El modelo Abelian sandpile , también conocido como el modelo Bak-Tang-Wiesenfeld , fue el primer ejemplo descubierto de un sistema dinámico que muestra una criticidad autoorganizada . Fue presentado por Per Bak , Chao Tang y Kurt Wiesenfeld en un artículo de 1987. [1]
El modelo es un autómata celular . En su formulación original, cada sitio en una cuadrícula finita tiene un valor asociado que corresponde a la pendiente de la pila. Esta pendiente se acumula cuando los "granos de arena" (o "astillas") se colocan al azar sobre la pila, hasta que la pendiente supera un valor umbral específico en el momento en que el sitio colapsa y transfiere arena a los sitios adyacentes, lo que aumenta su pendiente. Bak, Tang y Wiesenfeld consideraron el proceso de colocación aleatoria sucesiva de granos de arena en la cuadrícula; Cada colocación de arena en un sitio en particular puede no tener ningún efecto, o puede causar una reacción en cascada que afectará a muchos sitios.
Desde entonces, el modelo se ha estudiado en el enrejado infinito, en otros enrejados (no cuadrados) y en gráficos arbitrarios (incluidos los multigrafos dirigidos).
Definición [ editar ]
Las reglas de iteración para el modelo en la red cuadrada se pueden definir de la siguiente manera:
Comenzar con alguna configuración no negativa. lo cual es finito, en el sentido de que
Cualquier sitio con
es inestable y puede caerse , enviando uno de sus chips a cada uno de sus cuatro vecinos:
Se garantiza que el proceso terminará dado que la configuración inicial fue finita. Además, aunque a menudo habrá muchas opciones posibles para el orden en el que se deben derribar los vértices, la configuración final no depende del orden elegido; este es un sentido en el que la pila de arena es abeliana . El número de veces que cada vértice se cae en este proceso también es independiente de la elección del orden de derribo.
En un gráfico arbitrario no dirigido, se especifica un vértice especial llamado sumidero que no se puede derribar. En presencia de un sumidero, el término configuración de chip se refiere a un vector de conteo de chips (no negativo e integral) indexado por los vértices no sumideros. Las reglas son que cualquier vértice no disipador.con
es inestable luego el derribo envía uno de sus chips a cada uno de sus vecinos:
y, para cada :
Múltiples operaciones de derribo pueden ser codificadas eficientemente usando la matriz laplaciana , una matriz en -espacio. Borrando la fila y columna deCorrespondiendo con el sumidero se obtiene el laplaciano reducido. . Si es un vector integral no negativo indexado por los vértices no sumideros, que comienza con una configuración y derribar cada vértice un total de los tiempos dan la configuración , dónde Es el producto de la contracción.
Este y otros modelos que implican una operación de derrumbe a veces se denominan modelos de disparo de chip o juegos de disparo de chip .
Grupo de sandpile [ editar ]
Dada una configuración , derribar vértices inestables no sumideros en un gráfico finito conectado hasta que no quede ningún vértice inestable no sumidero, lo que conduce a una configuración estable única, que se llama la estabilización de.
El conjunto de configuraciones estables forma un monoide conmutativo bajo la operación.. El idealmínimo de este monoide es un grupo de configuraciones recurrentes llamado el grupo sandpile . Una configuración estable es recurrente si se puede obtener de cualquier otra configuración mediante la adición de chips y la estabilización.
El grupo sandpile es isomorfo al grupo de clases de equivalencia de configuraciones obtenidas al reducir el módulo en la operación de volcado, que se puede escribir
dónde es el número de vértices y es el intervalo de filas entero de .
El orden del grupo sandpile es el determinante de , que según el teorema del árbol matricial es el número de árboles de expansión de la gráfica.
