral de Abelian se conectó más tarde al problema número 16 del prominente matemático David Hilbert .y sigue siendo considerado uno de los principales desafíos para el análisis matemático contemporáneo .

Vista moderna [ editar ]

En la teoría de las superficies de Riemann , una integral abeliana es una función relacionada con la integral indefinida de un diferencial del primer tipo . Supongamos que nos dan una superficie de Riemann$${\ displaystyle S}y en ella una forma 1 diferencial $${\ displaystyle \ omega}eso es en todas partes holomorfo en$${\ displaystyle S}, y arreglar un punto $${\ displaystyle P_ {0}} en $${\ displaystyle S}, desde la cual integrarse. Podemos considerar

$${\ displaystyle \ int _ {P_ {0}} ^ {P} \ omega}

como una función multivalor $${\ displaystyle f \ left (P \ right)}, o (mejor) una función honesta del camino elegido. $${\ displaystyle C} dibujado en $${\ displaystyle S} desde $${\ displaystyle P_ {0}} a $${\ displaystyle P}. Ya que$${\ displaystyle S}en general se conectará de forma múltiple , se debe especificar$${\ displaystyle C}, pero el valor dependerá de la clase de homología de$${\ displaystyle C}.

En el caso de $${\ displaystyle S}una superficie compacta de Riemann del género 1, es decir, una curva elíptica , tales funciones son las integrales elípticas . Hablando lógicamente, por lo tanto, una integral abeliana debe ser una función tal como$${\ displaystyle f}.

Tales funciones se introdujeron por primera vez para estudiar integrales hiperelípticas , es decir, para el caso en que$${\ displaystyle S}Es una curva hiperelíptica . Este es un paso natural en la teoría de la integración al caso de integrales que involucran funciones algebraicas. $${\ displaystyle {\ sqrt {A}}}, dónde $${\ displaystyle A}es un polinomio de grado{\ displaystyle> 4}. Los primeros grandes descubrimientos de la teoría fueron dados por Abel; Posteriormente se formuló en términos de la variedad jacobiana. $${\ displaystyle J \ left (S \ right)}. Elección de$${\ displaystyle P_ {0}}Da lugar a una función holomórfica estándar .

$${\ displaystyle S \ to J (S)}

de variedades complejas . Tiene la propiedad definitoria que el holomorfo 1-forma en$${\ displaystyle S \ to J (S)}, De los cuales hay g los independientes si g es el género de la S , tire hacia atrás a una base de las diferencias de la primera clase en  S .

 álgebra de Lie (pronunciado / l iː / "Lee") es un espacio vectorial $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}junto con un mapa bilineal alterno , no asociativo $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}}; \; (x, y) \ mapsto [x, y]}, llamado el corchete de la mentira, satisfaciendo la identidad jacobi .

Las álgebras de mentiras están estrechamente relacionadas con los grupos de mentiras , que son grupos que también son variedades lisas , con la propiedad de que las operaciones grupales de multiplicación e inversión son mapas suaves . Cualquier grupo de mentiras da lugar a un álgebra de mentiras. A la inversa, para cualquier álgebra de Lie finita-dimensional sobre números reales o complejos, hay un grupo de Lie conectadocorrespondiente único hasta cobertura ( tercer teorema de Lie ). Esta correspondencia entre los grupos de Lie y las álgebras de Liepermite estudiar los grupos de Lie en términos de álgebras de Lie.

Las álgebras de mentira y sus representaciones se utilizan ampliamente en física, especialmente en mecánica cuántica y física de partículas.

Las álgebras de mentira fueron llamadas así por Hermann Weyldespués de Sophus Lie en la década de 1930. En textos más antiguos, se utiliza el nombre de grupo infinitesimal .

Historia [ editar ]

Las algebras de Lie fueron introducidas para estudiar el concepto de transformaciones infinitesimales por Marius Sophus Lie en la década de 1870, ^[1] y fueron descubiertas independientemente por Wilhelm Killing ^[2] en la década de 1880.

Definiciones [ editar ]

Definición de un álgebra de Lie [ editar ]

Un álgebra de Lie es un espacio vectorial. $${\ displaystyle \, {\ mathfrak {g}}}sobre un campo $${\ displaystyle \ mathbb {F}}^{[nb 1]} junto con una operación binaria $${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot]: {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}}} Llamado el corchete de mentira que satisface los siguientes axiomas:

• Bilinealidad ,

$${\ displaystyle [ax + by, z] = a [x, z] + b [y, z],}

$${\ displaystyle [z, ax + by] = a [z, x] + b [z, y]}

para todos los escalares a , b en$${\ displaystyle \ mathbb {F}}y todos los elementos x , y , z en$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}.

