ARTÍCULOS DE MATEMÁTICAS

mapa Abel-Jacobi es una construcción de geometría algebraica que relaciona una curva algebraica con su variedad jacobiana . En la geometría riemanniana , es una construcción más general que mapea una variedad de su toro de Jacobi. El nombre deriva del teorema de Abel y Jacobi de que dos divisores efectivos son linealmente equivalentes si y solo si son indistinguibles bajo el mapa Abel-Jacobi.

Construcción del mapa [ editar ]

En geometría algebraica compleja , el jacobiano de una curva C se construye utilizando la integración de la trayectoria. A saber, supongamos que C tiene género g , lo que significa topológicamente que

$${\ displaystyle H_ {1} (C, \ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z} ^ {2g}.

Geométricamente, este grupo de homología consiste en (clases de homología de) ciclos en C , o en otras palabras, bucles cerrados. Por lo tanto, podemos elegir bucles de 2 g.$${\ displaystyle \ gamma _ {1}, \ ldots, \ gamma _ {2g}}generandolo Por otro lado, otra forma más algebro-geométrica de decir que el género de C es g es que

$${\ displaystyle H ^ {0} (C, K) \ cong \ mathbb {C} ^ {g},}

donde K es el paquete canónica en C .

Por definición, este es el espacio de las formas diferenciales holomorfas definidas globalmente en C , por lo que podemos elegir g formas linealmente independientes$${\ displaystyle \ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {g}}. Dados formularios y bucles cerrados podemos integrar, y definimos vectores de 2 g

$${\ displaystyle \ Omega _ {j} = \ left (\ int _ {\ gamma _ {j}} \ omega _ {1}, \ ldots, \ int _ {\ gamma _ {j}} \ omega _ {g } \ derecha) \ en \ mathbb {C} ^ {g}.}

De las relaciones bilineales de Riemann se deduce que$${\ displaystyle \ Omega _ {j}}generar una red no degenerada $${\ displaystyle \ Lambda} (es decir, son una base real para $${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {g} \ cong \ mathbb {R} ^ {2g}}), y el jacobiano se define por

$${\ displaystyle J (C) = \ mathbb {C} ^ {g} / \ Lambda.}

El mapa Abel-Jacobi se define de la siguiente manera. Escogemos algún punto de base$${\ displaystyle p_ {0} \ en C} y, casi imitando la definición de $${\ displaystyle \ Lambda,} definir el mapa

$${\ displaystyle {\ begin {cases} u: C \ to J (C) \\ u (p) = \ left (\ int _ {p_ {0}} ^ {p} \ omega _ {1}, \ dots , \ int _ {p_ {0}} ^ {p} \ omega _ {g} \ right) {\ bmod {\ Lambda}} \ end {cases}}}

Aunque esto parece depender de un camino desde $${\ displaystyle p_ {0}} a $${\ displaystyle p,} cualquiera de estos dos caminos definen un bucle cerrado en $${\ displaystyle C} y, por tanto, un elemento de $${\ displaystyle H_ {1} (C, \ mathbb {Z}),} por lo que la integración sobre ella da un elemento de $${\ displaystyle \ Lambda.}Así la diferencia se borra en el pasaje al cociente por $${\ displaystyle \ Lambda}. Cambio de punto base$${\ displaystyle p_ {0}} Cambia el mapa, pero solo por una traducción del toro.

