ARTÍCULOS DE MATEMÁTICAS

 teorema de Abel-Ruffini (también conocido como teorema de imposibilidad de Abel ) establece que no hay solución en radicales a las ecuaciones polinomiales generales de grado cinco o superior con coeficientes arbitrarios . El teorema lleva el nombre de Paolo Ruffini , quien realizó una prueba incompleta en 1799, ^[1] y Niels Henrik Abel , quien proporcionó una prueba en 1824. 

Interpretación [ editar ]

El teorema no afirma que algunas ecuaciones polinomiales de alto grado no tienen solución. De hecho, lo contrario es cierto: toda ecuación polinómica no constante en una incógnita, con coeficientes reales o complejos , tiene al menos un número complejo como solución (y, por tanto, por división polinómica , tantas raíces complejas como su grado, contando raíces repetidas); Este es el teorema fundamental del álgebra . Estas soluciones se pueden calcular con el grado de precisión que se desee mediante métodos numéricos, como el método de Newton-Raphson o el método de Laguerre., y de esta manera no son diferentes de las soluciones a las ecuaciones polinomiales del segundo, tercer o cuarto grado. Tampoco no afirmar que no hay ecuaciones polinómicas de grado superior pueden ser resueltos en los radicales: la ecuación$${\ displaystyle x ^ {n} -1 = 0} Se puede resolver en radicales para cada entero positivo. $${\ displaystyle n}, por ejemplo. El teorema solo muestra que no hay una solución general en radicales que se aplique a todas las ecuaciones de un grado dado mayor que 4.

La solución de cualquier ecuación polinómica de segundo grado se puede expresar en términos de sus coeficientes, utilizando solo la suma, resta, multiplicación, división y raíces cuadradas , en la fórmula cuadráticafamiliar : las raíces de la ecuación.$${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c} (con $${\ displaystyle a \ neq 0}) son

$${\ displaystyle {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}.

Desde el siglo XVI se conocen fórmulas análogas para ecuaciones de tercer grado y ecuaciones de cuarto grado(usando raíces cuadradas y raíces cúbicas ). Lo que dice el teorema de Abel-Ruffini es que no existe una fórmula similar para las ecuaciones generales de quinto grado o superior. En principio, podría ser que las ecuaciones de quinto grado se dividieran en varios tipos y, para cada uno de estos tipos, podría haber alguna solución algebraica válida dentro de ese tipo. O, como escribió Ian Stewart , "a pesar de todo lo que los métodos de Abel podrían probar, cada ecuación quíntica en particular podría ser soluble, con una fórmula especial para cada ecuación". ^[4]Sin embargo, esto no es así, pero esta imposibilidad es un resultado estrictamente más fuerte que el teorema de Abel-Ruffini y se deriva de la teoría de Galois .

Prueba [ editar ]

La siguiente prueba se basa en la teoría de Galois y es válida para cualquier campo de la característica  0. Históricamente, las pruebas de Ruffini ^[1] y de Abel preceden a la teoría de Galois. Para una presentación moderna de la prueba de Abel, vea el artículo de Rosen ^[5] o los libros de Tignol ^[6] o Pesic. ^[7]

Uno de los teoremas fundamentales de la teoría de Galois afirma que un polinomio $${\ displaystyle P (x) \ en F \ left [x \ right]} es solucionable por radicales sobre $${\ displaystyle F}Si y solo si su campo de división $${\ displaystyle K} terminado $${\ displaystyle F}tiene un grupo de Galois con solución , ^[8] por lo que la prueba del teorema de Abel-Ruffini se reduce a calcular el grupo de Galois del polinomio general de quinto grado y demostrar que no se puede resolver.

Considere cinco indeterminados $${\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}, y_ {4}}y $${\ displaystyle y_ {5}}, dejar $${\ displaystyle E = \ mathbf {Q} \ left (y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}, y_ {4}, y_ {5} \ right)}, y deja

$${\ displaystyle P (x) = \ left (x-y_ {1} \ right) \ left (x-y_ {2} \ right) \ left (x-y_ {3} \ right) \ left (x-y_ {4} \ derecha) \ izquierda (x-y_ {5} \ derecha) \ en E [x]}.

