ARTÍCULOS DE MATEMÁTICAS

Los métodos ABS , donde el acrónimo contiene las iniciales de Jozsef Abaffy, Charles G. Broyden y Emilio Spedicato , se han desarrollado desde 1981 para generar una gran clase de algoritmos para las siguientes aplicaciones:

• Solución de sistemas algebraicos lineales generales, determinados o indeterminados,
• rango completo o deficiente;
• solución de sistemas diofantinos lineales , es decir, sistemas de ecuaciones donde la matriz de coeficientes y el lado derecho tienen un valor entero y se busca una solución entera; Este es un caso especial pero importante del décimo problema de Hilbert , el único en la práctica soluble;
• solución de ecuaciones algebraicas no lineales ;
• Solución de optimización continua sin restricciones o con restricciones .

A principios de 2007, la literatura de ABS consistía en más de 400 artículos e informes y dos monografías, una de ellas para Abaffy y Spedicato y publicadas en 1989, una para Xia y Zhang y publicadas en chino en 1998. Además, se habían organizado tres conferencias. en China.

La investigación sobre los métodos de APB ha sido el resultado de una colaboración internacional coordinada por Spedicato de la Universidad de Bérgamo , Italia. Ha involucrado a más de cuarenta matemáticos de Hungría, Reino Unido, China, Irán y otros países.

El elemento central en tales métodos es el uso de una transformación de matriz especial debida esencialmente al matemático húngaro Jenő Egerváry , quien investigó sus propiedades principales en algunos artículos que pasaron inadvertidos. Para el problema básico de resolver un sistema lineal de m ecuaciones en n variables, donde$${\ displaystyle \ scriptstyle m \, \ leq \, n}Los métodos de ABS utilizan la siguiente idea geométrica simple:

1. Dada una estimación inicial arbitraria de la solución, encuentre una de las soluciones infinitas, definiendo una variedad lineal de dimensión n  - 1, de la primera ecuación.
2. Encuentre una solución de la segunda ecuación que también sea una solución de la primera, es decir, encuentre una solución que se encuentre en la intersección de las variedades lineales de las soluciones de las dos primeras ecuaciones consideradas por separado.
3. Mediante la iteración del enfoque anterior después de los pasos m ', se obtiene una solución de la última ecuación que también es una solución de las ecuaciones anteriores, por lo tanto, del sistema completo. Además, es posible detectar ecuaciones que son redundantes o incompatibles.

Entre los principales resultados obtenidos hasta el momento:

• la unificación de algoritmos para ecuaciones algebraicas lineales, no lineales y para optimización no lineal linealmente restringida, incluyendo el problema LP como un caso especial;
• El método de Gauss se ha mejorado reduciendo la memoria requerida y eliminando la necesidad de pivotar;
• nuevos métodos para sistemas no lineales con propiedades de convergencia mejores que para el método de Newton;
• derivación de un algoritmo general para el décimo problema de Hilbert, caso lineal, con la extensión de un teorema de Euler clásico de una ecuación a un sistema;
• Se han obtenido soluciones que son más estables que las clásicas, especialmente para el problema que surge en el método del punto interior primo-dual;
• Los métodos de ABS suelen ser más rápidos en máquinas vectoriales o paralelas;
• Los métodos ABS brindan un enfoque más simple para la enseñanza de una variedad de clases de problemas, ya que los métodos particulares se obtienen solo mediante la elección de parámetros específicos.

El conocimiento de los métodos ABS todavía es bastante limitado entre los matemáticos, pero tienen un gran potencial para mejorar los métodos actualmente en uso.

 converge absolutamente (o es absolutamente convergente ) si la suma de los valores absolutos de los sumandos es finita. Más precisamente, una serie real o compleja.$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}}se dice que converge absolutamente si$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left | a_ {n} \ right | = L} para algun numero real $${\ displaystyle \ textstyle L}. Del mismo modo, una integral impropia de una función ,$${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (x) \, dx}, se dice que converge absolutamente si la integral del valor absoluto del integrando es finita, es decir, si $${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left | f (x) \ right | dx = L.}

La convergencia absoluta es importante para el estudio de series infinitas porque su definición es lo suficientemente fuerte como para tener propiedades de sumas finitas que no todas las series convergentes poseen, pero es lo suficientemente amplia como para que ocurra comúnmente. (Una serie convergente que no es absolutamente convergente se denomina condicionalmente convergente ). Las series absolutamente convergentes se comportan "muy bien". Por ejemplo, los reordenamientos no cambian el valor de la suma. Esto no es cierto para la serie condicionalmente convergente: la serie de armónicos alternos $${\ textstyle 1 - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} - { \ frac {1} {6}} + \ cdots} converge a $${\ displaystyle \ ln 2}, mientras que su reordenamiento $${\ textstyle 1 + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} - { \ frac {1} {4}} + \ cdots} (en el que el patrón repetido de signos es dos términos positivos seguidos de un término negativo) converge a $${\ textstyle {\ frac {3} {2}} \ ln 2}.