• Alternatividad ,

$${\ displaystyle [x, x] = 0 \}

para todas las x en$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}.

• La identidad jacobi ,

$${\ displaystyle [x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = 0 \}

para todo x , y , z en$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}.

Usando la bilinealidad para expandir el bracket de Lie $${\ displaystyle [x + y, x + y]} y el uso de la alternatividad muestra que $${\ displaystyle [x, y] + [y, x] = 0 \}para todos los elementos x , y en$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}, demostrando que la bilinealidad y la alternatividad juntas implican

• Anticomutatividad ,

$${\ displaystyle [x, y] = - [y, x], \}

para todos los elementos x , y en$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}. Si la característica del campo no es 2, la anticomutatividad implica alternatividad. ^[3]

Es costumbre expresar un álgebra de Lie en minúsculas fraktur , como$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}. Si un álgebra de Lie se asocia con un grupo de Lie , la ortografía del álgebra de Lie es la misma que la de Lie group. Por ejemplo, el álgebra de Lie de SU ( n ) se escribe como$${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (n)}.

Primer ejemplo [ editar ]

Considerar $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathbb {R} ^ {3}}, con el corchete definido por

$${\ displaystyle [x, y] = x \ times y}

dónde $${\ displaystyle \ times}Es el producto cruzado . La bilinealidad, la simetría de sesgo y la identidad de Jacobi son todas propiedades conocidas del producto cruzado. Concretamente, si$${\ displaystyle \ {e_ {1}, e_ {2}, e_ {3} \}} Es la base estándar, entonces la operación de corchete está completamente determinada por las relaciones:

$${\ displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {3}, \ quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1}, \ quad [e_ {3}, e_ {1 }] = e_ {2}}.

(Ej., La relación $${\ displaystyle [e_ {2}, e_ {1}] = - e_ {3}} se sigue de lo anterior por la simetría oblicua del soporte.)

Generadores y dimensiones [ editar ]

Elementos de un álgebra de mentira $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}Se dice que son generadores del álgebra de Lie si la subalgebra más pequeña de$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} que los contiene es $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}sí mismo. La dimensión de un álgebra de Lie es su dimensión como un espacio vectorial sobre F . La cardinalidad de un conjunto generador mínimo de un álgebra de Lie es siempre menor o igual a su dimensión.

Ver también la clasificación de álgebras de Lie reales de baja dimensión para el caso de baja dimensión.

Subalgebras, ideales y homomorfismos [ editar ]

El corchete de la Mentira no es asociativo en general, lo que significa que$${\ displaystyle [[x, y], z]} no necesita ser igual $${\ displaystyle [x, [y, z]]}. (Sin embargo, es flexible .) No obstante, gran parte de la terminología desarrollada en la teoría de anillos asociativos o álgebras asociativas se aplica comúnmente a los álgebras de Lie. Un subespacio$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} \ subseteq {\ mathfrak {g}}}que está cerrado bajo el soporte de mentira se llama subalgebra de mentira . Si un subespacio$${\ displaystyle {\ mathfrak {i}} \ subseteq {\ mathfrak {g}}} satisface una condición más fuerte que

$${\ displaystyle [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {i}}] \ subseteq {\ mathfrak {i}},}

entonces $${\ displaystyle {\ mathfrak {i}}}Se llama un ideal en el álgebra de Lie.$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}. ^[4] Un homomorfismo entre dos álgebras de Lie (sobre el mismo campo base ) es un mapa lineal que es compatible con los respectivos corchetes de Lie:

$${\ displaystyle f: {\ mathfrak {g}} \ a {\ mathfrak {g '}}, \ quad f ([x, y]) = [f (x), f (y)],}

para todos los elementos x y y en$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}. Como en la teoría de los anillos asociativos, los ideales son precisamente los núcleos de los homomorfismos; dado un álgebra de Lie$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} y un ideal $${\ displaystyle {\ mathfrak {i}}}En ella, se construye el álgebra factorial o álgebra cociente. $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {i}}}, y el primer teorema de isomorfismo es válido para las álgebras de Lie.