Auto-organizada criticidad [ editar ]
El interés original detrás del modelo se deriva del hecho de que en las simulaciones en celosías, atrae su estado crítico , momento en el que la longitud de correlación del sistema y el tiempo de correlación del sistema van hasta el infinito, sin ningún ajuste fino de un parámetro del sistema. Esto contrasta con los ejemplos anteriores de fenómenos críticos, como las transiciones de fase entre sólido y líquido, o líquido y gas, donde el punto crítico solo puede alcanzarse mediante un ajuste preciso (por ejemplo, de la temperatura). Por lo tanto, en el modelo de pila de arena podemos decir que la criticidad es auto-organizada .
Una vez que el modelo sandpile alcanza su estado crítico, no hay correlación entre la respuesta del sistema a una perturbación y los detalles de una perturbación. En general, esto significa que dejar caer otro grano de arena en la pila puede hacer que no suceda nada, o puede hacer que la pila completa se colapse en un deslizamiento masivo. El modelo también muestra 1 / ƒ ruido , una característica común a muchos sistemas complejos en la naturaleza.
Este modelo solo muestra el comportamiento crítico en dos o más dimensiones. El modelo sandpile se puede expresar en 1D; sin embargo, en lugar de evolucionar a su estado crítico, el modelo 1D Sandpile en cambio alcanza un estado mínimamente estable donde cada sitio de la red se dirige hacia la pendiente crítica.
Para dos dimensiones, se sugiere que la teoría del campo conformal asociado sea fermiones simplécticos con carga central c = −2. [3]
Generalización a grafos dirigidos [ editar ]
El modelo sandpile puede generalizarse a multígrafos dirigidos arbitrariamente. Las reglas son que cualquier vértice. con
es inestable derribar nuevamente envía fichas a cada uno de sus vecinos, uno a lo largo de cada borde saliente:
y, para cada :
dónde es el número de bordes de a .
En este caso la matriz laplaciana no es simétrica. Si especificamos un sumidero de tal manera que hay un camino desde cada otro vértice a , entonces la operación de estabilización en gráficos finitos está bien definida y el grupo sandpile se puede escribir
como antes.
El orden del grupo sandpile es nuevamente el determinante de , que según la versión general del teorema del árbol matricial es el número de árboles de expansión orientados enraizados en el sumidero.
Principio de mínima acción [ editar ]
La estabilización de las configuraciones de chip obedece a una forma de principio de acción mínima : cada vértice no se derrumba más de lo necesario en el curso de la estabilización. [4] Esto se puede formalizar de la siguiente manera. Llame a una secuencia de topples legal si solo derriba vértices inestables, y se estabiliza si resulta en una configuración estable. La forma estándar de estabilizar la pila de arena es encontrar una secuencia legal máxima; Es decir, derribando siempre que sea posible. Dicha secuencia obviamente se está estabilizando, y la propiedad abeliana de la pila de arena es que todas estas secuencias son equivalentes hasta la permutación del orden de derribo; Es decir, para cualquier vértice.el numero de veces topples es el mismo en todas las secuencias estabilizadoras legales. De acuerdo con el principio de acción mínima , una secuencia de estabilización mínima también es equivalente hasta la permutación del orden de vuelco a una secuencia legal (y aún de estabilización). En particular, la configuración resultante de una secuencia de estabilización mínima es la misma que los resultados de una secuencia legal máxima.
Más formalmente, si es un vector tal que es el número de veces que el vértice se derrumba durante la estabilización (a través de la caída de vértices inestables) de una configuración de chip y es un vector integral (no necesariamente no negativo) tal que es estable, entonces para todos los vértices .
La pila de arena divisible [ editar ]
Un modelo fuertemente relacionado es el llamado modelo divisible de pila de arena , introducido en [5] , en el que en lugar de una cantidad discreta de partículas en cada sitio, hay un numero real que representa la cantidad de masa en el sitio. En caso de que dicha masa sea negativa, se puede entender como un agujero. El derrumbe ocurre cuando un sitio tiene una masa mayor que 1, derriba el exceso uniformemente entre sus vecinos, esto significa que si un sitio está lleno en el momento, estará lleno para todos los tiempos posteriores.