Fondo [ editar ]

Se puede estudiar la convergencia de series. $${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}}cuyos términos a _n son elementos de un grupo topológico abeliano arbitrario . La noción de convergencia absoluta requiere más estructura, es decir, una norma , que es una función positiva de valor real.$${\ displaystyle \ | \ cdot \ |: G \ to \ mathbb {R _ {+}}}en un grupo abeliano G (escrito de manera aditiva , con el elemento de identidad 0) de manera que:

1. La norma del elemento de identidad de G es cero:$${\ displaystyle \ | 0 \ | = 0.}
2. Para cada x en G ,$${\ displaystyle \ | x \ | = 0} implica $${\ displaystyle x = 0.}
3. Para cada x en G ,$${\ displaystyle \ | -x \ | = \ | x \ |.}
4. Por cada x , y en G ,$${\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |.}

En este caso, la función. $${\ displaystyle d (x, y) = \ | xy \ |}Induce en G la estructura de un espacio métrico (un tipo de topología ). Por lo tanto, podemos considerar las series con valores G y definir una serie que sea absolutamente convergente si{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ | a_ {n} \ | <\ infty.}

En particular, estas declaraciones se aplican utilizando la norma | x | ( valor absoluto ) en el espacio de números reales o números complejos.

Relación con la convergencia [ editar ]

Si G está completo con respecto a la métrica d , entonces todas las series absolutamente convergentes son convergentes. La prueba es la misma que para las series de valores complejos: use la integridad para derivar el criterio de convergencia de Cauchy, una serie es convergente si y solo si sus colas pueden ser arbitrariamente pequeñas en la norma, y ​​aplique la desigualdad del triángulo.

En particular, para series con valores en cualquier espacio de Banach , la convergencia absoluta implica convergencia. Lo contrario también es cierto: si la convergencia absoluta implica convergencia en un espacio normado, entonces el espacio es un espacio de Banach.

Si una serie es convergente pero no absolutamente convergente, se llama condicionalmente convergente . Un ejemplo de una serie condicionalmente convergente es la serie armónica alterna . Muchas pruebas estándar de divergencia y convergencia, entre las que destacan la prueba de relación y la prueba de raíz , demuestran una convergencia absoluta. Esto se debe a que una serie de potencias es absolutamente convergente en el interior de su disco de convergencia.

Prueba de que cualquier serie absolutamente convergente de números complejos es convergente [ editar ]

Suponer que $${\ textstyle \ sum | a_ {k} |, a_ {k} \ in \ mathbb {C}}es convergente Entonces equivalentemente,$${\ textstyle \ sum [\ mathrm {Re} (a_ {k}) ^ {2} + \ mathrm {Im} (a_ {k}) ^ {2}] ^ {1/2}} es convergente, lo que implica que $${\ textstyle \ sum | \ mathrm {Re} (a_ {k}) |} y $${\ textstyle \ sum | \ mathrm {Im} (a_ {k}) |}Convergencia por comparación temporal de términos no negativos. Basta con demostrar que la convergencia de estas series implica la convergencia de$${\ textstyle \ sum \ mathrm {Re} (a_ {k})} y $${\ textstyle \ sum \ mathrm {Im} (a_ {k})}, para entonces, la convergencia de $${\ textstyle \ sum a_ {k} = \ sum \ mathrm {Re} (a_ {k}) + i \ sum \ mathrm {Im} (a_ {k})} seguiría, por la definición de la convergencia de series de valores complejos.

La discusión anterior muestra que solo necesitamos probar que la convergencia de $${\ textstyle \ sum | a_ {k} |, a_ {k} \ in \ mathbb {R}} implica la convergencia de $${\ textstyle \ sum a_ {k}}.

