ARTÍCULOS DE MATEMÁTICAS

 teorema de Abhyankar-Moh establece que si$${\ displaystyle L}Es una línea compleja en el plano afíncomplejo. $${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}, entonces cada incrustación de $${\ displaystyle L} dentro $${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}Se extiende a un automorfismo del plano. Lleva el nombre de Shreeram Shankar Abhyankar y Tzuong-Tsieng Moh, quienes lo publicaron en 1975. Más generalmente, el mismo teorema se aplica a las líneas y los planos sobre cualquier campo algebraicamente cerrado de característica cero, y a ciertos subconjuntos de buen comportamiento de dimensiones superiores Espacios afines complejos.

 la conjetura de Abhyankar es un 1957 conjetura de Shreeram Abhyankar , en los grupos de Galois de cuerpos de funciones algebraicas de característica p . ^[1] El caso soluble fue resuelto por Serre en 1990 ^[2] y la conjetura completa fue probada en 1994 por el trabajo de Michel Raynaud y David Harbater . ^{[3] [4] [5]}

El problema involucra un grupo finito G , un número primo p , y el campo de función K (C) de una curva algebraica integral no singular C definida sobre un campo algebraicamente cerrado K de la característica p .

La pregunta aborda la existencia de una extensión Galois L de K ( C ), con G como grupo Galois y con una ramificación específica . Desde un punto de vista geométrico, L corresponde a otra curva C ′, junto con un morfismo

π: C '→ C .

Geométricamente, la afirmación de que π se ramifica en un conjunto finito de puntos S en C significa que π restringido al complemento de S en C es un morfismo étale . Esto es en analogía con el caso de las superficiesde Riemann . En la conjetura de Abhyankar, S es fija, y la pregunta es qué puede ser G. Este es por lo tanto un tipo especial de problema de Galois inverso .

El subgrupo p ( G ) se define como el subgrupo generado por todos los subgrupos Sylow de G para el número primo p . Este es un subgrupo normal , y el parámetro n se define como el número mínimo de generadores de

G / p ( G ).

Luego, para el caso de C, la línea proyectiva sobre K , la conjetura establece que G puede realizarse como un grupo de Galois de L , fuera de S que no tiene una sazón y que contiene s + 1 puntos, si y solo si

n ≤ s .

Esto fue probado por Raynaud.

Para el caso general, demostrado por Harbater, deja que g sea el género de C . Entonces G se puede realizar si y solo si

n ≤ s + 2 g .

La desigualdad de Abhyankar es una desigualdad que involucra extensiones de campos valiosos en el álgebra, introducida por Abhyankar  ( 1956 ).

Si K / k es una extensión de los campos valiosos , entonces la desigualdad de Abhyankar establece que el gradode trascendencia de K / k es al menos el grado de trascendencia de la extensión del campo de residuos más el rango Q del cociente de los grupos de valoración .

 el lema de Abhyankar (llamado así por Shreeram Shankar Abhyankar ) le permite a uno matar la ramificación doméstica tomando una extensión de un campo base.

Más precisamente, el lema de Abhyankar establece que si A , B , C son campos locales tales que A y B son extensiones finitas de C , con los índices de ramificación a y b , y B está ramificado de manera discreta sobre C y b divide a , entonces el compositum AB es una extensión unramified de A .

Los números de Abjad , también llamados Hisab al-Jummal(en árabe : حِسَاب الْجُمَّل , ḥisāb al-jummal ), son un sistema de numeración decimal en el que a las 28 letras del alfabeto árabe se les asignan valores numéricos. Se han utilizado en el mundo de habla árabe desde antes del siglo VIII, cuando se adoptaron los números arábigos . En árabe moderno, la palabra ʾabjadīyah ( أبجدية ) significa " alfabeto " en general.

En el sistema Abjad, la primera letra del alfabeto árabe, ʾalif , se usa para representar 1; la segunda letra, bāʾ , se usa para representar 2, etc. Las letras individuales también representan 10s y 100s: yāʾ para 10, kāf para 20, qāf para 100, etc.

La palabra ʾabjad ( أبجد ) se deriva de las primeras cuatro letras (ABJD) del alfabeto semítico, incluido el alfabeto fenicio , el alfabeto arameo , el alfabeto hebreo y otros scripts para idiomas semíticos . Estos alfabetos más antiguos contenían solo 22 letras, deteniéndose en taw , numéricamente equivalente a 400. El sistema árabe Abjad continúa en este punto con letras que no se encuentran en otros alfabetos: thāʾ= 500, etc.

subgrupo anormal es un subgrupo H de un grupo Gtal que para cada x  ∈  G , x se encuentra en el subgrupo generado por H y  H ^x , donde H ^x denota el subgrupo conjugado xHx ^{- 1} .  