Referencias culturales [ editar ]
La pila de arena de Bak-Tang-Wiesenfeld se mencionó en el episodio de Numb3rs "Rampage", mientras el matemático Charlie Eppes explica a sus colegas una solución a una investigación criminal.
El juego de computadora Hexplode se basa en el modelo Abelian sandpile en una cuadrícula hexagonal finita donde los jugadores colocan los granos en lugar de la colocación aleatoria del grano.
Los toros complejos unidimensionales son solo curvas elípticas y todos son algebraicos, pero Riemann descubrió que la mayoría de los toros complejos de dimensión 2 no son algebraicos. Las algebraicas se llaman superficies abelianas y son exactamente las variedades abelianas bidimensionales . La mayor parte de su teoría es un caso especial de la teoría de toros de alta dimensión o variedades abelianas. Encontrar criterios para que un complejo toro de dimensión 2 sea producto de dos curvas elípticas (hasta la isogenia ) fue un tema de estudio popular en el siglo XIX.
Invariantes: Las plurigeneras son todas 1. La superficie es difeomorfa a S 1 × S 1 × S 1 × S 1, por lo que el grupo fundamental es Z 4 .
| 1 | ||||
| 2 | 2 | |||
| 1 | 4 | 1 | ||
| 2 | 2 | |||
| 1 |
variedad abeliana es una variedad algebraica proyectiva que también es un grupo algebraico, es decir, tiene una ley de grupo que puede definirse por funciones regulares . Las variedades abelianas se encuentran al mismo tiempo entre los objetos más estudiados en geometría algebraica y herramientas indispensables para mucha investigación sobre otros temas en geometría algebraica y teoría de números.
Una variedad abeliana se puede definir mediante ecuaciones que tienen coeficientes en cualquier campo ; luego se dice que la variedad se define sobre ese campo. Históricamente, las primeras variedades abelianas que se estudiaron fueron aquellas definidas en el campo de los números complejos . Estas variedades abelianas resultan ser exactamente esos toros complejos que pueden integrarse en un espacio proyectivo complejo . Las variedades abelianas definidas sobre campos de números algebraicos son un caso especial, lo cual es importante también desde el punto de vista de la teoría de números. Las técnicas de localización conducen naturalmente de las variedades abelianas definidas sobre campos numéricos a unas definidas sobre campos finitos y varioscampos locales . Dado que un campo de número es el campo de fracción de un dominio de Dedekind , para cualquier primo distinto de cero de su dominio de Dedekind , hay un mapa desde el dominio de Dedekind al cociente del dominio de Dedekind por el primo, que es un campo finito para todos los primos finitos . Esto induce un mapa desde el campo de fracción a cualquier campo finito. Dada una curva con ecuación definida sobre el campo numérico, podemos aplicar este mapa a los coeficientes para obtener una curva definida sobre un campo finito, donde las elecciones de campo finito corresponden a los primos finitos del campo numérico.
Las variedades abelianas aparecen naturalmente como variedades jacobianas (los componentes conectados de cero en las variedades Picard ) y variedades albanesas de otras variedades algebraicas. La ley de grupo de una variedad abeliana es necesariamente conmutativa y la variedad no es singular . Una curva elíptica es una variedad abeliana de dimensión 1. Las variedades abelianas tienen dimensión Kodaira 0.
Historia y la motivación [ editar ]
A principios del siglo XIX, la teoría de las funciones elípticas logró dar una base para la teoría de las integrales elípticas , y esto dejó abierta una vía obvia de investigación. Las formas estándar para las integrales elípticas incluían las raíces cuadradas de polinomios cúbicos y quárticos . Cuando esos fueran reemplazados por polinomios de mayor grado, digamos quintics , ¿qué pasaría?
En el trabajo de Niels Abel y Carl Jacobi , la respuesta se formuló: esto involucraría funciones de dos variables complejas , que tienen cuatro períodos independientes (es decir, vectores de períodos). Esto permitió vislumbrar por primera vez una variedad abeliana de dimensión 2 (una superficie abeliana ): lo que ahora se llamaría el jacobiano de una curva hiperelíptica del género 2 .