En expansión $${\ displaystyle P (x)}cede las funciones simétricas elementales de la$${\ displaystyle y_ {i}}:

$${\ displaystyle s_ {1} = y_ {1} + y_ {2} + y_ {3} + y_ {4} + y_ {5}},

$${\ displaystyle s_ {2} = y_ {1} y_ {2} + y_ {1} y_ {3} + y_ {1} y_ {4} + y_ {1} y_ {5} + y_ {2} y_ { 3} + y_ {2} y_ {4} + y_ {2} y_ {5} + y_ {3} y_ {4} + y_ {3} y_ {5} + y_ {4} y_ {5}},

$${\ displaystyle s_ {3} = y_ {1} y_ {2} y_ {3} + y_ {1} y_ {2} y_ {4} + y_ {1} y_ {2} y_ {5} + y_ {1 } y_ {3} y_ {4} + y_ {1} y_ {3} y_ {5} + y_ {1} y_ {4} y_ {5} + y_ {2} y_ {3} y_ {4} + y_ {2} y_ {3} y_ {5} + y_ {2} y_ {4} y_ {5} + y_ {3} y_ {4} y_ {5}},

$${\ displaystyle s_ {4} = y_ {1} y_ {2} y_ {3} y_ {4} + y_ {1} y_ {2} y_ {3} y_ {5} + y_ {1} y_ {2} y_ {4} y_ {5} + y_ {1} y_ {3} y_ {4} y_ {5} + y_ {2} y_ {3} y_ {4} y_ {5}},

$${\ displaystyle s_ {5} = y_ {1} y_ {2} y_ {3} y_ {4} y_ {5}}.

El coeficiente de $${\ displaystyle x ^ {n}} en $${\ displaystyle P (x)} es así $${\ displaystyle (-1) ^ {5-n} s_ {5-n}}. Dejar$${\ displaystyle F = \ mathbf {Q} (s_ {1}, s_ {2}, s_ {3}, s_ {4}, s_ {5})}Ser el campo obtenido al unir las funciones simétricas a los racionales. Entonces$${\ displaystyle P (x) \ en F \ left [x \ right]}. Porque el$${\ displaystyle y_ {i}}Son indeterminados, cada permutación. $${\ displaystyle \ sigma} en el grupo simétrico de 5 letras $${\ displaystyle S_ {5}}induce un automorfismo distinto $${\ displaystyle \ sigma '} en $${\ displaystyle E} eso deja $${\ displaystyle \ mathbf {Q}} Fija y permuta los elementos. $${\ displaystyle y_ {i}}. Dado que una reorganización arbitraria de las raíces de la forma del producto todavía produce el mismo polinomio, por ejemplo,

$${\ displaystyle \ left (x-y_ {3} \ right) \ left (x-y_ {1} \ right) \ left (x-y_ {2} \ right) \ left (x-y_ {5} \ right ) \ left (x-y_ {4} \ right)}

es el mismo polinomio que

$${\ displaystyle \ left (x-y_ {1} \ right) \ left (x-y_ {2} \ right) \ left (x-y_ {3} \ right) \ left (x-y_ {4} \ right ) \ left (x-y_ {5} \ right)},

los automorfismos $${\ displaystyle \ sigma '} también dejar $${\ displaystyle F} Fijos, por lo que son elementos del grupo Galois. $${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (E / F)}. Por lo tanto, hemos demostrado que$${\ displaystyle S_ {5} \ subseteq \ operatorname {Gal} (E / F)}; sin embargo, posiblemente podría haber automorfismos que no están en$${\ displaystyle S_ {5}}. Pero, dado que el grupo Galois del campo de división de un polinomio quíntico tiene a lo sumo$${\ displaystyle 5!}elementos, y desde $${\ displaystyle E} es un campo de división de $${\ displaystyle P (x)}, resulta que $${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (E / F)}es isomorfo a$${\ displaystyle S_ {5}}. Generalizar este argumento muestra que el grupo de Galois de cada polinomio general de grado$${\ displaystyle n} es isomorfo a $${\ displaystyle S_ {n}}.