Sea S un subconjunto de$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}. El conjunto de elementos x tal que$${\ displaystyle [x, s] = 0}para todos los s en S forma una subálgebra llama el centralizador de S . El centralizador de$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}sí se llama el centro de$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}. Similar a los centralizadores, si S es un subespacio, ^[5] entonces el conjunto de x tal que$${\ displaystyle [x, s]}está en S para todos s en Sforma una subálgebra llama el normalizador de S .

Suma directa y el producto semidirecto [ editar ]

Dados dos álgebras de mentira $${\ displaystyle {\ mathfrak {g ^ {}}}} y $${\ displaystyle {\ mathfrak {g '}}}, su suma directa es el álgebra de Lie que consiste en el espacio vectorial $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ oplus {\ mathfrak {g '}}}de las parejas $${\ displaystyle {\ mathfrak {}} (x, x '), \, x \ en {\ mathfrak {g}}, x' \ en {\ mathfrak {g '}}}, con la operacion

$${\ displaystyle [(x, x '), (y, y')] = ([x, y], [x ', y']), \ quad x, y \ in {\ mathfrak {g}}, \, x ', y' \ en {\ mathfrak {g '}}, \ quad {\ text {and}} \ quad [x, x'] = 0.}

Dejar $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} ser un álgebra de mentira y $${\ displaystyle {\ mathfrak {i}}} un ideal de $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}. Si el mapa canónico$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ a {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {i}}} divisiones (es decir, admite una sección), entonces $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}se dice que es un producto semidirecto de$${\ displaystyle {\ mathfrak {i}}} y $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {i}}}, $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {i}} \ ltimes {\ mathfrak {i}}}. Véase también la suma semidirecta de álgebras de Lie .

El teorema de Levi dice que un álgebra de Lie de dimensión finita es un producto semidirecto de su radical y la subalgebra complementaria ( Levi subalgebra ).

Derivaciones [ editar ]

Una derivación sobre el álgebra de Lie.$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(De hecho, en cualquier álgebra no asociativa ) es un mapa lineal. $${\ displaystyle \ delta \ colon {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}}}que obedece la ley de Leibniz , es decir,

$${\ displaystyle \ delta ([x, y]) = [\ delta (x), y] + [x, \ delta (y)]}

para todas las x y y en el álgebra. Para cualquier x , el anuncio ( x ) (definido en la sección 4.2 a continuación) es una derivación; Una consecuencia de la identidad jacobi. Así, la imagen del anuncio se encuentra en la subalgebra de$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} ({\ mathfrak {g}})} que consiste en derivaciones en $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}. Una derivación que se encuentra en la imagen del anuncio se denomina derivación interna. Si 𝔤 es semisimple , cada derivación en 𝔤 es interna.

Split Lie algebra [ editar ]

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo F ,$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)} el álgebra de Lie de transformaciones lineales y $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ subseteq {\ mathfrak {gl}} (V)}una subalgebra de mentira. Entonces$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}se dice que se divide si las raíces de los polinomios característicos de todas las transformaciones lineales en$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}están en el campo de base F . ^[6] Más generalmente, un álgebra de Lie de dimensión finita$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} se dice que está dividido si tiene un subálgebra de Cartan $${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}tal que, para la representación adjunta $${\ displaystyle \ operatorname {ad}: {\ mathfrak {g}} \ a {\ mathfrak {gl}} ({\ mathfrak {h}})}, la imagen $${\ displaystyle \ operatorname {ad} ({\ mathfrak {h}})}se divide; ^[7] vea la álgebra de Lie dividida para más información.

Ejemplos [ editar ]

Espacios vectoriales [ editar ]

Cualquier espacio vectorial $${\ displaystyle V}dotado con el corchete de mentira idénticamente cero se convierte en un álgebra de mentira. Tales álgebras de mentira se llaman abelianas , cf. abajo. Cualquier álgebra de Lie unidimensional sobre un campo es abeliana, por la antisimetría del soporte de Lie .

• El espacio vectorial real de todas las matrices n  ×  n sesgo-hermitianas se cierra debajo del conmutador y forma un álgebra de Lie real denotada$${\ displaystyle {\ mathfrak {u}} (n)}. Este es el álgebra de Lie del grupo unitario  U ( n ).