Después de Abel y Jacobi, algunos de los colaboradores más importantes de la teoría de las funciones abelianas fueron Riemann , Weierstrass , Frobenius , Poincaré y Picard . El tema era muy popular en ese momento, ya que tenía una gran literatura.
A finales del siglo XIX, los matemáticos habían comenzado a utilizar métodos geométricos en el estudio de las funciones abelianas. Finalmente, en la década de 1920, Lefschetz sentó las bases para el estudio de las funciones abelianas en términos de toros complejos. También parece ser el primero en usar el nombre "variedad abeliana". Fue André Weil en la década de 1940 quien le dio al tema sus fundamentos modernos en el lenguaje de la geometría algebraica.
Hoy en día, las variedades abelianas constituyen una herramienta importante en la teoría de los números, en los sistemas dinámicos (más específicamente en el estudio de los sistemas hamiltonianos ) y en la geometría algebraica (especialmente en las variedades de Picard y en las variedades albanesas ).
Teoría analítica [ editar ]
Definición [ editar ]
Un toro complejo de dimensión g es un toro de dimensión real 2 g que porta la estructura de un colector complejo. Siempre se puede obtener como el cociente de un espacio vectorial complejo en dimensión g mediante una redde rango 2 g . Una compleja variedad abeliana de dimensión g es un toro complejo de dimensión g que también es una variedad algebraica proyectiva sobre el campo de los números complejos. Como son toros complejos, las variedades abelianas tienen la estructura de un grupo . Un morfismoDe las variedades abelianas es un morfismo de las variedades algebraicas subyacentes que preserva el elemento de identidad para la estructura del grupo. Una isogenia es un morfismo finito a uno.
Cuando un toro complejo lleva la estructura de una variedad algebraica, esta estructura es necesariamente única. En el caso g = 1, la noción de variedad abeliana es la misma que la de la curva elíptica , y cada toro complejo da lugar a tal curva; para g > 1 se sabe desde Riemann que la condición de variedad algebraica impone restricciones adicionales en un toro complejo.
Condiciones de Riemann [ editar ]
El siguiente criterio de Riemann decide si un toro complejo dado es o no una variedad abeliana, es decir, si se puede incrustar o no en un espacio proyectivo. Deje que X sea un g torus dimensionales dados como X = V / L , donde V es un espacio vectorial complejo de dimensión g y L es un enrejado en V . Entonces X es una variedad abeliana si y solo si existe una forma hermitiana definida positiva en V cuya parte imaginaria toma valores integrales en L ×L . Tal forma en X generalmente se llama una forma de Riemann (no degenerada) . Al elegir una base para V y L , se puede hacer que esta condición sea más explícita. Hay varias formulaciones equivalentes de esto; Todos ellos son conocidos como las condiciones de Riemann.
El jacobiano de una curva algebraica [ editar ]
Cada curva algebraica C de género g ≥ 1 se asocia con un variedad abelian J de dimensión g , por medio de un mapa analítica de C en J . Como un toro, J lleva una estructura de grupo conmutativa , y la imagen de C genera Jcomo un grupo. Más exactamente, J está cubierta por C : [1] cualquier punto en J proviene de un g tupla de puntos en C . El estudio de las formas diferenciales en C , que dan lugar a laintegrales abelianos con que comenzó la teoría, se pueden derivar de la teoría más sencilla, invariante por traslación de los diferenciales en J . La variedad abeliana J se llama la variedad jacobiana de C , para cualquier curva no singular C sobre los números complejos. Desde el punto de vista de la geometría biracional , su campo de función es el campo fijo delgrupo simétrico de lasletras g que actúan sobre el campo de función de C g .
Funciones abelianas [ editar ]
Una función abeliana es una función meromórfica en una variedad abeliana, que puede considerarse, por lo tanto, como una función periódica de n variables complejas, con 2 n períodos independientes; equivalentemente, es una función en el campo de función de una variedad abeliana. Por ejemplo, en el siglo XIX hubo mucho interés en las integrales hiperelípticas que pueden expresarse en términos de integrales elípticas. Esto se reduce a pedir que J sea un producto de curvas elípticas, hasta una isogenia.
