ARTÍCULOS DE MATEMÁTICAS

La paradoja de Abelson es una paradoja estadística aplicada identificada por Robert P. Abelson . ^{[1] [2] [3]} La paradoja se refiere a una posible relación paradójica entre la magnitud de la r ² (es decir, coeficiente de determinación ) tamaño del efecto y su significado práctico.

El ejemplo de Abelson se obtuvo del análisis de la r ² del promedio de bateo en el béisbol y el nivel de habilidad. Aunque el promedio de bateo se considera entre las características más significativas necesarias para el éxito, el tamaño del efecto fue solo un pequeño ^{[4] [5] [6] [7] [8] [9]} 0.003.

álgebra abeliana de von Neumann es un álgebra de von Neumann de operadores en un espacio de Hilbert en el que todos los elementos viajan .

El ejemplo prototípico de un álgebra abeliana de von Neumann es el álgebra L ^∞ ( X , μ) para μ una medida σ-finita en X realizada como un álgebra de operadores en el espacio Hilbert L ² ( X , μ) como sigue: Cada f ∈ L ^∞ ( X , μ) se identifica con el operador de multiplicación

$${\ displaystyle \ psi \ mapsto f \ psi.}

De particular importancia son las álgebras de von Neumann abelian en espacios de Hilbert separables , particularmente porque son completamente clasificables por invariantes simples.

Si bien existe una teoría para las álgebras de von Neumann sobre los espacios de Hilbert no separables (y, de hecho, gran parte de la teoría general sigue siendo válida en este caso), la teoría es considerablemente más sencilla para las álgebras de los espacios separables y la mayoría de las aplicaciones solo en otras áreas de las matemáticas o la física. Utilice espacios de Hilbert separables. Tenga en cuenta que si los espacios de medida ( X , μ) son un espacio de medida estándar (es decir, X - N es un espacio de Borel estándar para un conjunto nulo de N y μ es una medida σ-finita), entonces L ² ( X , μ) es separable.

Clasificación [ editar ]

La relación entre conmutativos álgebra de von Neumann y espacios de medida es análoga a la existente entre conmutativos -álgebras C * y localmente compactos espacios de Hausdorff . Cada álgebra conmutativa de von Neumann en un espacio separable de Hilbert es isomorfa a L ^∞ ( X ) para algún espacio de medida estándar ( X , μ) y, a la inversa, para cada espacio de medida estándar X , L ^∞ ( X ) es un álgebra de von Neumann. Este isomorfismo como se afirma es un isomorfismo algebraico. De hecho podemos afirmar esto más precisamente de la siguiente manera:

Teorema . Cualquier álgebra abeliana de von Neumann de operadores en un espacio de Hilbert separable es * -isomórfica a exactamente uno de los siguientes

• $${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty} (\ {1,2, \ ldots, n \}), \ quad n \ geq 1}
• $${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty} (\ mathbf {N})}
• $${\ displaystyle L ^ {\ infty} ([0,1])}
• $${\ displaystyle L ^ {\ infty} ([0,1] \ cup \ {1,2, \ ldots, n \}), \ quad n \ geq 1}
• $${\ displaystyle L ^ {\ infty} ([0,1] \ cup \ mathbf {N}).}

El isomorfismo se puede elegir para preservar la topología del operador débil.

En la lista anterior, el intervalo [0,1] tiene la medida de Lebesgue y los conjuntos {1, 2, ..., n } y N tienen la medida de conteo. Los sindicatos son sindicatos disjuntos. Esta clasificación es esencialmente una variante del teorema de clasificación de Maharam para álgebras de medidas separables. La versión del teorema de clasificación de Maharam que es más útil implica una realización puntual de la equivalencia, y es algo así como un teorema popular .

Aunque cada espacio de medida estándar es isomorfo a uno de los anteriores y la lista es exhaustiva en este sentido, hay una opción más canónica para el espacio de medida en el caso de álbebras abelian von Neumann A: El conjunto de todos los proyectores es un$${\ displaystyle \ sigma}álgebra booleana completa, que es un punto libre $${\ displaystyle \ sigma}-álgebra. En el caso especial$${\ displaystyle A = L ^ {\ infty} (X, {\ mathfrak {A}}, \ mu)} se recupera lo abstracto $${\ displaystyle \ sigma}-álgebra $${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} / \ {A \ mid \ mu (A) = 0 \}}. Este enfoque libre de puntos se puede convertir en un análogo del teorema de dualidad para Gelfand-dualidad entre la categoría de álgebras abelianas de von Neumann y la categoría de resumen.$${\ displaystyle \ sigma}-algebras.