La única serie de composiciones de$${\ displaystyle S_ {5}} es $${\ displaystyle S_ {5} \ geq A_ {5} \ geq \ lbrace e \ rbrace} (dónde $${\ displaystyle A_ {5}}es el grupo alterno en cinco letras, también conocido como el grupo icosaédrico ). Sin embargo, el grupo cociente. $${\ displaystyle A_ {5} / \ lbrace e \ rbrace} (isomorfo a $${\ displaystyle A_ {5}}sí) no es abeliano , y así$${\ displaystyle S_ {5}}no es solucionable, por lo que debe ser que el polinomio general del quinto grado no tiene solución en los radicales. Desde el primer subgrupo normal no trivial del grupo simétrico en $${\ displaystyle n} Las letras son siempre el grupo alternativo en $${\ displaystyle n} cartas, y desde los grupos alternos en $${\ displaystyle n} cartas para $${\ displaystyle n \ geq 5}Siempre son simples y no abelianos, y por lo tanto no pueden resolverse, también dice que los polinomios generales de todos los grados más altos que el quinto tampoco tienen solución en los radicales. QED

La construcción anterior del grupo de Galois para un polinomio de quinto grado solo se aplica al polinomio general ; Los polinomios específicos del quinto grado pueden tener diferentes grupos de Galois con propiedades bastante diferentes, por ejemplo,$${\ displaystyle x ^ {5} -1}tiene un campo de división generado por una quinta raíz primitiva de la unidad y, por lo tanto, su grupo Galois es abeliano y la ecuación es solucionable por los radicales; Además, el argumento no proporciona ningún quíntico de valor racional que haya$${\ displaystyle S_ {5}} o $${\ displaystyle A_ {5}}como su grupo Galois. Sin embargo, dado que el resultado está en el polinomio general, sí dice que es imposible una "fórmula quíntica" general para las raíces de una quíntica que usa solo una combinación finita de las operaciones aritméticas y los radicales en términos de los coeficientes.

La prueba no es válida si se aplica a polinomios cuyo grado es inferior a 5. De hecho:

• el grupo $${\ displaystyle A_ {4}}no es simple, porque el subgrupo$${\ displaystyle \ {e, (12) (34), (13) (24), (14) (23) \}}, isomorfo a los cuatro grupos de Klein , es un subgrupo normal;
• los grupos $${\ displaystyle A_ {2}} y $${\ displaystyle A_ {3}} Son simples, pero como son abelianos también ($${\ displaystyle A_ {2}} es el grupo trivial y $${\ displaystyle A_ {3}}Es el grupo cíclico de orden 3), que no es un problema.

La prueba sigue siendo válida si, en lugar de trabajar con cinco indeterminados, se trabaja con cinco números complejos algebraicamente concretos concretos porque, por el mismo argumento, $${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (E / F) = S_ {5}}.

Historia [ editar ]