El mapa Abel-Jacobi de una variedad riemanniana [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle M}ser un colector compacto suave . Dejar$${\ displaystyle \ pi = \ pi _ {1} (M)}Ser su grupo fundamental. Dejar$${\ displaystyle f: \ pi \ to \ pi ^ {ab}}Sea su mapa de abelianización . Dejar$${\ displaystyle \ operatorname {tor} = \ operatorname {tor} (\ pi ^ {ab})} ser el subgrupo de torsión de $${\ displaystyle \ pi ^ {ab}}. Dejar$${\ displaystyle g: \ pi ^ {ab} \ to \ pi ^ {ab} / \ operatorname {tor}}Ser el cociente por torsión. Si$${\ displaystyle M} es una superficie, $${\ displaystyle \ pi ^ {ab} / \ operatorname {tor}} es no canónicamente isomorfo a $${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2g}}, dónde $${\ displaystyle g}es el genero más generalmente,$${\ displaystyle \ pi ^ {ab} / \ operatorname {tor}} es no canónicamente isomorfo a $${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {b}}, dónde $${\ displaystyle b}Es el primer número de Betti. Dejar$${\ displaystyle \ varphi = g \ circ f: \ pi \ to \ mathbb {Z} ^ {b}} Ser el homomorfismo compuesto.

Definición. La tapa$${\ displaystyle {\ bar {M}}} de lo múltiple $${\ displaystyle M} correspondiente al subgrupo $${\ displaystyle \ ker (\ varphi) \ subset \ pi} Se llama la cubierta abeliana libre universal (o máxima).

Ahora supongamos que M tiene una métrica riemanniana . Dejar$${\ displaystyle E} Ser el espacio de las formas 1 armónicas en. $${\ displaystyle M}, con doble $${\ displaystyle E ^ {*}} canónicamente identificado con $${\ displaystyle H_ {1} (M, \ mathbb {R})}. Mediante la integración de una forma armónica integral 1 a lo largo de las rutas desde un punto base$${\ displaystyle x_ {0} \ en M}, obtenemos un mapa al circulo $${\ displaystyle \ mathbb {R} / \ mathbb {Z} = S ^ {1}}.

Del mismo modo, para definir un mapa. $${\ displaystyle M \ a H_ {1} (M, \ mathbb {R}) / H_ {1} (M, \ mathbb {Z}) _ {\ mathbb {R}}}Sin elegir una base para la cohomología, argumentamos lo siguiente. Dejar$${\ displaystyle x}Ser un punto en la portada universal. $${\ displaystyle {\ tilde {M}}} de $${\ displaystyle M}. Así$${\ displaystyle x} está representado por un punto de $${\ displaystyle M} junto con un camino $${\ displaystyle c} desde $${\ displaystyle x_ {0}}lo. Al integrarse a lo largo del camino.$${\ displaystyle c}, obtenemos una forma lineal en $${\ displaystyle E}:

$${\ displaystyle h \ to \ int _ {c} h.}

Esto da lugar a un mapa.

$${\ displaystyle {\ tilde {M}} \ a E ^ {*} = H_ {1} (M, \ mathbb {R}),}

que, además, desciende a un mapa.

$${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ overline {A}} _ {M}: {\ overline {M}} \ to E ^ {*} \\ c \ mapsto \ left (h \ mapsto \ int _ { c} h \ right) \ end {cases}}}

dónde $${\ displaystyle {\ overline {M}}} Es la cubierta abeliana libre universal.

Definición. La variedad jacobi (toro jacobi) de$${\ displaystyle M} es el toro

$${\ displaystyle J_ {1} (M) = H_ {1} (M, \ mathbb {R}) / H_ {1} (M, \ mathbb {Z}) _ {\ mathbb {R}}.}

Definición. El mapa Abel-Jacobi.

$${\ displaystyle A_ {M}: M \ a J_ {1} (M),}

se obtiene del mapa de arriba pasando a cocientes.

El mapa Abel-Jacobi es único hasta las traducciones del toro de Jacobi. El mapa tiene aplicaciones en geometría sistólica . El mapa Abel-Jacobi de una variedad riemanniana se muestra en gran parte de las asintóticas del núcleo de calor en una variedad periódica ( Kotani y Sunada (2000) y Sunada (2012) ).