Álgebra asociativa [ editar ]

• En un álgebra asociativa $${\ displaystyle A} sobre un campo $${\ displaystyle \ mathbb {F}} con multiplicación $${\ displaystyle (x, y) \ mapsto xy}, un soporte de mentira puede ser definido por el conmutador $${\ displaystyle [x, y] = xy-yx}. Con este soporte,$${\ displaystyle A}Es un álgebra de mentira. ^[8] El álgebra asociativa A se llama álgebra envolvente del álgebra de Lie$${\ displaystyle (A, [\ ,, \,])}. Cada álgebra de Lie se puede incrustar en una que surge de un álgebra asociativa de esta manera; Ver álgebra universal envolvente .
• El álgebra asociativa de endomorfismos de una$${\ displaystyle \ mathbb {F}}espacio -vector $${\ displaystyle E} con el soporte de mentira anterior se denota $${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (E)}. Si$${\ displaystyle E = \ mathbb {F} ^ {n}}, la notación es $${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, \ mathbb {\ mathbb {F}})} o $${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} (\ mathbb {F})}. ^[9]

Subespacios [ editar ]

Cada subalgebra (subespacio cerrado bajo el corchete de Mentira) de un álgebra de Mentira es un álgebra de Mentira por derecho propio.

• El subespacio del álgebra lineal general. $${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} (\ mathbb {F})}que consiste en matrices de traza cero es una subálgebra, ^[10] el álgebra de Lie lineal especial , denotado$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbb {F}).}

Matriz de grupos de mentiras [ editar ]

Cualquier grupo de mentiras G define un álgebra real de mentiras asociada$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathrm {Lie} (G)}. La definición en general es algo técnica, pero en el caso de un grupo G de matriz real , se puede formular a través del mapa exponencial , o exponencial de la matriz . El álgebra de mentira$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}de G se puede calcular como

$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ {X \ in {\ text {Mat}} (n, \ mathbb {C}) \ mid (\ forall t \ in \ mathbb {R}) (\ operatorname { exp} (tX) \ en G) \}.}^[11] [12]

El soporte de la mentira de $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} Está dada por el conmutador de matrices, $${\ displaystyle [X, Y] = XY-YX}. Los siguientes son ejemplos de álgebras de Lie de grupos de Lie de matriz: ^[13]

• El grupo lineal especial. $${\ displaystyle {\ rm {SL}} (n, \ mathbb {R})}, que consta de todas las matrices n  ×  n con entradas reales y determinante 1. Su álgebra de mentiras consta de todas las matrices n  ×  n con entradas reales y traza 0.
• El grupo unitario U ( n ) consiste en n  ×  n matrices unitarias (aquellas que satisfacen$${\ displaystyle U ^ {*} = U ^ {- 1}}). Su álgebra de Lie consiste en matrices de sesgo autoadjunto (aquellas que satisfacen$${\ displaystyle X ^ {*} = - X}).
• Los grupos ortogonales y ortogonales especiales O ( n ) y SO ( n ) tienen el mismo álgebra de Lie, que consiste en matrices reales simétricas sesgadas (aquellas que satisfacen$${\ displaystyle X ^ {\ rm {tr}} = - X}).

Dos dimensiones [ editar ]

• En cualquier campo $${\ displaystyle \ mathbb {F}}hay, hasta el isomorfismo, un solo álgebra de Lie no noniana con dos dimensiones con generadores x, y, y el corchete definido como$${\ displaystyle \ left [x, y \ right] = y}. Genera el grupo afín en una dimensión .

Entonces para

{\ displaystyle x = \ left ({\ begin {array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {array}} \ right), \ qquad y = \ left ({\ begin {array} {cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {array}} \ right),}

los elementos del grupo resultantes son matrices triangulares superiores 2 × 2 con unidad diagonal inferior,

{\ displaystyle e ^ {ax + by} = \ left ({\ begin {array} {cc} e ^ {a} & {\ tfrac {b} {a}} (e ^ {a} -1) \\ 0 & 1 \ end {array}} \ right).}

Tres dimensiones [ editar ]

• El espacio euclidiano tridimensional. $${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}Con el corchete de mentiras dado por el producto cruzado de vectores se convierte en un álgebra de mentiras tridimensional.
• El álgebra de Heisenberg $${\ displaystyle {\ rm {H}} _ {3} (\ mathbb {R})}es un álgebra de Lie tridimensional generado por los elementos de x , y y zcon los soportes de Lie

$${\ displaystyle [x, y] = z, \ quad [x, z] = 0, \ quad [y, z] = 0} .