Alrededor de 1770, Joseph Louis Lagrange comenzó el trabajo de base que unificó los muchos trucos diferentes que se habían utilizado hasta ese momento para resolver ecuaciones, relacionándolos con la teoría de grupos de permutaciones , en la forma de resolvimientos de Lagrange . ^[9] Este trabajo innovador de Lagrange fue un precursor de la teoría de Galois, y su incapacidad para desarrollar soluciones para ecuaciones de quinto grado y grados más altos insinuó que tales soluciones podrían ser imposibles, pero no proporcionaron pruebas concluyentes. La primera persona que conjeturó que el problema de resolver la quíntica por radicales podría ser imposible de resolver fue Carl Friedrich Gauss , quien escribió en 1798 en la sección 359 de su libro Disquisitiones Arithmeticae.(que se publicaría solo en 1801) que "hay pocas dudas de que este problema no desafía tanto los métodos modernos de análisis como los que propone lo imposible". El año siguiente, en su tesis, escribió: “Después de que los trabajos de muchos geometristas dejaron pocas esperanzas de llegar algebraicamente a la resolución de la ecuación general, parece cada vez más probable que esta resolución sea imposible y contradictoria”. Y agregó “Quizás no sea tan difícil probar, con todo rigor, la imposibilidad para el quinto grado. Voy a exponer mis investigaciones sobre esto en mayor detalle en otro lugar ”. En realidad, Gauss no publicó nada más sobre este tema. ^[1]

Paolo Ruffini , Teoria generale delle equazioni , 1799

El teorema fue probado casi por primera vez por Paolo Ruffini en 1799. ^[10] Envió su prueba a varios matemáticos para que lo reconocieran, entre ellos Lagrange (que no respondió) y Augustin-Louis Cauchy , quien le envió una carta diciendo: Su memoria sobre la solución general de ecuaciones es un trabajo que siempre he creído que los matemáticos deberían tener en cuenta y que, en mi opinión, demuestra de manera concluyente la no solvencia algebraica de las ecuaciones generales de mayor a cuarto grado ". ^[11]Sin embargo, en general, la prueba de Ruffini no se consideró convincente. Abel escribió: “El primero y, si no me equivoco, el único que, antes de mí, ha tratado de probar la imposibilidad de la solución algebraica de las ecuaciones generales es el matemático Ruffini. Pero sus memorias son tan complicadas que es muy difícil determinar la validez de su argumento. Me parece que su argumento no es completamente satisfactorio ". ^[11] [12]

La prueba también, como se descubrió más tarde, estaba incompleta. Ruffini asumió que todos los radicales con los que estaba tratando podían expresarse desde las raíces del polinomio usando solo operaciones de campo; en términos modernos, asumió que los radicales pertenecían al campo de división del polinomio. Para ver por qué esto es realmente una suposición adicional, considere, por ejemplo, el polinomio$${\ displaystyle P (x) = x ^ {3} -15x-20}. Según la fórmula de Cardano , una de sus raíces (todas ellas, en realidad) puede expresarse como la suma de una raíz cúbica de$${\ displaystyle 10 + 5i} con una raíz cúbica de $${\ displaystyle 10-5i}. Por otro lado, desde{\ displaystyle P (-3) <0 font="">, {\ displaystyle P (-2)> 0}, {\ displaystyle P (-1) <0 font="">y {\ displaystyle P (5)> 0}, las raices $${\ displaystyle r_ {1}}, $${\ displaystyle r_ {2}}y $${\ displaystyle r_ {3}} de $${\ displaystyle P (x)} Son todos reales y por lo tanto el campo. $${\ displaystyle \ mathbf {Q} (r_ {1}, r_ {2}, r_ {3})} es un subcampo de $${\ displaystyle \ mathbf {R}}. Pero luego los números.$${\ displaystyle 10 \ pm 5i} no puede pertenecer a $${\ displaystyle \ mathbf {Q} (r_ {1}, r_ {2}, r_ {3})}. Si bien Cauchy no notó la suposición de Ruffini o sintió que era menor, la mayoría de los historiadores creen que la prueba no estuvo completa hasta que Abel probó el teorema de las irracionalidades naturales, que afirma que la suposición se mantiene en el caso de los polinomios generales. ^[6] [13] Por lo general, el teorema de Abel-Ruffini se le atribuye a Abel, quien publicó una prueba en solo seis páginas en 1824. ^[2] Sin embargo, este pequeño número de páginas se obtuvo a costa de escribir en un sentido muy escaso. estilo. Esto se debió al hecho de que tenía la prueba impresa a sus propias expensas y que necesitaba ahorrar papel y dinero. ^[7] Una versión más elaborada de la prueba se publicaría en 1826. ^[3]