De la misma manera, se puede definir un análogo teórico-gráfico de Abel-Jacobi como un mapa lineal por tramos de un gráfico finito a un toro plano (o un gráfico de Cayley asociado a un grupo abeliano finito), que está estrechamente relacionado. a comportamientos asintóticos de caminatas aleatorias en redes cristalinas, y se puede utilizar para el diseño de estructuras cristalinas.

Abel-Jacobi teorema [ editar ]

El siguiente teorema fue probado por Abel: Supongamos que

$${\ displaystyle D = \ sum \ nolimits _ {i} n_ {i} p_ {i}}

es un divisor (es decir, una combinación formal de enteros lineales de puntos de C ). Podemos definir

$${\ displaystyle u (D) = \ sum \ nolimits _ {i} n_ {i} u (p_ {i})}

y, por lo tanto, hablar del valor del mapa Abel-Jacobi en los divisores. El teorema es, entonces, que si D y E son dos divisores efectivos , lo que significa que$${\ displaystyle n_ {i}} son todos enteros positivos, entonces

$${\ displaystyle u (D) = u (E)} si y solo si $${\ displaystyle D}es linealmente equivalente a$${\ displaystyle E.} Esto implica que el mapa Abel-Jacobi induce un mapa inyectivo (de grupos abelianos) desde el espacio de clases divisoras de grado cero hasta el jacobiano.

Jacobi demostró que este mapa también es superyectivo, por lo que los dos grupos son naturalmente isomorfos.

El teorema de Abel-Jacobi implica que la variedad albanesa de una curva compacta compleja (dual de períodos de módulo de formas 1 holomorfas) es isomorfa a su variedad jacobiana (divisores de grado 0 de equivalencia de módulo). Para variedades proyectivas compactas de mayor dimensión, la variedad albanesa y la variedad Picard son duales, pero no necesitan ser isomorfas.

 fórmula Abel-Plana es una fórmula de suma descubierta independientemente por Niels Henrik Abel  ( 1823 ) y Giovanni Antonio Amedeo Plana  ( 1820 ). Se afirma que

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} f (n) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (x) \, dx + {\ frac {1} {2}} f (0) + i \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {f (it) -f (-it)} {e ^ {2 \ pi t} -1}} \, dt.}

Se mantiene para las funciones f que son holomorfas en la región Re ( z ) ≥ 0, y satisfacen una condición de crecimiento adecuada en esta región; por ejemplo, es suficiente asumir que | f | Está delimitado por C / | z | ^{1 + ε}en esta región para algunas constantes C , ε> 0, aunque la fórmula también se mantiene bajo límites mucho más débiles. ( Olver 1997 , p.290).

Un ejemplo es proporcionado por la función zeta de Hurwitz ,

$${\ displaystyle \ zeta (s, \ alpha) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(n + \ alpha) ^ {s}}} = {\ frac {\ alpha ^ {1-s}} {s-1}} + {\ frac {1} {2 \ alpha ^ {s}}} + 2 \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin \ izquierda (s \ arctan {\ frac {t} {\ alpha}} \ right)} {(\ alpha ^ {2} + t ^ {2}) ^ {\ frac {s} {2}}}} {\ frac {dt} {e ^ {2 \ pi t} -1}},}

el cual es válido para todos los s ∈ ℂ , s ≠ 1 .

Abel también dio la siguiente variación para sumas alternas:

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} f (n) = {\ frac {1} {2}} f (0) + i \ int _ {0 } ^ {\ infty} {\ frac {f (it) -f (-it)} {2 \ sinh (\ pi t)}} \, dt.}

El teorema binomial de Abel , llamado así por Niels Henrik Abel , es una identidad matemática que involucra sumas de coeficientes binomiales . Enuncia lo siguiente:

$${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ binom {m} {k}} (w + mk) ^ {mk-1} (z + k) ^ {k} = w ^ {- 1} (z + w + m) ^ {m}.}