Dejar $${\ textstyle \ sum | a_ {k} |, a_ {k} \ in \ mathbb {R}}ser convergente Ya que $${\ displaystyle 0 \ leq a_ {k} + | a_ {k} | \ leq 2 | a_ {k} |}, tenemos

$${\ displaystyle 0 \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} + | a_ {k} |) \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} 2 | a_ {k } |}.

Ya que $${\ textstyle \ sum 2 | a_ {k} |} es convergente, $${\ textstyle s_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} + | a_ {k} |)} es una secuencia monotónica delimitada de sumas parciales, y $${\ textstyle \ sum (a_ {k} + | a_ {k} |)}También debe converger. Señalando que$${\ textstyle \ sum a_ {k} = \ sum (a_ {k} + | a_ {k} |) - \ sum | a_ {k} |} Es la diferencia de series convergentes, concluimos que también es una serie convergente, según se desee.

Prueba alternativa utilizando el criterio de Cauchy y la desigualdad de triángulos [ editar ]

Al aplicar el criterio de Cauchy para la convergencia de una serie compleja, también podemos probar este hecho como una simple implicación de la desigualdad del triángulo . ^[1] Por el criterio de Cauchy ,$${\ textstyle \ sum | a_ {i} |} converge si y solo si para cualquier {\ displaystyle \ epsilon> 0}, existe $${\ displaystyle N} tal que {\ textstyle {\ big |} \ sum _ {i = m} ^ {n} | a_ {i} | {\ big |} = \ sum _ {i = m} ^ {n} | a_ {i} | <\ epsilon} para cualquier $${\ displaystyle m, n \ geq N}. Pero la desigualdad del triángulo implica que$${\ textstyle {\ big |} \ sum _ {i = m} ^ {n} a_ {i} {\ big |} \ leq \ sum _ {i = m} ^ {n} | a_ {i} |}, así que eso {\ textstyle {\ big |} \ sum _ {i = m} ^ {n} a_ {i} {\ big |} <\ epsilon} para cualquier $${\ displaystyle m, n \ geq N}, que es exactamente el criterio de Cauchy para $${\ textstyle \ sum a_ {i}}.

Prueba de que cualquier serie absolutamente convergente en un espacio de Banach es convergente [ editar ]

El resultado anterior se puede generalizar fácilmente a cada espacio de Banach ( X , ǁ ⋅ ǁ) . Deje Σ x _n sea una serie absolutamente convergente en  X . Como$${\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ | x_ {k} \ |}es una secuencia de Cauchy de números reales, para cualquier ε> 0 y números naturales suficientemente grandes m > n que contiene:

{\ displaystyle \ left | \ sum _ {k = 1} ^ {m} \ | x_ {k} \ | - \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ | x_ {k} \ | \ right | = \ sum _ {k = n + 1} ^ {m} \ | x_ {k} \ | <\ varepsilon.}

Por la desigualdad del triángulo para la norma ǁ ⋅ ǁ , uno obtiene inmediatamente:

{\ displaystyle \ left \ | \ sum _ {k = 1} ^ {m} x_ {k} - \ sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} \ right \ | = \ left \ | \ suma _ {k = n + 1} ^ {m} x_ {k} \ right \ | \ leq \ suma _ {k = n + 1} ^ {m} \ | x_ {k} \ | <\ varepsilon,}

Lo que significa que $${\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k}}es una secuencia de Cauchy en  X , por lo tanto, la serie es convergente en  X . ^[2]

Reordenamientos y convergencia incondicional [ editar ]

En el contexto general de una serie con valores G , se hace una distinción entre convergencia absoluta e incondicional, y la afirmación de que una serie real o compleja que no es absolutamente convergente es necesariamente condicionalmente convergente (es decir, no convergente incondicionalmente) es entonces un teorema. No es una definición. Esto es discutido con más detalle abajo.

Dada una serie $${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}}con valores en un grupo abeliano normado G y una permutación σ de los números naturales, uno construye una nueva serie$${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a _ {\ sigma (n)}}, dice que es un reordenamiento de la serie original. Se dice que una serie es incondicionalmente convergente si todos los reordenamientos de la serie son convergentes al mismo valor.

Cuando G está completo, la convergencia absoluta implica convergencia incondicional:

Teorema. Dejar

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} a_ {i} = A \ en G, \ quad \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ | a_ {i} \ | < \ infty}

y sea σ  : N → N una permutación. Entonces:

$${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} a _ {\ sigma (i)} = A.}

El tema de lo contrario es interesante. Para series reales se desprende del teorema de reorganización de Riemann que la convergencia incondicional implica convergencia absoluta. Dado que una serie con valores en un espacio normado de dimensión finita es absolutamente convergente si cada una de sus proyecciones unidimensionales es absolutamente convergente, se sigue que la convergencia absoluta e incondicional coinciden para las series con valores de R ⁿ .

