APUNTES DE GEODESIA

El bamboleo de Chandler o variación de latitud es una pequeña desviación en la Tierra eje del 's de rotacióncon relación a la tierra sólida, ^[1] que fue descubierto por Americana astrónomo Seth Carlo Chandler en 1891. Esto equivale a cambio de unos 9 metros (30 ft) en el punto en el que el eje cruza la superficie de la Tierra y tiene un período de 433 días. ^[2] [3] Esta oscilación, que es una nutación , se combina con otra oscilación con un período de un año, por lo que el movimiento polar total varía con un período de aproximadamente 7 años.

El bamboleo de Chandler es un ejemplo del tipo de movimiento que puede ocurrir para un objeto giratorio que no es una esfera; Esto se llama una nutación libre . Algo confuso, la dirección del eje de giro de la Tierra en relación con las estrellas también varía con diferentes períodos, y estos movimientos, causados ​​por las fuerzas de mareade la Luna y el Sol, también se llaman nutaciones, excepto las más lentas, que son las precesiones de la Luna. equinoccios .

Predicciones [ editar ]

La existencia de la nutación libre de la Tierra fue predicha por Isaac Newton en los Corolarios 20 a 22 de la Proposición 66, Libro 1 de la Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , y por Leonhard Euler en 1765 como parte de sus estudios de la dinámica de los cuerpos en rotación. Sobre la base de la elipticidad conocida de la Tierra, Euler predijo que tendría un período de 305 días. Varios astrónomos buscaron movimientos en este período, pero no se encontró ninguno. La contribución de Chandler fue buscar mociones en cualquier período posible; Una vez que se observó el bamboleo de Chandler, Simon Newcomb explicó la diferencia entre su período y el predicho por Euler. como causada por la no rigidez de la tierra. La explicación completa del período también involucra la naturaleza fluida del núcleo y los océanos de la Tierra: el bamboleo, de hecho, produce una marea oceánica muy pequeña con una amplitud de aproximadamente 6 mm ( ¹ ⁄ ₄ pulgadas  ), llamada "marea polar" , que es la única marea no causada por un cuerpo extraterrestre. A pesar de la pequeña amplitud, el gravímetro superconductor detecta fácilmente el efecto gravitatorio de la marea polar . ^[4]

Intentos de medición [ editar ]

Los Observatorios Internacionales de Latitud se establecieron en 1899 para medir el bamboleo. Estos proporcionaron datos sobre el Chandler y la fluctuación anual durante la mayor parte del siglo XX, aunque eventualmente fueron reemplazados por otros métodos de medición. El monitoreo del movimiento polar ahora es realizado por el Servicio Internacional de Rotación de la Tierra .

La amplitud del bamboleo ha variado desde su descubrimiento, alcanzando su mayor tamaño en 1910 y fluctuando notablemente de una década a otra. En 2009, el análisis de Malkin & Miller del Servicio de Sistemas Internacionales de Rotación y Referencia de la Tierra (IERS, por sus siglas en inglés) coordinó los datos de las series cronológicas desde enero de 1946 hasta enero de 2009 y mostró tres inversiones de fase del bamboleo, en 1850, 1920 y 2005. ^[2]

Hipótesis [ editar ]

Si bien debe mantenerse mediante cambios en la distribución de masa o el momento angular del núcleo externode la Tierra , la atmósfera , los océanos o la corteza (de los terremotos ), durante mucho tiempo la fuente real no estuvo clara, ya que ningún movimiento disponible parecía ser coherente Con lo que conducía el bamboleo.

Una hipótesis para la fuente de la oscilación fue propuesta en 2001 por Richard Gross en el Jet Propulsion Laboratory administrado por el Instituto de Tecnología de California . Utilizó modelos de momento angular de la atmósfera y los océanos en simulaciones por computadora para mostrar que, desde 1985 a 1996, la oscilación de Chandler se estimuló mediante una combinación de procesos atmosféricos y oceánicos, con el mecanismo de excitación dominante que son las fluctuaciones de la presión del fondo del océano. Gross encontró que dos tercios del "bamboleo" fue causado por la presión fluctuante en el lecho marino , que a su vez, es causada por cambios en la circulación de los océanos causados ​​por variaciones en la temperatura , salinidad y viento.. El tercio restante se debe a las fluctuaciones atmosféricas .

Una singularidad cronométrica (también llamada singularidad temporal u horológica ) es un punto en el que el tiempo no se puede medir ni describir.

Un ejemplo involucra un tiempo en una singularidad de coordenadas , el polo geográfico ega . Dado que el tiempo en la Tierra se mide a través de longitudes, y no existe una longitud única en un polo, el tiempo no se define de forma única en este punto. Hay una conexión clara con las singularidades de coordenadas , como se puede ver en este ejemplo. En relatividad, se pueden encontrar singularidades similares en el caso de las coordenadas de Schwarzschild .