Ejemplo [ editar ]

m = 2 [ editar ]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & {} \ quad {\ binom {2} {0}} (w + 2) ^ {1} (z + 0) ^ {0} + {\ binom {2} { 1}} (w + 1) ^ {0} (z + 1) ^ {1} + {\ binom {2} {2}} (w + 0) ^ {- 1} (z + 2) ^ {2 } \\ & = (w + 2) +2 (z + 1) + {\ frac {(z + 2) ^ {2}} {w}} \\ & = {\ frac {(z + w + 2 ) ^ {2}} {w}}. \ End {alineado}}}

Los polinomios de Abel en matemáticas forman una secuencia polinomial , cuyo término n es de la forma

$${\ displaystyle p_ {n} (x) = x (x-an) ^ {n-1}.}

La secuencia lleva el nombre de Niels Henrik Abel (1802-1829), el matemático noruego.

Esta secuencia polinomial es de tipo binomial : a la inversa, cada secuencia polinomial de tipo binomial puede obtenerse a partir de la secuencia de Abel en el cálculo del umbral .

Ejemplos [ editar ]

Para a = 1 , los polinomios son (secuencia A137452 en el OEIS )

$${\ displaystyle p_ {0} (x) = 1;}

$${\ displaystyle p_ {1} (x) = x;}

$${\ displaystyle p_ {2} (x) = - 2x + x ^ {2};}

$${\ displaystyle p_ {3} (x) = 9x-6x ^ {2} + x ^ {3};}

$${\ displaystyle p_ {4} (x) = - 64x + 48x ^ {2} -12x ^ {3} + x ^ {4};}

Para a = 2 , los polinomios son

$${\ displaystyle p_ {0} (x) = 1;}

$${\ displaystyle p_ {1} (x) = x;}

$${\ displaystyle p_ {2} (x) = - 4x + x ^ {2};}

$${\ displaystyle p_ {3} (x) = 36x-12x ^ {2} + x ^ {3};}

$${\ displaystyle p_ {4} (x) = - 512x + 192x ^ {2} -24x ^ {3} + x ^ {4};}

$${\ displaystyle p_ {5} (x) = 10000x-4000x ^ {2} + 600x ^ {3} -40x ^ {4} + x ^ {5};}

$${\ displaystyle p_ {6} (x) = - 248832x + 103680x ^ {2} -17280x ^ {3} + 1440x ^ {4} -60x ^ {5} + x ^ {6};}

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Premio Abel
Premiado por	Destacado trabajo científico en el campo de las matemáticas.
País	Noruega
Presentado por	Gobierno de Noruega
Primer galardonado	2003
Sitio web	www.abelprize.no

El Premio Abel / ɑː b əl / ( noruego : Abelprisen ) es un noruegopremio otorgado anualmente por el rey de Noruega a uno o más destacados matemáticos . ^[1] Lleva el nombre del matemático noruego Niels Henrik Abel (1802–1829) y sigue el modelo de los Premios Nobel . ^{[2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]} Viene con un premio monetario de 6 millones de coronas noruegas (NOK) ( 620.000 € o$ 700,000).

La historia del Premio Abel se remonta a 1899, cuando su creación fue propuesta por el matemático noruego Sophus Lie cuando supo que los planes de premios anuales de Alfred Nobel no incluirían un premio en matemáticas. En 1902, el rey Óscar II de Suecia y Noruega manifestaron su voluntad de financiar un premio de matemáticas para complementar los Premios Nobel, pero el establecimiento del premio se impidió mediante la disolución de la unión entre Noruega y Suecia en 1905. Llevó casi un siglo antes. el premio fue finalmente establecido por el Gobierno de Noruega en 2001, y tenía la intención específica de "dar a los matemáticos su propio equivalente de un Premio Nobel". ^[7]Los laureados son seleccionados por el Comité Abel, cuyos miembros son nombrados por la Academia Noruega de Ciencias y Letras .