Aquí hay algunos datos que relacionan la anomalía con otras propiedades de subgrupos:

• Cada subgrupo anormal es un subgrupo que se normaliza a sí mismo , así como un subgrupo contranormal .
• El único subgrupo normal que también es anormal es todo el grupo.
• Cada subgrupo anormal es un subgrupo débilmente anormal , y cada subgrupo débilmente anormal es un subgrupo que se normaliza a sí mismo.
• Cada subgrupo anormal es un subgrupo pronormal y, por lo tanto, un subgrupo pronormal débil , un subgrupo paranormal y un subgrupo polinormal .

la continuidad absoluta es una propiedad de suavidad de las funciones que es más fuerte que la continuidad y la continuidad uniforme . La noción de continuidad absoluta permite obtener generalizaciones de la relación entre las dos operaciones centrales de cálculo : diferenciación e integración . Esta relación se caracteriza comúnmente (por el teorema fundamental del cálculo ) en el marco de la integración de Riemann , pero con una continuidad absoluta puede formularse en términos de la integración de Lebesgue . Para funciones de valor real en ellínea real , aparecen dos nociones interrelacionadas: continuidad absoluta de funciones y continuidad absoluta de medidas. Estas dos nociones se generalizan en diferentes direcciones. La derivada habitual de una función se relaciona con la derivada de Radón-Nikodym , o densidad , de una medida.

Tenemos las siguientes cadenas de inclusiones para funciones sobre un subconjunto compacto de la línea real:

absolutamente continuo ⊆ uniformemente continuo = continuo

y, para un intervalo compacto,

continuamente diferenciable ⊆ Lipschitz continuo ⊆ absolutamente continuo ⊆ variación acotada ⊆diferenciable en casi todas partes

Continuidad absoluta de funciones [ editar ]

Una función continua no puede ser absolutamente continua si no es uniformemente continua , lo que puede suceder si el dominio de la función no es compacto; los ejemplos son tan ( x ) sobre [0,  π / 2), x ² sobre la totalidad real line, y sin (1 / x ) sobre (0, 1]. Pero una función continua f puede no ser absolutamente continua incluso en un intervalo compacto. Puede que no sea "diferenciable en casi todas partes" (como la función Weierstrass , que es no se puede diferenciar en ningún lado). O puede ser diferenciable en casi todas partes y su derivado f  ′ puede ser integrable por Lebesgue, pero la integral de f  ′ difiere del incremento de f (cuánto cambia fen un intervalo). Esto sucede, por ejemplo, con la función de Cantor .

Definición [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle I}ser un intervalo en la linea real $${\ displaystyle \ mathbb {R}}. Una función$${\ displaystyle f \ colon I \ to \ mathbb {R}}es absolutamente continuo en$${\ displaystyle I} si por cada numero positivo $${\ displaystyle \ varepsilon}, hay un numero positivo $${\ displaystyle \ delta}de tal manera que cada vez que una secuencia finita de disjuntas dos a dos sub-intervalos$${\ displaystyle (x_ {k}, y_ {k})} de $${\ displaystyle I} con $${\ displaystyle x_ {k}, y_ {k} \ en I}satisface ^[1]

{\ displaystyle \ sum _ {k} (y_ {k} -x_ {k}) <\ delta}

entonces

{\ displaystyle \ sum _ {k} | f (y_ {k}) - f (x_ {k}) | <\ varepsilon.}

La colección de todas las funciones absolutamente continuas en $${\ displaystyle I} se denota $${\ displaystyle \ operatorname {AC} (I)}.

Definiciones equivalentes [ editar ]

Las siguientes condiciones en una función de valores reales f en un intervalo compacto [ a , b ] son ​​equivalentes: ^[2]

(1) f es absolutamente continua;

(2) f tiene un derivado f  ′ en casi todas partes , el derivado es integrable de Lebesgue, y

$${\ displaystyle f (x) = f (a) + \ int _ {a} ^ {x} f '(t) \, dt}

para todas las x en [ a , b ];

(3) existe una función integrable g de Lebesgue en [ a , b ] tal que

$${\ displaystyle f (x) = f (a) + \ int _ {a} ^ {x} g (t) \, dt}

para todas las x en [ a , b ].

Si se cumplen estas condiciones equivalentes, entonces necesariamente g = f  ′ en casi todas partes.

La equivalencia entre (1) y (3) se conoce como el teorema fundamental del cálculo integral de Lebesgue , debido a Lebesgue . ^[3]

Para una definición equivalente en términos de medidas, consulte la sección Relación entre las dos nociones de continuidad absoluta .