Pero hay series incondicionales y no absolutamente convergentes con valores en el espacio de Banach ℓ ^∞ , por ejemplo:

$${\ displaystyle a_ {n} = {\ tfrac {1} {n}} e_ {n},}

dónde $${\ displaystyle \ {e_ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}Es una base ortonormal. Un teorema de A. Dvoretzky y C. A. Rogers afirma que cada espacio de Banach de dimensión infinita admite una serie incondicionalmente convergente que no es absolutamente convergente. ^[3]

Demostración del teorema [ editar ]

Para cualquier ε> 0, podemos elegir algunos $${\ displaystyle \ kappa _ {\ varepsilon}, \ lambda _ {\ varepsilon} \ in \ mathbf {N}}, tal que:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ forall N> \ kappa _ {\ varepsilon} & \ quad \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} \ | a_ {n} \ | <{\ tfrac {\ varepsilon} {2}} \\\ para todos N> \ lambda _ {\ varepsilon} & \ quad \ left \ | \ sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} -A \ right \ | <{ \ tfrac {\ varepsilon} {2}} \ end {alineado}}}

Dejar

{\ displaystyle {\ begin {alineado} N _ {\ varepsilon} & = \ max \ left \ {\ kappa _ {\ varepsilon}, \ lambda _ {\ varepsilon} \ right \} \\ M _ {\ sigma, \ varepsilon } & = \ max \ left \ {\ sigma ^ {- 1} \ left (\ left \ {1, \ dots, N _ {\ varepsilon} \ right \} \ right) \ right \} \ end {alineado}} }

Finalmente para cualquier entero {\ displaystyle N> M _ {\ sigma, \ varepsilon}} dejar

{\ displaystyle {\ begin {alineado} I _ {\ sigma, \ varepsilon} & = \ left \ {1, \ ldots, N \ right \} \ setminus \ sigma ^ {- 1} \ left (\ left \ {1 , \ dots, N _ {\ varepsilon} \ right \} \ right) \\ S _ {\ sigma, \ varepsilon} & = \ min \ left \ {\ sigma (k) \: \ k \ in I _ {\ sigma, \ varepsilon} \ right \} \\ L _ {\ sigma, \ varepsilon} & = \ max \ left \ {\ sigma (k) \: \ k \ in I _ {\ sigma, \ varepsilon} \ right \} \ end {alineado}}}

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|&=\left\|\sum _{i\in \sigma ^{-1}\left(\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\}\right)}a_{\sigma (i)}-A+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\sum _{j=S_{\sigma ,\varepsilon }}^{L_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{j}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\sum _{j=N_{\varepsilon }+1}^{\infty }\left\|a_{j}\right\|&&S_{\sigma ,\varepsilon }\geq N_{\varepsilon }+1\\&<\varepsilon \end{aligned}}}$

Esto muestra que

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ existe M _ {\ sigma, \ varepsilon}, \ para todo N> M _ {\ sigma, \ varepsilon} \ quad \ left \ | \ sum _ {i = 1} ^ {N } a _ {\ sigma (i)} - A \ right \ | <\ varepsilon,}

es decir:

$${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} a _ {\ sigma (i)} = A}

QED

Productos de la serie [ editar ]

El producto de Cauchy de dos series converge al producto de las sumas si al menos una de las series converge absolutamente. Es decir, supongamos que

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} = A} y $${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} = B}.

El producto de Cauchy se define como la suma de los términos c _n donde:

$${\ displaystyle c_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} b_ {nk}.}

Entonces, si bien la de un _n o b _n suma converge absolutamente, entonces

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} = AB.}

Convergencia absoluta de integrales [ editar ]

La integral $${\ displaystyle \ int _ {A} f (x) \, dx}de una función real o de valor complejo se dice que converge absolutamente si{\ displaystyle \ int _ {A} \ left | f (x) \ right | \, dx <\ infty.} También se dice que $${\ displaystyle f}Es absolutamente integrable . El tema de la integrabilidad absoluta es complejo y depende de si se considera la integral de Riemann, Lebesgue o Kurzweil-Henstock (calibre); para la integral de Riemann, también depende de si solo consideramos la integrabilidad en su sentido apropiado ($${\ displaystyle f} y $${\ displaystyle A} ambos limitados), o permiten el caso más general de integrales impropias.