La ceremonia de entrega de premios se lleva a cabo en el Aula de la Universidad de Oslo , donde se otorgó el Premio Nobel de la Pazentre 1947 y 1989. ^[9] La junta del Premio Abel también estableció un simposio Abel, administrado por la Sociedad Matemática de Noruega .

Historia [ editar ]

El premio fue propuesto por primera vez en 1899, como parte de la celebración del centenario del nacimiento de Niels Henrik Abel en 1802. ^[11] Poco antes de su muerte en 1899, el matemático noruego Sophus Lie propuso establecer un Premio Abel cuando supo que los planes de Alfred Nobel para los premios anuales no incluirían un premio en matemáticas. El rey Oscar II estaba dispuesto a financiar un premio de matemáticas en 1902, y los matemáticos Ludwig Sylow y Carl Størmer elaboraron estatutos y reglas para el premio propuesto. Sin embargo, la influencia de Lie disminuyó después de su muerte y la disolución de la unión entre Suecia y Noruega.En 1905 terminó el primer intento de crear un Premio Abel. ^[11]

El premio se otorga en el aula del edificio Domus Media de la Facultad de Derecho de la Universidad de Oslo , donde anteriormente se otorgó el Premio Nobel de la Paz.

Después de que el concepto de premio se hubiera incrementado en 2001, se formó un grupo de trabajo para desarrollar una propuesta, que se presentó al Primer Ministro de Noruega en mayo. En agosto de 2001, el gobierno noruego anunció que el premio se otorgaría a partir de 2002, el segundo centenario del nacimiento de Abel. Atle Selberg recibió un Premio Abel honorífico en 2002, pero el primer Premio Abel se otorgó en 2003. ^[11] [12]

En 2010 se inició una serie de libros en los que se presentaron los ganadores del Premio Abel y su investigación. Los dos primeros volúmenes abarcan los años 2003-2007 y 2008-2012, respectivamente. ^[13] [14]

En 2019, Karen Uhlenbeck se convirtió en la primera mujer en ganar el Premio Abel, y el comité del premio citó “el impacto fundamental de su trabajo en el análisis, la geometría y la física matemática. ^[15]

Criterios de selección y financiación [ editar ]

Cualquiera puede presentar una nominación para el Premio Abel, sin embargo, no se permiten las autonominaciones. El candidato debe estar vivo; sin embargo, si el premiado muere después de ser declarado ganador, el premio se otorgará a título póstumo.

La Academia de Ciencias y Letras de Noruega declara al ganador del Premio Abel cada mes de marzo después de una recomendación del Comité Abel, que consta de cinco matemáticos destacados. Tanto los noruegos como los no noruegos pueden formar parte del Comité. Son elegidos por la Academia Noruega de Ciencias y Letras y nominados por la Unión Internacional de Matemáticas y la Sociedad Europea de Matemáticas . ^[11] [16] El comité es de 2018 presidido por el matemático noruego Hans Munthe-Kaas ( Universidad de Bergen ), ^[17] y fue antes de eso, encabezado por el profesor John Rognes . ^[18]

Financiación [ editar ]

El gobierno noruego otorgó al premio una financiación inicial de NOK 200 millones (aproximadamente € 21,7 millones ^[19] ) en 2001. Anteriormente, la financiación provenía de la fundación Abel, pero hoy el premio se financia directamente a través del presupuesto nacional.

El financiamiento está controlado por la Junta, que está compuesta por miembros elegidos por la Academia Noruega de Ciencias y Letras. ^[16] El líder actual de la Junta es John Grue .