Sean μ y ν las medidas de probabilidad no atómica en los espacios estándar de Borel X e Y respectivamente. Entonces hay una μ subconjunto nulo N de X , un ν nula subconjunto M de Y y un isomorfismo Borel

$${\ displaystyle \ phi: X \ setminus N \ rightarrow Y \ setminus M, \ quad}

que lleva μ en v. ^[1]

Observe que en el resultado anterior, es necesario recortar los conjuntos de medida cero para que el resultado funcione.

En el teorema anterior, el isomorfismo es necesario para preservar la topología del operador débil. Como resulta que (y sigue fácilmente de las definiciones), para las álgebra L ^∞ ( X , μ), las siguientes topologías están de acuerdo en norma acotada conjuntos:

1. La topología del operador débil en L ^∞ ( X , μ);
2. La topología del operador ultrabeak en L ^∞ ( X , μ);
3. La topología de la convergencia débil * en L ^∞ ( X , μ) considerada como el espacio dual de L ¹ ( X , μ).

Sin embargo, para un álgebra A de von Neumann abeliano, la realización de A como un álgebra de operadores en un espacio de Hilbert separable es altamente no única. La clasificación completa de las realizaciones algebraicas del operador A viene dada por la teoría de la multiplicidad espectral y requiere el uso de integrales directas .

Isomorfismo espacial [ editar ]

Usando la teoría de la integral directa, se puede demostrar que las álgebras de von Neumann abelianas de la forma L ^∞ ( X , μ) que actúan como operadores en L ² ( X , μ) son todas abelianas máximas. Esto significa que no pueden extenderse a álgebras abelianas apropiadamente más grandes. También se les conoce como álgebras auto- adyacentes abelianas máximas (o MASA). Otra frase utilizada para describirlos es álgebras abelianas de Neumann de multiplicidad uniforme 1 ; Esta descripción tiene sentido solo en relación con la teoría de la multiplicidad que se describe a continuación.

Las álgebras A de V Neumann en H , B en K son espacialmente isomorfas (o isomorfas unitarias ) si y solo si hay un operador unitario U : H → K tal que

$${\ displaystyle UAU ^ {*} = B.}

En particular, las álgebras de von Neumann espacialmente isomorfas son algebraicamente isomorfas.

Para describir el álgebra abeliano más general von Neumann en un espacio de Hilbert separable H hasta el isomorfismo espacial, tenemos que hacer referencia la descomposición integrante directa de H . Los detalles de esta descomposición se discuten en la descomposición de las álgebras abelianas de von Neumann . En particular:

Teorema Cualquier álgebra abeliana de von Neumann en un espacio separable de Hilbert H es espacialmente isomorfa a L ^∞ ( X , μ) que actúa sobre

$${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H (x) \, d \ mu (x)}

por alguna familia medible de los espacios de Hilbert { H _x } _x ∈ X .

Tenga en cuenta que para las álgebras de von Neumann abelian que actúan en dichos espacios integrales directos, la equivalencia de la topología del operador débil, la topología ultrabeak y la topología débil * en los conjuntos con límites normativos aún se mantienen.

Realización puntual y espacial de automorfismos [ editar ]

Muchos problemas en la teoría ergódica se reducen a problemas sobre los automorfismos de álgebras abelian von Neumann. En ese sentido, los siguientes resultados son útiles:

Teorema ^[2] . Supongamos que μ, ν son medidas estándar en X , Y respectivamente. Entonces cualquier isomorfismo involutivo.

$${\ displaystyle \ Phi: L ^ {\ infty} (X, \ mu) \ rightarrow L ^ {\ infty} (Y, \ nu)}

que es débil * - bicontinuo corresponde a una transformación de punto en el siguiente sentido: Hay subconjuntos nulos de Borel M de X y N de Y y un isomorfismo de Borel

$${\ displaystyle \ eta: X \ setminus M \ rightarrow Y \ setminus N}

tal que

1. η lleva la medida μ a una medida μ 'en Y que es equivalente a ν en el sentido de que μ' y ν tienen los mismos conjuntos de medidas cero;
2. η realiza la transformación Φ, que es

$${\ displaystyle \ Phi (f) = f \ circ \ eta ^ {- 1}.}

Tenga en cuenta que en general no podemos esperar que η lleve μ en ν.