Se realiza explícitamente como el espacio de 3 × 3 matrices estrictamente triangulares superiores, con el corchete de mentira dado por el conmutador de matriz,

{\ displaystyle x = \ left ({\ begin {array} {ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right), \ quad y = \ left ({\ begin {array} {ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right), \ quad z = \ left ({\ begin {array} {ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right) ~ . \ quad}

Cualquier elemento del grupo de Heisenberg se puede representar como un producto de generadores de grupo, es decir, exponenciales matriciales de estos generadores de álgebra de Lie.

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {ccc} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \ end {array}} \ right) = e ^ {by} e ^ {cz} e ^ {ax} ~.}

• El álgebra de mentira $${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}del grupo SO (3) se divide en las tres matrices ^[14]

{\ displaystyle F_ {1} = \ left ({\ begin {array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \ end {array}} \ right), \ quad F_ {2} = \ left ({ \ begin {array} {ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \ end {array}} \ right), \ quad F_ {3} = \ left ({\ begin {array} {ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right) ~. \ Quad}

Las relaciones de conmutación entre estos generadores son:

$${\ displaystyle [F_ {1}, F_ {2}] = F_ {3},}

$${\ displaystyle [F_ {2}, F_ {3}] = F_ {1},}

$${\ displaystyle [F_ {3}, F_ {1}] = F_ {2}.}

Estas relaciones de conmutación son esencialmente las mismas que entre las componentes x , y y z del operador de momento angular en la mecánica cuántica .

Dimensiones infinitas [ editar ]

• En la topología diferencial surge una clase importante de álgebras de Lie reales de dimensión infinita . El espacio de campos vectoriales suaves en una variedad M diferenciable forma un álgebra de Lie, donde el corchete de Lie se define como el conmutador de campos vectoriales . Una forma de expresar el bracket de Lie es a través del formalismo de las derivadas de Lie , que identifica un campo vectorial X con un operador diferencial parcial de primer orden L _{X que} actúa sobre las funciones suaves al permitir que L _X ( f ) sea la derivada direccional de la función f en la dirección de X. El corchete de mentiras [ X , Y ] de dos campos vectoriales es el campo vectorial definido a través de su acción en funciones mediante la fórmula:

$${\ displaystyle L _ {[X, Y]} f = L_ {X} (L_ {Y} f) -L_ {Y} (L_ {X} f). \,}

• Un álgebra Kac-Moody es un ejemplo de un álgebra de Lie de dimensión infinita.
• El álgebra de Moyal es un álgebra de Lie de dimensión infinita que contiene todas las álgebras de Lie clásicascomo subalgebras.
• El álgebra de Virasoro es de suma importancia en la teoría de cuerdas .

Representaciones [ editar ]

Artículo principal: Representación de álgebra de Lie.

Definiciones [ editar ]

Dado un espacio vectorial V , vamos$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}denota el álgebra de Lie que consiste en todos los endomorfismoslineales de V , con corchete dado por$${\ displaystyle [X, Y] = XY-YX}. Una representación de un álgebra de Lie.$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}en V es un homomorfismo de álgebra de Lie

$${\ displaystyle \ pi: {\ mathfrak {g}} \ a {\ mathfrak {gl}} (V).}

Se dice que una representación es fiel si su núcleo es cero. El teorema de Ado ^[15] establece que cada álgebra de Lie de dimensión finita tiene una representación fiel en un espacio vectorial de dimensión finita.

Representación adjunta [ editar ]

Para cualquier álgebra de Lie. $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}, podemos definir una representación

$${\ displaystyle \ operatorname {ad} \ colon {\ mathfrak {g}} \ a {\ mathfrak {gl}} ({\ mathfrak {g}})}

dada por $${\ displaystyle \ operatorname {ad} (x) (y) = [x, y]} es una representación de $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} en el espacio vectorial $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}Llamada la representación adjunta .

Objetivos de la teoría de la representación [ editar ]

Un aspecto importante del estudio de álgebras de Lie (especialmente álgebras de Lie semisimples) es el estudio de sus representaciones. (De hecho, la mayoría de los libros enumerados en la sección de referencias dedican una fracción sustancial de sus páginas a la teoría de la representación). Aunque el teorema de Ado es un resultado importante, el objetivo principal de la teoría de la representación no es encontrar una representación fiel de un álgebra de Lie determinado.$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}. De hecho, en el caso semisimple, la representación adjunta ya es fiel. Más bien, el objetivo es comprender toda la representación posible de$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}, hasta la noción natural de equivalencia. En el caso semisimple, el teorema de Weyl ^[16] dice que cada representación de dimensión finita es una suma directa de representaciones irreductibles (aquellas sin subespacios invariantes no triviales). Las representaciones irreductibles, a su vez, se clasifican por un teorema del peso más alto .