Laureados [ editar ]

Año	Laureado (s)	Imagen	Ciudadanía (s)	Institución (es)	Citación
2003	Jean-Pierre Serre		Francia	Collège de France	"Por desempeñar un papel clave en la configuración de la forma moderna de muchas partes de las matemáticas, incluida la topología ,la geometría algebraica y la teoría de los números ". [20]
2004	Michael Atiyah		Reino Unido	Universidad de edimburgo	"Por su descubrimiento y prueba delteorema del índice , que reúnetopología , geometría y análisis , y su destacado papel en la construcción de nuevos puentes entre las matemáticas y la física teórica ". [21]
	Isadore Singer		Estados Unidos	Instituto de Tecnología de Massachusetts  Universidad de California, Berkeley
2005	Peter lax		Hungría [22] / Estados Unidos	Instituto Courant	"Por sus innovadoras contribuciones a la teoría y la aplicación deecuaciones diferenciales parciales y al cálculo de sus soluciones". [23]
2006	Lennart Carleson		Suecia [24]	Instituto Real de Tecnología	"Por sus contribuciones profundas y seminales al análisis armónico y la teoría de los sistemas dinámicossuaves ". [25]
2007	SR Srinivasa Varadhan		India /Estados Unidos [26]	Instituto Courant	"Por sus contribuciones fundamentales a la teoría de la probabilidad y, en particular, por crear una teoría unificada de grandes desviaciones ". [27]
2008	John G. Thompson		Estados Unidos	Universidad de Florida	"Por sus profundos logros enálgebra y, en particular, por dar forma a la teoría de grupos moderna". [28]
	Jacques Tits		Bélgica /Francia [29]	Collège de France
2009	Mikhail Gromov		Rusia /Francia [30]	Institut des Hautes Études Scientifiques [31] y Courant Institute [32]	"Por sus contribuciones revolucionarias a la geometría". [33]
2010	John Tate		Estados Unidos	Universidad de Texas en Austin	"Por su vasto y duradero impacto en la teoría de los números ". [34]
2011	John Milnor		Estados Unidos [35]	Universidad de Stony Brook	"Para descubrimientos pioneros entopología , geometría y álgebra ".[36]
2012	Endre Szemerédi		Hungría /Estados Unidos [37]	Instituto Alfréd Rényi y Universidad de Rutgers	"Por sus contribuciones fundamentales a la matemática discreta y la informática teórica , y en reconocimiento del profundo y duradero impacto de estas contribuciones en la teoría aditiva de números y la teoría ergódica ".[38]
2013	Pierre Deligne		Bélgica	Instituto de Estudios Avanzados	"Por contribuciones seminales a la geometría algebraica y por su impacto transformador en la teoría de los números , la teoría de la representación y los campos relacionados". [39]
2014	Yakov Sinai		Rusia /Estados Unidos	Universidad de Princeton eInstituto de Landau para Física Teórica [40]	"Por sus contribuciones fundamentales a los sistemas dinámicos , la teoría ergódica y la física matemática ". [41]
2015	John F. Nash Jr.		Estados Unidos	Universidad de Princeton	"Por contribuciones sorprendentes y seminales a la teoría de lasecuaciones diferenciales parcialesno lineales y sus aplicaciones alanálisis geométrico ". [42]
	Louis Nirenberg		Canadá /Estados Unidos	Instituto Courant
2016	Andrew Wiles		Reino Unido	Universidad de Oxford [43] [44]	"Por su sorprendente prueba delÚltimo Teorema de Fermat a través de la conjetura de la modularidad para curvas elípticas semiestable, abre una nueva era en la teoría de los números". [45]
2017	Yves Meyer		Francia	École normale supérieure Paris-Saclay	"Por su papel fundamental en el desarrollo de la teoría matemática de las ondas ". [46]
2018	Robert Langlands		Canadá /Estados Unidos [47]	Instituto de Estudios Avanzados	"Por su programa visionario queconecta la teoría de la representación con la teoría de los números". [48]
2019	Karen Uhlenbeck		Estados Unidos [49]	Universidad de Texas en Austin	"Por sus logros pioneros en ecuaciones diferenciales parciales geométricas, la teoría del calibre y los sistemas integrables, y por el impacto fundamental de su trabajo en el análisis, la geometría y la física matemática". [