Propiedades [ editar ]

• La suma y la diferencia de dos funciones absolutamente continuas también son absolutamente continuas. Si las dos funciones se definen en un intervalo cerrado limitado, entonces su producto también es absolutamente continuo. ^[4]
• Si una función absolutamente continua se define en un intervalo cerrado limitado y en ningún lugar es cero, entonces su recíproco es absolutamente continuo. ^[5]
• Toda función absolutamente continua es uniformemente continua y, por lo tanto, continua . Cada función continua de Lipschitz es absolutamente continua. ^[6]
• Si f : [ a , b ] → R es absolutamente continuo, entonces es de variación acotada en [ a , b ]. ^[7]
• Si f : [ a , b ] → R es absolutamente continuo, entonces puede escribirse como la diferencia de dos funciones monotónicas no continuas absolutamente continuas en [ a , b ].
• Si f : [ a , b ] → R es absolutamente continuo, entonces tiene la propiedad Luzin N (es decir, para cualquier$${\ displaystyle L \ subseteq [a, b]} tal que $${\ displaystyle \ lambda (L) = 0}, sostiene que $${\ displaystyle \ lambda (f (L)) = 0}, dónde $${\ displaystyle \ lambda}representa la medida de Lebesgue en R ).
• f : I → R es absolutamente continuo si y solo si es continuo, es de variación acotada y tiene la propiedad Luzin N.

Ejemplos [ editar ]

Las siguientes funciones son uniformemente continuas pero no absolutamente continuas:

• la función de Cantor en [0, 1];
• la función

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 0, & {\ text {if}} x = 0 \\ x \ sin (1 / x), & {\ text {if}} x \ neq 0 \ end {cases}}}

en un intervalo finito que contiene el origen.

Las siguientes funciones son absolutamente continuas pero no α-Hölder continua:

• la función f ( x ) =  x ^β en [0, c], para cualquier 0 <β <α <1 font="">

Las siguientes funciones son absolutamente continuas y α-Hölder continua pero no Lipschitz continua :

• la función f ( x ) =  √ x en [0, c], para α ≤ 1/2.

Generalizaciones [ editar ]

Sea ( X , d ) un espacio métrico y dejar que ser un intervalo en la recta real R . Una función f : I → X es absolutamente continua en I si por cada número positivo$${\ displaystyle \ epsilon}, hay un numero positivo $${\ displaystyle \ delta}de tal manera que siempre que una secuencia finita de subintervalos separados de par [ x _k , y _k ] de I satisfaga

{\ displaystyle \ sum _ {k} \ left | y_ {k} -x_ {k} \ right | <\ delta}

entonces

{\ displaystyle \ sum _ {k} d \ left (f (y_ {k}), f (x_ {k}) \ right) <\ epsilon.}

La colección de todas las funciones absolutamente continuas de I a X se denota AC ( I ; X ).

Otra generalización es el espacio AC ^p ( I ; X ) de las curvas f : I → X tal que ^[8]

$${\ displaystyle d \ left (f (s), f (t) \ right) \ leq \ int _ {s} ^ {t} m (\ tau) \, d \ tau {\ text {para todos}} [ s, t] \ subseteq I}

para algunos m en el L ^p espacio L ^p (I).

Propiedades de estas generalizaciones [ editar ]

• Toda función absolutamente continua es uniformemente continua y, por lo tanto, continua . Cada función continua de Lipschitz es absolutamente continua.
• Si f : [ a , b ] → X es absolutamente continuo, entonces es de variación acotada en [ a , b ].
• Para f ∈ AC ^p ( I ; X ), el derivado métrico de f existe para λ , casi todos los tiempos en I , y el derivado métrico es el m ∈ L ^p ( I ; R ) más pequeño , de manera que ^[9]

$${\ displaystyle d \ left (f (s), f (t) \ right) \ leq \ int _ {s} ^ {t} m (\ tau) \, d \ tau {\ text {para todos}} [ s, t] \ subseteq I.}

La continuidad absoluta de medidas [ editar ]

Definición [ editar ]

Una medida $${\ displaystyle \ mu}En Borel, los subconjuntos de la línea real son absolutamente continuos con respecto a la medida de Lebesgue. $${\ displaystyle \ lambda} (en otras palabras, dominado por $${\ displaystyle \ lambda}) si para cada conjunto medible $${\ displaystyle A}, $${\ displaystyle \ lambda (A) = 0} implica $${\ displaystyle \ mu (A) = 0}. Esto se escribe como$${\ displaystyle \ mu \ ll \ lambda}.