Teoría de la representación en la física [ editar ]

La teoría de la representación de las álgebras de Lie juega un papel importante en varias partes de la física teórica. Allí, uno considera a los operadores en el espacio de estados que satisfacen ciertas relaciones de conmutación natural. Estas relaciones de conmutación suelen provenir de una simetría del problema, específicamente, son las relaciones del álgebra de Lie del grupo de simetría relevante. Un ejemplo serían los operadores de momento angular , cuyas relaciones de conmutación son las del álgebra de Lie.$${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}del grupo de rotación SO (3) . Típicamente, el espacio de estados está muy lejos de ser irreductible bajo los operadores pertinentes, pero se puede intentar descomponerlo en piezas irreducibles. Al hacerlo, uno necesita saber cuáles son las representaciones irreductibles del álgebra de Lie dada. En el estudio del átomo de hidrógeno cuántico , por ejemplo, los libros de texto de mecánica cuántica dan (sin llamarlo así) una clasificación de las representaciones irreductibles del álgebra de Lie.$${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}.

Teoría de la estructura y clasificación [ editar ]

Las álgebras de mentira se pueden clasificar hasta cierto punto. En particular, esto tiene una aplicación para la clasificación de grupos de Lie.

Abelian, nilpotente y solucionable [ editar ]

De manera análoga a los grupos abelianos, nilpotentes y solubles, definidos en términos de los subgrupos derivados, se pueden definir álgebras de Lie abelianas, nilpotentes y solubles.

Un álgebra de mentira $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}es abeliansi el corchete de mentiras desaparece, es decir, [ x , y ] = 0, para todas las x y y en$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}. Las álgebras de Abelian Lie corresponden a grupos de Lie conmutativos conmutativos (o abelianos ), como los espacios vectoriales.$${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {n}}o tori $${\ displaystyle \ mathbb {T} ^ {n}}, y son todos de la forma $${\ displaystyle {\ mathfrak {k}} ^ {n},}Es decir, un espacio vectorial n-dimensional con el corchete de Lie trivial.

Una clase más general de álgebras de Lie se define por la desaparición de todos los conmutadores de longitud dada. Un álgebra de mentira$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}es nilpotente si la serie central inferior

{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}> [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]> [[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], {\ mathfrak {g}}]> [[[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], {\ mathfrak {g}}], {\ mathfrak {g}}]> \ cdots}

eventualmente se convierte en cero. Por el teorema de Engel , un álgebra de Lie es nilpotente si y solo si por cada u en$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}el endomorfismo adjunto

$${\ displaystyle \ operatorname {ad} (u): {\ mathfrak {g}} \ a {\ mathfrak {g}}, \ quad \ operatorname {ad} (u) v = [u, v]}

es nilpotente.

Más generalmente aún, un álgebra de mentira. $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}se dice que es solucionable si la serie derivada :

{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}> [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]> [[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], [{ \ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]]> [[[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak { g}}]], [[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]]]> \ cdots}

eventualmente se convierte en cero.

Cada álgebra de Lie de dimensión finita tiene un ideal único máximo de solución de resolución, llamado su radical . Bajo la correspondencia de Lie, los grupos de Lie conectados conectados nilpotent (respectivamente, solubles) corresponden a los álgebras de Lie nilpotent (respectivamente, solubles).

Simple y semisimple [ editar ]

Artículo principal: Álgebra de mentira semisimple

Un álgebra de Lie es " simple " si no tiene ideales no triviales y no es abeliano. (Es decir, un álgebra de mentiras unidimensional, necesariamente abeliana) no es, por definición, simple, aunque no tiene ideales no triviales. Una álgebra de mentiras$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}se llama semisimple si es isomorfo a una suma directa de álgebras simples. Hay varias caracterizaciones equivalentes de álgebras semisimples, tales como no tener ideales de solución distintos de cero.

El concepto de semisimplicidad para las álgebras de Lie está estrechamente relacionado con la reducibilidad completa (semisimplicidad) de sus representaciones. Cuando el campo de tierra$${\ displaystyle \ mathbb {F}}tiene una característica cero, cualquier representación de una dimensión finita de un semisimple El álgebra de Lie es semisimple (es decir, la suma directa de representaciones irreductibles). En general, un álgebra de Lie se llama reductive si la representación adjunta es semisimple. Por lo tanto, un álgebra de Lie semisimple es reductivo.