Teoremas importantes [ editar ]
Un importante teorema de la estructura de las variedades abelianas es el teorema de Matsusaka . Afirma que sobre un campo algebraicamente cerrado cada variedad abelianaEs el cociente del jacobiano de alguna curva; Es decir, hay alguna supresión de variedades abelianas. dónde es un jacobiano. Este teorema permanece verdadero si el campo de tierra es infinito. [2]
Algebraica definición [ editar ]
Comúnmente se usan dos definiciones equivalentes de variedad abeliana sobre un campo general k :
- Un grupo algebraico conectado y completo sobre k
- Un grupo algebraico conectado y proyectivo sobre k .
Cuando la base es el campo de los números complejos, estas nociones coinciden con la definición anterior. Sobre todas las bases, las curvas elípticas son variedades abelianas de dimensión 1.
A principios de la década de 1940, Weil usó la primera definición (sobre un campo de base arbitrario), pero al principio no pudo probar que implicaba la segunda. Sólo en 1948 demostró que los grupos algebraicos completos pueden integrarse en el espacio proyectivo. Mientras tanto, para hacer la prueba de la hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos que había anunciado en 1940, tuvo que introducir la noción de una variedad abstracta y reescribir los fundamentos de la geometría algebraica para trabajar con variedades sin incrustaciones proyectivas. (Ver también la sección de historia en el artículo de Geometría Algebraica ).
Estructura del grupo de puntos [ editar ]
Por las definiciones, una variedad abeliana es una variedad grupal. Se puede probar que su conjunto de puntos es conmutativo .
Para C , y por lo tanto según el principio de Lefschetz para cada campo algebraicamente cerrado de característica cero, el grupo de torsión de una variedad abeliana de dimensión g es isomorfo a ( Q / Z ) 2 g . Por lo tanto, su parte de n -orsión es isomorfa a ( Z / n Z ) 2 g , es decir, el producto de 2 g de copias del grupo cíclico de orden n .
Cuando el campo de base es un cuerpo algebraicamente cerrado de característica p , el n -torsion todavía es isomorfo a ( Z / n Z ) 2 g cuando n y p son primos entre sí . Cuando n y p no son coprime, se puede recuperar el mismo resultado siempre que uno lo interprete como diciendo que la n -torsion define un esquema de grupo plano finito de rango 2g . Si en lugar de mirar la estructura del esquema completo en la n -torsion, uno considera solo los puntos geométricos, obtiene un nuevo invariante para las variedades en característicasp (el llamado p -rank cuando n = p ).
El grupo de k -puntos racionales para un campo global k es generado de manera finita por el teorema de Mordell-Weil . Por lo tanto, según el teorema de la estructura para grupos abelianos finamente generados , es isomorfo a un producto de un grupo abeliano libre Z r y un grupo conmutativo finito para algún entero no negativo llamado rel rango de la variedad abeliana. Resultados similares son válidos para algunas otras clases de campos k .
Productos [ editar ]
El producto de una variedad abeliana A de dimensión m , y una variedad abeliana B de dimensión n , sobre el mismo campo, es una variedad abeliana de dimensión m + n . Una variedad abeliana es simple si no es isógenaa un producto de variedades abelianas de dimensión inferior. Cualquier variedad abeliana es isógena a un producto de variedades abelianas simples.
La polarización y la variedad abeliana de doble [ editar ]
Variedad abeliana dual [ editar ]
A una variedad abeliana A sobre un campo k , se le asocia una variedad abeliana dual A v (sobre el mismo campo), que es la solución al siguiente problema de módulos . Una familia de paquetes de líneas de grado 0 parametrizados por una k- variedad T se define como un paquete de líneas L en A × T de tal manera que
- para todo t en T , la restricción de L a A × { t } es un grupo de líneas de grado 0,
- la restricción de L a {0} × T es un conjunto de líneas triviales (aquí 0 es la identidad de A ).