Demostrar que las ecuaciones generales de quíntica (y superiores) no podían resolverse por radicales no resolvió completamente el asunto, porque el teorema de Abel-Ruffini no proporciona las condiciones necesarias y suficientes para decir con precisión qué ecuaciones de óptica (y superiores) son imposibles de resolver por los radicales. Abel estaba trabajando en una caracterización completa cuando murió en 1829. ^[14]

Según Nathan Jacobson , "Las pruebas de Ruffini y de Abel [...] pronto fueron reemplazadas por el logro culminante de esta línea de investigación: los descubrimientos de Galois en la teoría de las ecuaciones". ^[8] En 1830, Galois (en la época de 18) presentó a la Academia de Ciencias de París una memoria sobre su teoría de la solvencia por radicales, que finalmente fue rechazada en 1831 por ser demasiado vaga y por dar una condición en términos de las raíces de la ecuación en lugar de sus coeficientes. Galois estaba al tanto de las contribuciones de Ruffini y Abel, ya que escribió: “Hoy en día, es una verdad común que la ecuación general de grado superior a 4los radicales no pueden resolverlo ... esta verdad se ha vuelto común (de oídas) a pesar del hecho de que los geometristas han ignorado las pruebas de Abel y Ruffini ... " ^[1] Galois murió en 1832 y su documento Mémoire sobre las condiciones de resolución de las ecuaciones de las ecuaciones radicaux ^[15]permaneció inédito hasta 1846, cuando fue publicado por Joseph Liouville acompañado de algunas de sus propias explicaciones. ^[14] Antes de esta publicación, Liouville anunció el resultado de Galois a la Academia en un discurso que pronunció el 4 de julio de 1843. ^[4] Pierre Wantzel publicó una simplificación de la prueba de Abel en 1845. ^[16] Cuando lo publicó, ya estaba al tanto de las contribuciones de Galois y menciona que, si bien la prueba de Abel solo es válida para polinomios generales, el enfoque de Galois se puede usar para proporcionar un polinomio concreto de grado 5 cuyas raíces no pueden expresarse en radicales. a partir de sus coeficientes.

En 1963, Vladimir Arnold descubrió una prueba topológica del teorema de Abel-Ruffini, ^{[17] [18] [19]} que sirvió como punto de partida para la teoría topológica de Galois . 

la identidad de Abel (también llamada fórmula de Abel ^[1] o identidad de la ecuación diferencial de Abel ) es una ecuación que expresa el Wronskiano de dos soluciones de una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden en términos de un coeficiente de la ecuación diferencial original . La relación puede generalizarse a ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden n . La identidad lleva el nombre del matemático noruego Niels Henrik Abel .

Como la identidad de Abel relaciona las diferentes soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial, puede usarse para encontrar una solución de la otra. Proporciona identidades útiles que relacionan las soluciones y también es útil como parte de otras técnicas, como el método de variación de parámetros . Es especialmente útil para ecuaciones como la ecuación de Bessel donde las soluciones no tienen una forma analítica simple, porque en tales casos es difícil calcular directamente el Wronskian.

Una fórmula de Liouville da una generalización a los sistemas de primer orden de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas .

Declaración [ editar ]

Considere una ecuación diferencial ordinaria homogénea lineal de segundo orden

$${\ displaystyle y '' + p (x) y '+ q (x) \, y = 0}

en un intervalo I de la línea real con funciones continuas reales o complejas de valores p y q . La identidad de Abel dice que el wronskiano $${\ displaystyle W = (y_ {1}, y_ {2})} de dos soluciones de valor real o complejo. $${\ displaystyle y_ {1}} y $${\ displaystyle y_ {2}}de esta ecuación diferencial, esa es la función definida por el determinante

{\ displaystyle W (y_ {1}, y_ {2}) (x) = {\ begin {vmatrix} y_ {1} (x) & y_ {2} (x) \\ y '_ {1} (x) & y '_ {2} (x) \ end {vmatrix}} = y_ {1} (x) \, y' _ {2} (x) -y '_ {1} (x) \, y_ {2} (x), \ qquad x \ en I,}

satisface la relación

$${\ displaystyle W (y_ {1}, y_ {2}) (x) = C \ exp {\ biggl (} - \ int _ {x_ {0}} ^ {x} p (t) \, {\ textrm {d}} t {\ biggr)}, \ qquad x \ in I,}

para cada punto x ₀ en I , donde C es una constante arbitraria.