Stephen Hawking comparó una vez con la pregunta de un invitado de un programa de entrevistas sobre "antes del comienzo de los tiempos" a preguntar "qué hay al norte del polo norte".

La relación de Clairaut , llamada así por Alexis Claude de Clairaut , es una fórmula en la geometría diferencialclásica . La fórmula relaciona la distancia r ( t ) desde un punto en un gran círculo de la esfera unitaria al eje- z , y el ángulo θ ( t ) entre el vector tangente y el círculo latitudinal:

$${\ displaystyle r (t) \ cos \ theta (t) = {\ text {constant}}. \,}

La relación sigue siendo válida para una geodésica en una superficie arbitraria de revolución .

Una declaración matemática formal de la relación de Clairaut es: ^[1]

Vamos γ haber una geodésica sobre una superficie de revolución S , vamos ρ ser la distancia de un punto de S desde el eje de rotación , y sea ψ ser el ángulo entre γ y los meridianos de S . Entonces, ρ sin ψ es constante a lo largo de γ. A la inversa, si ρ sin ψ es constante a lo largo de alguna curva γ en la superficie, y si ninguna parte de γ forma parte de algún paralelo de S , entonces γ es una geodésica.

-  Andrew Pressley: Geometría diferencial elemental , pág. 183

Pressley (pág. 185) explica este teorema como una expresión de la conservación del momento angular sobre el eje de revolución cuando una partícula se desliza a lo largo de una geodésica sin otras fuerzas que no sean las que la mantienen en la superficie.

No debe confundirse con la relación de Clairaut en la geometría diferencial o el teorema de Clairaut sobre la igualdad de parciales mixtos en el cálculo.

Figura 1: Un elipsoide.

Figura 2: Representación alámbrica de un elipsoide (esferoide oblato)

El teorema de Clairaut es una ley matemática general que establece la gravedad de la superficie en un elipsoide giratorio viscoso en equilibrio bajo la acción de su campo gravitatorio y su fuerza centrífuga. Fue publicado en 1743 por Alexis Claude Clairaut en un tratado ^[1] que sintetizaba evidencia física y geodésica de que la Tierra es un elipsoide de rotación oblato . ^[2] [3]Inicialmente se usó para relacionar la gravedad en cualquier punto de la superficie de la Tierra con la posición de ese punto, lo que permite calcular la elipticidad de la Tierra a partir de mediciones de la gravedad en diferentes latitudes. Hoy ha sido ampliamente suplantado por la ecuación de Somigliana..

Historia [ editar ]

Aunque desde la antigüedad se sabía que la Tierra era esférica, en el siglo XVII se acumuló evidencia de que no era una esfera perfecta. En 1672, Jean Richer encontró la primera evidencia de que la gravedad no era constante sobre la Tierra (como lo sería si la Tierra fuera una esfera); tomó un reloj de péndulo de Cayena , Guayana francesa y se encontró que perdió 2 ¹ / ₂  minutos por día en comparación con su velocidad a París. ^[4] [5] Esto indica la aceleración de la gravedad.era menos en Cayena que en París. Los gravímetros de péndulo comenzaron a tomarse en viajes a partes remotas del mundo, y poco a poco se descubrió que la gravedad aumenta suavemente a medida que aumenta la latitud, siendo la aceleración gravitatoria un 0,5% mayor en los polos que en el ecuador.

El físico británico Isaac Newton explicó esto en su Principia Mathematica (1687) en la que describió su teoría y cálculos sobre la forma de la Tierra. Newton teorizó correctamente que la Tierra no era precisamente una esfera sino que tenía una forma elipsoidal oblata , ligeramente aplanada en los polos debido a la fuerza centrífuga de su rotación. Como la superficie de la Tierra está más cerca de su centro en los polos que en el ecuador, la gravedad es más fuerte allí. Usando cálculos geométricos, dio un argumento concreto sobre la hipotética forma elipsoidal de la Tierra. ^[6]