Luego hay una variedad A v y una familia de paquetes de líneas de grado 0 P , el paquete de Poincaré, parametrizado por A v, de tal manera que una familia L en T está asociada a un morfismo único f : T → A v, demodo que L es isomorfo al retroceso de P a lo largo del morfismo 1 A × f : A × T → A × A v . Aplicando esto al caso cuando T es un punto, vemos que los puntos de Av corresponden a paquetes de líneas de grado 0 en A , por lo que hay una operación de grupo natural en A v dada por el producto tensor de los paquetes de líneas, lo que la convierte en una variedad abeliana.
Esta asociación es una dualidad en el sentido de que hay un isomorfismo natural de entre la doble dual A vv y A(definido a través del haz Poincaré) y que es funtorial contravariant , es decir, se asocia a todos los morfismos f : A → B duales morfismos f v : B v → A v de una manera compatible. La n -torsion de una variedad abeliana y la n -torsion de su dual son duales entre sí cuando nEs coprime a la característica de la base. En general, para todos los n , los esquemas del grupo n -torsion de las variedades abelianas duales son duales de Cartier entre sí. Esto generaliza el emparejamiento de Weil para curvas elípticas.
Polarizaciones [ editar ]
Una polarización de una variedad abeliana es una isogenia de una variedad abeliana a su dual que es simétrica con respecto a la doble dualidad para las variedades abelianas y para la cual el retroceso del paquete de Poincaré a lo largo del morfismo de la gráfica asociada es amplio (por lo que es análogo a una forma cuadrática positiva-definida). Las variedades abelianas polarizadas tienen grupos de automorfismo finitos . Una polarizacion principalEs una polarización que es un isomorfismo. Los jacobianos de curvas están equipados naturalmente con una polarización principal tan pronto como uno elige un punto de base racional arbitrario en la curva, y la curva puede reconstruirse a partir de su jacobiano polarizado cuando el género es> 1. No todas las variedades abelianas principalmente polarizadas son jacobianas de curvas; Ver el problema de Schottky . Una polarización induce una involución de Rosati en el anillo endomorfismo de A .
Polarizaciones sobre los números complejos [ editar ]
Sobre los números complejos, una variedad abeliana polarizada también puede definirse como una variedad abeliana A junto con la elección de una forma H de Riemann . Dos formas de Riemann H 1 y H 2 se denominan equivalentes si hay enteros positivos n y m , de manera que nH 1 = mH 2 . Una elección de una clase de equivalencia de las formas de Riemann en A se denomina polarización de una . Un morfismo de variedades abelianas polarizadas es un morfismo A → Bvariedades de abelianos tal que la retirada de la forma de Riemann en B a A es equivalente a la forma dada en A .
Esquema de Abeliana [ editar ]
También se puede definir el esquema de variedades abelianas , teóricamente y en relación con una base . Esto permite un tratamiento uniforme de fenómenos como la reducción mod p de las variedades abelianas (ver Aritmética de las variedades abelianas ) y las familias de parámetros de las variedades abelianas. Un esquema abeliano sobre un esquema base S de dimensión relativa g es un esquema de grupo correcto y uniforme sobre S cuyas fibras geométricas están conectadas y de dimensión g. Las fibras de un esquema abeliano son variedades abelianas, por lo que se podría pensar en un esquema abeliano más de S como una familia de variedades abelianas parametrizado por S .
Para un esquema abeliano A / S , el grupo de n puntos de conversión forma un esquema de grupo plano finito . La unión de las p n puntos -torsion, para todos n , forma un grupo p-divisible . Las deformaciones de los esquemas conmutativos son, según el teorema de Serre-Tate , que se rige por las propiedades de deformación de los asociados p grupos -divisible.
Variedad Semiabelian [ editar ]
Una variedad semiabeliana es una variedad de grupo conmutativo que es una extensión de una variedad abeliana por un toro .
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