El criterio de Cartan [ editar ]

El criterio de Cartan da las condiciones para que un álgebra de Lie sea nilpotente, solucionable o semisimple. Se basa en la noción de la forma de asesinato , una forma bilineal simétrica en$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} definido por la fórmula

$${\ displaystyle K (u, v) = \ operatorname {tr} (\ operatorname {ad} (u) \ operatorname {ad} (v)),

donde tr denota la traza de un operador lineal . Un álgebra de mentira$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}es semisimple si y solo si el formulario de Matanza no se genera . Un álgebra de mentira$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} es solucionable si y solo si $${\ displaystyle K ({\ mathfrak {g}}, [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]) = 0.}

Clasificación [ editar ]

La descomposición de Levi expresa un álgebra de Lie arbitraria como una suma semidirecta de su radical solucionable y un álgebra de Lie semisimple, casi de forma canónica. Además, las álgebras de Lie semisimples sobre un campo algebraicamente cerrado se han clasificado completamente a través de sus sistemas de raíces . Sin embargo, la clasificación de álgebras de Lie solubles es un problema 'salvaje', y no se puede lograr ^{[ aclaración necesaria ]} en general.

Relación con los grupos de Lie [ editar ]

Artículo principal: Grupo de mentiras – Correspondencia de álgebra de mentiras.

Aunque las álgebras de Lie son a menudo estudiadas por derecho propio, históricamente surgieron como un medio para estudiar los grupos de Lie .

Ahora describimos brevemente la relación entre los grupos de Lie y los álgebras de Lie. Cualquier grupo de Lie genera un álgebra de Lie determinada canónicamente (concretamente, el espacio tangente en la identidad ). Por el contrario, para cualquier álgebra de Lie de dimensión finita.$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}, existe un correspondiente grupo de Lie conectado $${\ displaystyle G} con Lie algebra $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}. Este es el tercer teorema de Lie ; Vea la fórmula de Baker – Campbell – Hausdorff . Este grupo de mentiras no está determinado únicamente; sin embargo, dos grupos de Lie con el mismo álgebra de Lie son localmente isomorfos , y en particular, tienen la misma cobertura universal . Por ejemplo, el grupo ortogonal especial SO (3) y el grupo unitario especial SU (2) dan lugar al mismo álgebra de Lie, que es isomorfo para$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}} con el producto cruzado, pero SU (2) es una cubierta doble de SO (3) simplemente conectada.

Sin embargo, si consideramos grupos de Lie simplemente conectados , tenemos una correspondencia de uno a uno: Para cada álgebra de Lie (real-finita-dimensional)$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}, hay un único grupo de mentiras simplemente conectado $${\ displaystyle G} con Lie algebra $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}.

La correspondencia entre las álgebras de Lie y los grupos de Lie se utiliza de varias maneras, incluso en la clasificación de los grupos de Lie y la materia relacionada de la teoría de la representación de los grupos de Lie. Cada representación de un álgebra de Lie se eleva de forma única a una representación del correspondiente grupo de Lie conectado, simplemente conectado, ya la inversa, cada representación de cualquier grupo de Lie induce una representación del álgebra de Lie del grupo; Las representaciones están en correspondencia uno a uno. Por lo tanto, conocer las representaciones de un álgebra de Lie resuelve la cuestión de las representaciones del grupo.

En cuanto a la clasificación, se puede mostrar que cualquier grupo de Lie conectado con un álgebra de Lie dado es isomorfo al modo de cobertura universal en un subgrupo central discreto. Por lo tanto, clasificar los grupos de Lie se convierte simplemente en una cuestión de contar los subgrupos discretos del centro , una vez que se conoce la clasificación de las álgebras de Lie (resuelto por Cartan et al. En el caso semisimple ).

Si el álgebra de Lie es infinito-dimensional, el problema es más sutil. En muchos casos, el mapa exponencial ni siquiera es localmente un homeomorfismo (por ejemplo, en Diff ( S ¹ ), uno puede encontrar difeomorfismos arbitrariamente cerca de la identidad que no están en la imagen de exp). Además, algunas álgebras de Lie de dimensión infinita no son el álgebra de Lie de ningún grupo.