En la mayoría de las aplicaciones, si se dice simplemente que una medida en la línea real es absolutamente continua, sin especificar con respecto a qué otra medida es absolutamente continua, entonces se quiere decir una continuidad absoluta con respecto a la medida de Lebesgue.

Lo mismo funciona para medidas sobre subconjuntos de Borel de. $${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}, n \ geq 2}.

Definiciones equivalentes [ editar ]

Las siguientes condiciones en una medida finita μ en subconjuntos de Borel de la línea real son equivalentes: ^[10]

(1) μ es absolutamente continuo;

(2) para cada número positivo ε hay un número positivo δ tal que μ ( A ) < ε para todos los conjuntos de Borel A de Lebesgue miden menos que δ ;

(3) existe una función integrable g de Lebesgue en la línea real tal que

$${\ displaystyle \ mu (A) = \ int _ {A} g \, d \ lambda}

Para todos los subconjuntos A de Borel de la línea real.

Para una definición equivalente en términos de funciones, consulte la sección Relación entre las dos nociones de continuidad absoluta .

Cualquier otra función que satisfaga (3) es igual a g en casi todas partes. Dicha función se denomina derivada de Radón-Nikodym , o densidad, de la medida absolutamente continua μ .

La equivalencia entre (1), (2) y (3) se mantiene también en R ⁿ para todos n  = 1, 2, 3, ...

Por lo tanto, las medidas absolutamente continuas en R ⁿ son precisamente aquellas que tienen densidades; como un caso especial, las medidas de probabilidad absolutamente continuas son precisamente las que tienen funciones de densidad de probabilidad .

Generalizaciones [ editar ]

Si μ y ν son dos medidas en el mismo espacio medible, entonces se dice que μ es absolutamente continuo con respecto a ν , o dominado por ν si μ ( A ) = 0 para cada conjunto A para el cual ν ( A ) = 0. ^{[ 11]} Esto se escribe como " μ $${\ displaystyle \ ll} ν ". En símbolos:

$${\ displaystyle \ mu \ ll \ nu \ iff \ forall A \ left (\ nu (A) = 0 \ \ Rightarrow \ \ mu (A) = 0 \ right).}

La continuidad absoluta de las medidas es reflexiva y transitiva , pero no es antisimétrica , por lo que es una orden previa en lugar de una orden parcial . En cambio, si μ $${\ displaystyle \ ll} ν y ν $${\ displaystyle \ ll} μ , las medidas μ y ν se dicen que son equivalentes . Así, la continuidad absoluta induce un ordenamiento parcial de tales clases de equivalencia .

Si μ es una medida con signo o compleja , se dice que μ es absolutamente continuo con respecto a ν si su variación | μ | satisface | μ | ≪ ν; equivalentemente, si cada conjunto A para el cual ν ( A ) = 0 es μ - nulo .

El teorema de Radon-Nikodym ^[12] establece que si μ es absolutamente continuo con respecto a ν , y ambas medidas son σ-finitas , entonces μ tiene una densidad, o "derivado de Radon-Nikodym", con respecto a ν , lo que significa que existe una ν función medible f tomando valores en [0, + ∞), denotado por f  =  dμ / dν , tal que para cualquier ν conjunto medible a tenemos

$${\ displaystyle \ mu (A) = \ int _ {A} f \, d \ nu.}

Medidas singulares [ editar ]

Vía el teorema de descomposición de Lebesgue. , ^[13] cada medida puede descomponerse en la suma de una medida absolutamente continua y una medida singular. Consulte la medida singular para ver ejemplos de medidas que no son absolutamente continuas.

Relación entre las dos nociones de continuidad absoluta. [ editar ]

Una medida finita μ en los subconjuntos de Borel de la línea real es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue si y solo si la función de punto

$${\ displaystyle F (x) = \ mu ((- \ infty, x])}

Es una función real absolutamente continua. Más generalmente, una función es localmente (es decir, en cada intervalo acotado) absolutamente continua si y solo si su derivado distributivo es una medida que es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue.

Si se mantiene la continuidad absoluta, entonces la derivada de Radon-Nikodym de μ es igual en casi todas partes que la derivada de F . ^[14]

Más generalmente, se supone que la medida μ es finita localmente (en lugar de finita) y F ( x ) se define como μ((0, x ]) para x > 0 , 0 para x = 0 , y - μ (( x , 0]) para x <0 font=""> . En este caso μ es la medida de Lebesgue-Stieltjesgenerada por F . ^[15] la relación entre las dos nociones de continuidad absoluta todavía bodegas.