Observaciones [ editar ]

• En particular, el wronskiano $${\ displaystyle W (y_ {1}, y_ {2})} es siempre la función cero o siempre diferente de cero con el mismo signo en cada punto $${\ displaystyle x} en $${\ displaystyle I}. En este último caso, las dos soluciones.$${\ displaystyle y_ {1}} y $${\ displaystyle y_ {2}} son linealmente independientes (ver ese artículo sobre el Wronskian para una prueba).
• No es necesario suponer que las segundas derivadas de las soluciones $${\ displaystyle y_ {1}} y $${\ displaystyle y_ {2}} son continuos
• El teorema de Abel es particularmente útil si $${\ displaystyle p (x) = 0}, porque implica que W = const .

Prueba [ editar ]

La diferenciación de Wronskian usando la regla del producto da (escritura$${\ displaystyle W} para $${\ displaystyle W (y_ {1}, y_ {2})} y omitiendo el argumento $${\ displaystyle x} para ser breve)

{\ displaystyle {\ begin {alineado} W '& = y_ {1}' y_ {2} '+ y_ {1} y_ {2}' '- y_ {1}' 'y_ {2} -y_ {1} 'y_ {2}' \\ & = y_ {1} y_ {2} '' - y_ {1} '' y_ {2}. \ end {alineado}}}

Resolviendo para $${\ displaystyle y ''} en la ecuación diferencial original se obtiene

$${\ displaystyle y '' = - (py '+ qy).}

Sustituyendo este resultado en la derivada de la función wronskiana para reemplazar las segundas derivadas de $${\ displaystyle y_ {1}} y $${\ displaystyle y_ {2}} da

{\ displaystyle {\ begin {alineado} W '& = - y_ {1} (py_ {2}' + qy_ {2}) + (py_ {1} '+ qy_ {1}) y_ {2} \\ & = -p (y_ {1} y_ {2} '- y_ {1}' y_ {2}) \\ & = - pW. \ end {alineado}}}

Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden, y resta por mostrar que la identidad de Abel proporciona una solución única, que alcanza el valor $${\ displaystyle W (x_ {0})} a $${\ displaystyle x_ {0}}. Desde la función$${\ displaystyle p} es continuo en $${\ displaystyle I}, se limita en cada subintervalo cerrado y acotado de $${\ displaystyle I} y por lo tanto integrables, por lo tanto

$${\ displaystyle V (x) = W (x) \ exp \ left (\ int _ {x_ {0}} ^ {x} p (\ xi) \, {\ textrm {d}} \ xi \ right), \ qquad x \ in I,}

Es una función bien definida. Al diferenciar ambos lados, utilizando la regla del producto, la regla de la cadena , la derivada de la función exponencial y el teorema fundamental del cálculo , se obtiene

$${\ displaystyle V '(x) = {\ bigl (} W' (x) + W (x) p (x) {\ bigr)} \ exp {\ biggl (} \ int _ {x_ {0}} ^ {x} p (\ xi) \, {\ textrm {d}} \ xi {\ biggr)} = 0, \ qquad x \ en I,}

Debido a la ecuación diferencial para $${\ displaystyle W}. Por lo tanto,$${\ displaystyle V} tiene que ser constante en $${\ displaystyle I}, porque de lo contrario obtendríamos una contradicción con el teorema del valor medio (aplicado por separado a la parte real e imaginaria en el caso de valores complejos). Ya que$${\ displaystyle V (x_ {0}) = W (x_ {0})}, La identidad de Abel sigue resolviendo la definición de $${\ displaystyle V} para $${\ displaystyle W (x)}.