El objetivo de Principia no era proporcionar una respuesta exacta para los fenómenos naturales, sino teorizar soluciones potenciales para estos factores no resueltos en la ciencia. Newton presionó a los científicos para que profundicen en las variables inexplicables. Dos investigadores destacados que inspiró fueron Alexis Clairaut y Pierre Louis Maupertuis . Ambos intentaron probar la validez de la teoría de Newton sobre la forma de la Tierra. Para hacerlo, fueron en una expedición a Laponia en un intento de medir con precisión el arco del meridiano . A partir de tales medidas pudieron calcular la excentricidad.De la tierra, su grado de desviación de una esfera perfecta. Clairaut confirmó que la teoría de Newton de que la Tierra era elipsoidal era correcta, pero sus cálculos eran erróneos, y escribió una carta a la Royal Society de Londres con sus hallazgos. ^[7] La sociedad publicó un artículo en Transacciones filosóficas al año siguiente en 1737 que reveló su descubrimiento. Clairaut mostró que las ecuaciones de Newton eran incorrectas y no probaron una forma elipsoidal en la Tierra. ^[8] Sin embargo, corrigió problemas con la teoría, que en efecto demostraría que la teoría de Newton era correcta. Clairaut creía que Newton tenía razones para elegir la forma que él tenía, pero no lo apoyó en Principia .El artículo de Clairaut no proporcionó una ecuación válida para respaldar su argumento también. Esto creó mucha controversia en la comunidad científica.

No fue hasta que Clairaut escribió Théorie de la figure de la terre en 1743 que no se proporcionó una respuesta adecuada. En él, promulgó lo que hoy se conoce más formalmente como el teorema de Clairaut.

Fórmula [ editar ]

La fórmula de Clairaut para la aceleración debida a la gravedad g en la superficie de un esferoide en la latitud was fue: ^[9] [10]

$${\ displaystyle g (\ varphi) = G_ {e} \ left [1+ \ left ({\ frac {5} {2}} mf \ right) \ sin ^ {2} \ varphi \ right] \,}

dónde $${\ displaystyle G_ {e}}es el valor de la aceleración de la gravedad en el ecuador, m la relación entre la fuerza centrífuga y la gravedad en el ecuador, y f el aplanamiento de una sección meridiana de la tierra, definida como:

$${\ displaystyle f = {\ frac {ab} {a}} \,}

(donde a = eje semimayor, b = eje semiminor).

Clairaut derivó la fórmula bajo el supuesto de que el cuerpo estaba compuesto por capas esferoidales coaxiales concéntricas de densidad constante. ^[11] Este trabajo fue posteriormente perseguido por Laplace , quien relajó el supuesto inicial de que las superficies de igual densidad eran esferoides. ^[12] Stokes mostró en 1849 que el teorema se aplicaba a cualquier ley de densidad siempre que la superficie externa fuera un esferoide de equilibrio. ^[13] [14] En Khan se puede encontrar una historia del tema y ecuaciones más detalladas para g . ^[15]

Somigliana ecuación [ editar ]

La expresión anterior para g ha sido suplantada por la ecuación de Somigliana (después de Carlo Somigliana ):

$${\ displaystyle g (\ varphi) = G_ {e} \ left [{\ frac {1 + k \ sin ^ {2} \ varphi} {\ sqrt {1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi}}} \ right], \, \!}

dónde,

• $${\ displaystyle e ^ {2} = {\ frac {a ^ {2} -b ^ {2}} {a ^ {2}}}}Es la excentricidad del esferoide , al cuadrado;
• $${\ displaystyle G_ {e}, G_ {p}} es la gravedad definida en el ecuador y los polos, respectivamente;
• $${\ displaystyle k = {\ frac {bG_ {p} -aG_ {e}} {aG_ {e}}}} (fórmula constante);

Para la tierra, $${\ displaystyle G_ {e}}= 9.7803253359 ms- ² ;$${\ displaystyle G_ {p}}= 9.8321849378 ms- ² ; k = 0,00193185265241; e ² = 0.00669437999013: ^[16] [17]

$${\ displaystyle g (\ varphi) = 9.7803253359 \ left [{\ frac {1 + 0.00193185265241 \ sin ^ {2} \ varphi} {\ sqrt {1-0.00669437999013 \ sin ^ {2} \ varphi}}} \ right] \, \ mathrm {ms} ^ {- 2}.}

Geodesia [ editar ]

Ver también: gravedad teórica.

La forma esferoidal de la Tierra es el resultado de la interacción entre la gravedad y la fuerza centrífuga causada por la rotación de la Tierra alrededor de su eje. ^[18] [19] En sus Principia , Newton propuso que la forma de equilibrio de una Tierra homogénea giratoria era un elipsoide de rotación con una f aplanada dada por 1/230. ^[20] [21] Como resultado, la gravedad aumenta desde el ecuador hasta los polos. Al aplicar el teorema de Clairaut, Laplace encontró de 15 valores de gravedad que f = 1/330. Una estimación moderna es 1 / 298.25642. ^[22] Ver Figura de la Tierra. para más detalles.

Para una descripción detallada de la construcción del modelo de referencia geodésico de la Tierra , consulte Chatfield.