Álgebra de Lie con estructuras adicionales [ editar ]

Un álgebra de Lie puede equiparse con algunas estructuras adicionales que se suponen compatibles con el soporte. Por ejemplo, un álgebra de Lie calificada es un álgebra de Lie con una estructura de espacio vectorial graduado. Si también viene con diferencial (de modo que el espacio vectorial graduado subyacente es un complejo de cadenas ), entonces se le llama álgebra de Lie con graduación diferencial .

Un álgebra de Lie simple es un objeto simplicial en la categoría de álgebras de Lie; en otras palabras, se obtiene reemplazando el conjunto subyacente por un conjunto simplicial (por lo que podría considerarse mejor como una familia de álgebras de Lie).

Anillo de mentira [ editar ]

Un anillo de Lie surge como una generalización de las álgebras de Lie, o mediante el estudio de la serie central inferior de grupos . Un anillo de Mentira se define como un anillo no asociativo con multiplicación que es anticomutativo y que satisface la identidad de Jacobi . Más concretamente podemos definir un anillo de Lie.$${\ displaystyle L}Ser un grupo abeliano con una operación.$${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot]} que tiene las siguientes propiedades:

• Bilinealidad

$${\ displaystyle [x + y, z] = [x, z] + [y, z], \ quad [z, x + y] = [z, x] + [z, y]}

para todos x , y , z ∈ L .

• La identidad jacobi :

$${\ displaystyle [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 \ quad}

para todo x , y , z en l .

• Para todas las x en L :

$${\ displaystyle [x, x] = 0 \ quad}

Los anillos de la mentira no tienen que ser grupos de mentiras bajo adición. Cualquier álgebra de Lie es un ejemplo de un anillo de Lie. Cualquier anillo asociativo se puede convertir en un anillo de Mentira definiendo un operador de soporte$${\ displaystyle [x, y] = xy-yx}. A la inversa de cualquier álgebra de Lie, hay un anillo correspondiente, llamado álgebra universal envolvente .

Los anillos de mentira se utilizan en el estudio de grupos p finitos a través de la correspondencia de Lazard . Los factores centrales inferiores de un p -Grupo son finitos abelianos p -grupos, así módulos sobre Z / p Z . A la suma directa de los factores centrales inferiores se le da la estructura de un anillo de Mentira al definir el corchete como el conmutador de dos representantes de coset. La estructura del anillo de Lie se enriquece con otro módulo de homomorfismo, el mapa de potencia p th, que hace que el anillo de Lie asociado se denomine anillo de Lie restringido.

Los anillos de Lie también son útiles en la definición de grupos analíticos p-adic y sus endomorfismos al estudiar las álgebras de Lie sobre anillos de enteros como los enteros p-adic . La definición de grupos finitos de tipo Lie debido a Chevalley implica restringir de un álgebra de Lie sobre los números complejos a un álgebra de Lie sobre los números enteros, y el módulo reductor p para obtener un álgebra de Lie sobre un campo finito.

Ejemplos [ editar ]

• Cualquier álgebra de Lie sobre un anillo general en lugar de un campo es un ejemplo de un anillo de Lie. Los anillos de mentiras no son grupos de mentiras bajo adición, a pesar del nombre.
• Cualquier anillo asociativo se puede convertir en un anillo de Mentira definiendo un operador de soporte

$${\ displaystyle [x, y] = xy-yx.}

• Para un ejemplo de un anillo de mentira que surge del estudio de grupos , vamos a$${\ displaystyle G} ser un grupo con $${\ displaystyle (x, y) = x ^ {- 1} y ^ {- 1} xy} la operación del conmutador, y dejar $${\ displaystyle G = G_ {0} \ supseteq G_ {1} \ supseteq G_ {2} \ supseteq \ cdots \ supseteq G_ {n} \ supseteq \ cdots}ser una serie central en$${\ displaystyle G} - Ese es el subgrupo de conmutadores. $${\ displaystyle (G_ {i}, G_ {j})} está contenido en $${\ displaystyle G_ {i + j}} para cualquier $${\ displaystyle i, j}. Entonces

$${\ displaystyle L = \ bigoplus G_ {i} / G_ {i + 1}}

es un anillo de mentira con adición suministrada por la operación de grupo (que será conmutativa en cada parte homogénea), y la operación de soporte dada por

$${\ displaystyle [xG_ {i}, yG_ {j}] = (x, y) G_ {i + j} \}

extendido linealmente Tenga en cuenta que la centralidad de la serie asegura el conmutador.$${\ displaystyle (x, y)} le da a la operación del soporte las propiedades teóricas apropiadas de Lie.