Generalización [ editar ]

Consideremos un lineal homogéneo. $${\ displaystyle n}orden de$${\ displaystyle n \ geq 1}) ecuación diferencial ordinaria

$${\ displaystyle y ^ {(n)} + p_ {n-1} (x) \, y ^ {(n-1)} + \ cdots + p_ {1} (x) \, y '+ p_ {0 } (x) \, y = 0,}

en un intervalo $${\ displaystyle I} de la línea real con una función continua de valor real o complejo $${\ displaystyle p_ {n-1}}. La generalización de la identidad de Abel establece que el wronskiano$${\ displaystyle W (y_ {1}, \ ldots, y_ {n})} de $${\ displaystyle n} Soluciones de valor real o complejo. $${\ displaystyle y_ {1}, \ ldots, y_ {n}} de esta $${\ displaystyle n}Ecuación diferencial de orden th, que es la función definida por el determinante

{\ displaystyle W (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}) (x) = {\ begin {vmatrix} y_ {1} (x) & y_ {2} (x) & \ cdots & y_ {n} ( x) \\ y '_ {1} (x) & y' _ {2} (x) & \ cdots & y '_ {n} (x) \\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ y_ {1} ^ {(n-1)} (x) & y_ {2} ^ {(n-1)} (x) & \ cdots & y_ {n} ^ {(n-1)} (x) \ end { vmatrix}}, \ qquad x \ in I,}

satisface la relación

$${\ displaystyle W (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}) (x) = W (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}) (x_ {0}) \ exp {\ biggl (} - \ int _ {x_ {0}} ^ {x} p_ {n-1} (\ xi) \, {\ textrm {d}} \ xi {\ biggr)}, \ qquad x \ in I,}

para cada punto $${\ displaystyle x_ {0}} en $${\ displaystyle I}.

Prueba directa [ editar ]

Por brevedad, escribimos $${\ displaystyle W} para $${\ displaystyle W (y_ {1}, \ ldots, y_ {n})} y omite el argumento $${\ displaystyle x}. Basta con demostrar que Wronskian resuelve la ecuación diferencial lineal de primer orden.

$${\ displaystyle W '= - p_ {n-1} \, W,}

Porque la parte restante de la prueba coincide con la del caso. $${\ displaystyle n = 2}.

En el caso $${\ displaystyle n = 1} tenemos $${\ displaystyle W = y_ {1}} y la ecuación diferencial para $${\ displaystyle W} coincide con el de $${\ displaystyle y_ {1}}. Por lo tanto, asume$${\ displaystyle n \ geq 2} en el siguiente.

El derivado del wronskiano. $${\ displaystyle W}Es el derivado del determinante definitorio. De la fórmula de Leibniz para los determinantes se deduce que este derivado se puede calcular diferenciando cada fila por separado, por lo tanto

${\displaystyle {\begin{aligned}W'&={\begin{vmatrix}y'_{1}&y'_{2}&\cdots &y'_{n}\\y'_{1}&y'_{2}&\cdots &y'_{n}\\y''_{1}&y''_{2}&\cdots &y''_{n}\\y'''_{1}&y'''_{2}&\cdots &y'''_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-1)}&y_{2}^{(n-1)}&\cdots &y_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\\y''_{1}&y''_{2}&\cdots &y''_{n}\\y''_{1}&y''_{2}&\cdots &y''_{n}\\y'''_{1}&y'''_{2}&\cdots &y'''_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-1)}&y_{2}^{(n-1)}&\cdots &y_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}\\&\qquad +\ \cdots \ +{\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\\y'_{1}&y'_{2}&\cdots &y'_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-3)}&y_{2}^{(n-3)}&\cdots &y_{n}^{(n-3)}\\y_{1}^{(n-2)}&y_{2}^{(n-2)}&\cdots &y_{n}^{(n-2)}\\y_{1}^{(n)}&y_{2}^{(n)}&\cdots &y_{n}^{(n)}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