El siguiente resultado se refiere a las transformaciones unitarias que inducen un isomorfismo discontinuo débil * entre álgebras abelianas de von Neumann.

Teorema ^[3] . Supongamos que μ, ν son medidas estándar en X , Y y

$${\ displaystyle H = \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x), \ quad K = \ int _ {Y} ^ {\ oplus} K_ {y} d \ nu ( y)}

para las familias mensurables de los espacios de Hilbert { H _x } _x ∈ X , { K _y } _Y ∈ Y . Si U  : H → K es un unitario tal que

$${\ displaystyle U \, L ^ {\ infty} (X, \ mu) \, U ^ {*} = L ^ {\ infty} (Y, \ nu)}

luego hay una transformación de punto Borel definida casi en todas partes η: X → Y como en el teorema anterior y una familia medible { U _x } _x ∈ X de operadores unitarios

$${\ displaystyle U_ {x}: H_ {x} \ rightarrow K _ {\ eta (x)}}

tal que

$${\ displaystyle U {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ psi _ {x} d \ mu (x) {\ bigg)} = \ int _ {Y} ^ {\ oplus} { \ sqrt {{\ frac {d (\ mu \ circ \ eta ^ {- 1})} {d \ nu}} (y)}} \ U _ {\ eta ^ {- 1} (y)} {\ bigg (} \ psi _ {\ eta ^ {- 1} (y)} {\ bigg)} d \ nu (y),}

donde la expresión en el signo de la raíz cuadrada es el derivado Radón-Nikodym de μ η ⁻¹ con respecto a ν. La declaración sigue combinando el teorema sobre la realización puntual de los automorfismos mencionados anteriormente con el teorema que caracteriza el álgebra de operadores diagonalizables que se indica en el artículo sobre integrales directas .

El método Aberth , o método Aberth-Ehrlich , llamado así por Oliver Aberth ^[1] y Louis W. Ehrlich, ^[2] es un algoritmo de búsqueda de raíces desarrollado en 1967 para la aproximación simultánea de todas las raíces de un polinomio univariado .

Este método converge cúbicamente, una mejora sobre el método Durand-Kerner , otro algoritmo para aproximar todas las raíces a la vez, que converge de forma cuadrática. ^[1] [2] (Sin embargo, ambos algoritmos convergen linealmente en múltiples ceros . ^[3] )

Este método se utiliza en MPSolve , que es el software de referencia para aproximar todas las raíces de un polinomio a una precisión arbitraria.

Descripción [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle p (x) = p_ {n} x ^ {n} + p_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + p_ {1} x + p_ {0}}Ser un polinomio univariado de grado n con coeficientes reales o complejos. Entonces existen números complejos.$${\ displaystyle z_ {1} ^ {*}, \, z_ {2} ^ {*}, \ dots, z_ {n} ^ {*}}, las raíces de p (x) , que dan la factorización :

$${\ displaystyle p (x) = p_ {n} \ cdot (x-z_ {1} ^ {*}) \ cdot (x-z_ {2} ^ {*}) \ cdots (x-z_ {n} ^ {*}).

Aunque esos números son desconocidos, los límites superior e inferior para sus valores absolutos son computables a partir de los coeficientes del polinomio. Ahora se pueden elegir n números distintos en el plano complejo, distribuidos al azar o uniformemente, de modo que sus valores absolutos estén dentro de los mismos límites. (Además, si los ceros son simétricos, los puntos de inicio no deben ser exactamente simétricos a lo largo del mismo eje, ya que esto puede evitar la convergencia). ^[1] Un conjunto de tales números se llama una aproximación inicial del conjunto de raíces de p ( x) . Esta aproximación se puede mejorar iterativamente usando el siguiente procedimiento.

Dejar $${\ displaystyle z_ {1}, \ dots, z_ {n} \ in \ mathbb {C}}Ser las aproximaciones actuales de los ceros de p (x) . Luego números de desplazamiento$${\ displaystyle w_ {1}, \ dots, w_ {n} \ in \ mathbb {C}} se calculan como

$${\ displaystyle w_ {k} = {\ frac {\ frac {p (z_ {k})} {p '(z_ {k})}} {1 - {\ frac {p (z_ {k})} { p '(z_ {k})}} \ cdot \ sum _ {j \ neq k} {\ frac {1} {z_ {k} -z_ {j}}}}},}

donde p '(z) es la derivada polinomial de p evaluada en el punto z .