Como propiedad estándar de la integral de Riemann, cuando $${\ displaystyle A = [a, b]} es un intervalo limitado, cada función continua está limitada y (Riemann) es integrable, y desde $${\ displaystyle f} continuo implica $${\ displaystyle | f |}Continua, cada función continua es absolutamente integrable. De hecho, desde$${\ displaystyle g \ circ f} es Riemann integrable en $${\ displaystyle [a, b]} Si $${\ displaystyle f} es (correctamente) integrable y $${\ displaystyle g} es continuo, se deduce que $${\ displaystyle | f | = | \ cdot | \ circ f} es correctamente Riemann integrable si $${\ displaystyle f}es. Sin embargo, esta implicación no se cumple en el caso de integrales impropias. Por ejemplo, la función.$${\ displaystyle f: [1, \ infty) \ to \ mathbb {R}, \ \ x \ mapsto x ^ {- 1} \ sin x} es impropiamente Riemann integrable en su dominio ilimitado, pero no es absolutamente integrable:

$${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} dx = {\ frac {1} {2}} {\ big [} \ pi -2 \ mathrm { Si} (1) {\ big]} \ approx 0.62}, pero $${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ Big |} {\ frac {\ sin x} {x}} {\ Big |} dx = \ infty}.

De hecho, más en general, dada cualquier serie $${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}} Uno puede considerar la función de paso asociada. $${\ displaystyle f_ {a}: [0, \ infty) \ rightarrow \ mathbb {R}} definido por $${\ displaystyle f_ {a} ([n, n + 1)) = a_ {n}}. Entonces$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f_ {a} \, dx} converge absolutamente, converge condicionalmente o diverge de acuerdo con el comportamiento correspondiente de $${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}.}

La situación es diferente para la integral de Lebesgue, que no maneja los dominios de integración acotados e ilimitados por separado ( ver más abajo ). El hecho de que la integral de$${\ displaystyle | f |} es ilimitado en los ejemplos anteriores implica que $${\ displaystyle f}Tampoco es integrable en el sentido de Lebesgue. De hecho, en la teoría de la integración de Lebesgue, dado que$${\ displaystyle f} es medible, $${\ displaystyle f} Es (Lebesgue) integrable si y solo si $${\ displaystyle | f |}Es (Lebesgue) integrable. Sin embargo, la hipótesis de que$${\ displaystyle f}Es medible es crucial; En general no es cierto que las funciones absolutamente integrables en$${\ displaystyle [a, b]} son integrables (simplemente porque pueden no ser medibles): vamos $${\ displaystyle S \ subconjunto [a, b]} ser un subconjunto no medible y considerar $${\ displaystyle f = \ chi _ {S} -1/2,} dónde $${\ displaystyle \ chi _ {S}} es la función característica de $${\ displaystyle S}. Entonces$${\ displaystyle f} Lebesgue no es medible y por lo tanto no es integrable, pero $${\ displaystyle | f | \ equiv 1/2} Es una función constante y claramente integrable.

Por otro lado, una función. $${\ displaystyle f} puede ser Kurzweil-Henstock integrable (o "gauge integrable") mientras $${\ displaystyle | f |}no es. Esto incluye el caso de funciones integrables incorrectamente de Riemann.

En un sentido general, en cualquier espacio de medida. $${\ displaystyle A}, la integral de Lebesgue de una función de valor real se define en términos de sus partes positivas y negativas, por lo que los hechos:

1. f integrable implica | f | integrable
2. f mensurable, | f | integrable implica f integrable

están esencialmente incorporados en la definición de la integral de Lebesgue. En particular, al aplicar la teoría a la medida de conteo en un conjunto S , se recupera la noción de suma desordenada de series desarrolladas por Moore-Smith usando (lo que ahora se llama) redes. Cuando S = N es el conjunto de números naturales, la integrabilidad de Lebesgue, la sumabilidad no ordenada y la convergencia absoluta coinciden.

Finalmente, todo lo anterior es válido para integrales con valores en un espacio de Banach. La definición de una integral de Riemann con valor de Banach es una modificación evidente de la habitual. Para la integral de Lebesgue, se debe evitar la descomposición en partes positivas y negativas con el enfoque analítico más funcional de Daniell, obteniendo la integral de Bochner .