Sin embargo, tenga en cuenta que cada determinante de la expansión contiene un par de filas idénticas, excepto la última. Dado que los determinantes con filas linealmente dependientes son iguales a 0, solo queda uno con el último:

{\ displaystyle W '= {\ begin {vmatrix} y_ {1} & y_ {2} & \ cdots & y_ {n} \\ y' _ {1} & y '_ {2} & \ cdots & y' _ {n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ y_ {1} ^ {(n-2)} & y_ {2} ^ {(n-2)} & \ cdots & y_ {n} ^ {(n -2)} \\ y_ {1} ^ {(n)} & y_ {2} ^ {(n)} & \ cdots & y_ {n} ^ {(n)} \ end {vmatrix}}.}

Desde cada $${\ displaystyle y_ {i}} Resuelve la ecuación diferencial ordinaria, tenemos

$${\ displaystyle y_ {i} ^ {(n)} + p_ {n-2} \, y_ {i} ^ {(n-2)} + \ cdots + p_ {1} \, y '_ {i} + p_ {0} \, y_ {i} = - p_ {n-1} \, y_ {i} ^ {(n-1)}}

para cada $${\ displaystyle i \ in \ lbrace 1, \ ldots, n \ rbrace}. Por lo tanto, añadiendo a la última fila del determinante anterior$${\ displaystyle p_ {0}} veces su primera fila, $${\ displaystyle p_ {1}} veces su segunda fila, y así sucesivamente hasta $${\ displaystyle p_ {n-2}} veces su próxima a la última fila, el valor del determinante para la derivada de $${\ displaystyle W} se mantiene sin cambios y obtenemos

{\ displaystyle W '= {\ begin {vmatrix} y_ {1} & y_ {2} & \ cdots & y_ {n} \\ y' _ {1} & y '_ {2} & \ cdots & y' _ {n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ y_ {1} ^ {(n-2)} & y_ {2} ^ {(n-2)} & \ cdots & y_ {n} ^ {(n -2)} \\ - p_ {n-1} \, y_ {1} ^ {(n-1)} & - p_ {n-1} \, y_ {2} ^ {(n-1)} & \ cdots & -p_ {n-1} \, y_ {n} ^ {(n-1)} \ end {vmatrix}} = - p_ {n-1} W.}

Prueba utilizando la fórmula de Liouville [ editar ]

Las soluciones $${\ displaystyle y_ {1}, \ ldots, y_ {n}} formar la solución de valor de matriz cuadrada

{\ displaystyle \ Phi (x) = {\ begin {pmatrix} y_ {1} (x) & y_ {2} (x) & \ cdots & y_ {n} (x) \\ y '_ {1} (x) & y '_ {2} (x) & \ cdots & y' _ {n} (x) \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ y_ {1} ^ {(n-2)} (x ) & y_ {2} ^ {(n-2)} (x) & \ cdots & y_ {n} ^ {(n-2)} (x) \\ y_ {1} ^ {(n-1)} (x ) & y_ {2} ^ {(n-1)} (x) & \ cdots & y_ {n} ^ {(n-1)} (x) \ end {pmatrix}}, \ qquad x \ in I,}

del $${\ displaystyle n}Sistema de primer orden tridimensional de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} y '\\ y' '\\\ vdots \\ y ^ {(n-1)} \\ y ^ {(n)} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 1 \\ - p_ {0} (x) & - p_ {1 } (x) & - p_ {2} (x) & \ cdots & -p_ {n-1} (x) \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} y \\ y '\\\ vdots \\ y ^ {(n-2)} \\ y ^ {(n-1)} \ end {pmatrix}}.}

La traza de esta matriz es$${\ displaystyle -p_ {n-1} (x)}, por lo tanto, la identidad de Abel se deriva directamente de la fórmula de Liouville .