El siguiente conjunto de aproximaciones de raíces de p (x) es entonces$${\ displaystyle z_ {1} -w_ {1}, \ dots, z_ {n} -w_ {n}}. Uno puede medir la calidad de la aproximación actual por los valores del polinomio o por el tamaño de las compensaciones.

Conceptualmente, este método utiliza una analogía electrostática , que modela los ceros aproximados como cargas puntuales negativas móviles , que convergen hacia los ceros verdaderos, representados por cargas puntuales positivas fijas. ^[1] Una aplicación directa del método de Newton a cada cero aproximado a menudo causará que múltiples puntos de inicio converjan incorrectamente en la misma raíz. El método Aberth evita esto al modelar también el efecto repulsivo que las cargas móviles tienen entre sí. De esta manera, cuando una carga móvil ha convergido en un cero, sus cargas se cancelarán, de modo que otras cargas móviles ya no sean atraídas a esa ubicación, alentándolos a converger a otros ceros "desocupados". ( Stieltjes También modeló las posiciones de ceros de polinomios como soluciones a problemas electrostáticos.)

Dentro de la fórmula del método Aberth se pueden encontrar elementos del método de Newton y el método de Durand-Kerner . Detalles para una implementación eficiente, esp. En la elección de buenas aproximaciones iniciales, se puede encontrar en Bini (1996). ^[3]

Las actualizaciones de las raíces pueden ejecutarse como una iteración similar a la de Jacobi, donde primero se calculan todas las nuevas aproximaciones a partir de las antiguas aproximaciones o como una iteración secuencial de Gauss-Seidel que utiliza cada nueva aproximación desde el momento en que se calcula.

Un método muy similar es el método de Newton-Maehly. Calcula los ceros uno tras otro, pero en lugar de una deflación explícita, se divide por los factores lineales ya adquiridos sobre la marcha. El método de Aberth es como el método de Newton-Maehly para calcular la última raíz mientras finge que ya ha encontrado las otras. ^[4]

Derivación del método de Newton [ editar ]

La fórmula de iteración es la iteración de Newton univariada para la función.

$${\ displaystyle F (x) = {\ frac {p (x)} {\ prod _ {j = 0; \, j \ neq k} ^ {n} (x-z_ {j})}}}

Si los valores $${\ displaystyle z_ {1}, \ dots, z_ {n}}Ya están cerca de las raíces de p ( x ), entonces la función racional F ( x ) es casi lineal con una raíz dominante cerca de$${\ displaystyle z_ {k}} y los polos en $${\ displaystyle z_ {1}, \ dots, z_ {k-1}, z_ {k + 1}, \ dots, z_ {n}}que alejan la iteración de Newton de las raíces de p (x) que están cerca de ellas. Es decir, las correspondientes cuencas de atracción se vuelven bastante pequeñas, mientras que la raíz cercana a$${\ displaystyle z_ {k}} Cuenta con una amplia región de atracción.

El paso de Newton $${\ displaystyle {\ tfrac {F (x)} {F '(x)}}} en el caso univariado es el valor recíproco a la derivada logarítmica

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {F '(x)} {F (x)}} & = {\ frac {d} {dx}} \ ln | F (x) | \\ & = {\ frac {d} {dx}} {\ big (} \ ln | p (x) | - \ sum _ {j = 0; \, j \ neq k} ^ {n} \ ln | x-z_ { j} | {\ big)} \\ & = {\ frac {p '(x)} {p (x)}} - \ sum _ {j = 0; \, j \ neq k} ^ {n} { \ frac {1} {x-z_ {j}}} \ end {alineado}}}

Así, la nueva aproximación se calcula como

$${\ displaystyle z_ {k} '= z_ {k} - {\ frac {F (z_ {k})} {F' (z_ {k})}} = z_ {k} - {\ frac {1} { {\ frac {p '(z_ {k})} {p (z_ {k})}} - \ sum _ {j = 0; \, j \ neq k} ^ {n} {\ frac {1} { z_ {k} -z_ {j}}}}} \ ,,}

que es la fórmula de actualización del método Aberth-Ehrlich.