APUNTES DE GEODESIA

La altura dinámica es una forma de especificar la altura de un punto por encima de una referencia, a diferencia de la altura ortométrica o la altura normal .

La altura dinámica es la medida de altura más adecuada cuando se trabaja con el nivel de agua en una gran área geográfica, y es utilizada por el Datum de Great Lakes en los Estados Unidos y Canadá. ^[1]

La altura dinámica es constante si uno sigue el mismo potencial de gravedad a medida que se mueven de un lugar a otro. Debido a las variaciones en la gravedad, las superficies que tienen una diferencia constante en la altura dinámica pueden estar más cerca o más separadas en varios lugares. Las alturas dinámicas generalmente se eligen de modo que el cero corresponda al geoide.

Cuando se realiza la nivelación óptica, la trayectoria corresponde estrechamente a seguir un valor de altura dinámica horizontalmente, pero no a la altura ortométrica para los cambios verticales medidos en la barra de nivelación. Por lo tanto, se deben aplicar pequeñas correcciones a las mediciones de campo para obtener la altura dinámica o la altura ortométrica que se usa generalmente en ingeniería. Las hojas de datos de US National Geodetic Survey ^[2] proporcionan valores tanto dinámicos como ortométricos.

La altura dinámica se puede calcular utilizando la gravedad normal a una latitud de 45 grados y el número geopotencial de las ubicaciones.

Un elipsoide de la Tierra es una figura matemática que se aproxima a la forma de la Tierra , utilizada como marco de referencia para los cálculos en geodesia , astronomía y geociencias. Varios elipsoides diferentes se han utilizado como aproximaciones.

Es un elipsoide de revolución cuyo eje menor (diámetro más corto), que conecta el Polo Norte geográfico y el Polo Sur , está aproximadamente alineado con el eje de rotación de la Tierra. El elipsoide está definido por el eje ecuatorial a y el eje polar b ; Su diferencia es de unos 21 km, o 0.335%. Los parámetros adicionales son la función de masa J2 , la fórmula de gravedad correspondiente y el período de rotación (generalmente 86164 segundos).

Existen muchos métodos para determinar los ejes de un elipsoide de la Tierra, desde arcos de meridianos hasta la geodesia satelitalmoderna o el análisis e interconexión de redes geodésicascontinentales . Entre los diferentes conjuntos de datos utilizados en las encuestas nacionales se encuentran algunos de especial importancia: el elipsoide Bessel de 1841, el elipsoide internacional de Hayford de 1924 y (para posicionamiento por GPS ) el elipsoide WGS84 .

Un diagrama a escala de la oblatenidad del elipsoide de referencia IERS 2003 . El borde exterior de la línea azul oscuro es una elipse con la misma excentricidad que la de la Tierra, con el norte en la parte superior. Para comparación, el círculo azul claro dentro tiene un diámetro igual al eje menor de la elipse . La línea roja representa la línea de Karman a100 km (62 mi) sobre el nivel del mar , mientras que el área amarilla denota el rango de altitud de la EEIen órbita terrestre baja .

Tipos [ editar ]

Más información: Referencia elipsoide.

Uno debe distinguir entre dos tipos de elipsoide: media y referencia.

Un conjunto de datos que describe el promedio global de la curvatura de la superficie de la Tierra se denomina elipsoide medio de la Tierra . Se refiere a una coherencia teórica entre la latitud geográfica y la curvatura meridional del geoide . Este último está cerca del nivel medio del mar y, por lo tanto, un elipsoide ideal de la Tierra tiene el mismo volumen que el geoide.

Mientras que el elipsoide medio de la Tierra es la base ideal de la geodesia global, para las redes regionales un llamado elipsoide de referencia puede ser la mejor opción. ^[1] Cuando las mediciones geodésicas deben calcularse en una superficie de referencia matemática, esta superficie debe tener una curvatura similar a la del geoide regional; de lo contrario, la reducción de las mediciones obtendrá pequeñas distorsiones.

Esta es la razón de la "larga vida" de los elipsoides de referencia anteriores, como el elipsoide de Hayford o Bessel , a pesar de que sus ejes principales se desvían varios cientos de metros de los valores modernos. Otra razón es judicial: las coordenadas de millones de piedras de borde deben permanecer fijas durante un largo período. Si su superficie de referencia cambia, las coordenadas también cambian.

Sin embargo, para las redes internacionales, el posicionamiento por GPS o la astronáutica , estas razones regionales son menos relevantes. Como el conocimiento de la figura de la Tierra es cada vez más preciso, la Unión Geocientífica Internacional IUGG generalmente adapta los ejes del elipsoide de la Tierra a los mejores datos disponibles.

Método histórico para determinar el elipsoide [ editar ]

Los levantamientos terrestres de alta precisión se pueden usar para determinar la distancia entre dos lugares en casi la misma longitud al medir una línea de base y una cadena de triángulos. (Las estaciones adecuadas para los puntos finales rara vez tienen la misma longitud). La distancia Δ a lo largo del meridiano desde un punto final a un punto en la misma latitud que el segundo punto final se calcula mediante trigonometría. La distancia de la superficie Δ se reduce a, ', la distancia correspondiente al nivel medio del mar . También se pueden calcular las distancias intermedias a los puntos en el meridiano en las mismas latitudes que otras estaciones de la encuesta.

Las latitudes geográficas de ambos puntos finales, φ _s (punto de vista) y φ _f (forepoint) y posiblemente en otros puntos están determinadas por la astrogeodesia , observando las distancias cenit de un número suficiente de estrellas . Si las latitudes se miden solo en los puntos finales, el radio de curvatura en el punto medio del arco del meridiano se puede calcular a partir de R = Δ '/ (| φ _s -φ _f | |). Un segundo arco meridiano permitirá la derivación de dos parámetros necesarios para especificar un elipsoide de referencia. Arcos más largos con determinaciones de latitud intermedia pueden determinar completamente el elipsoide. En la práctica, se utilizan múltiples medidas de arco para determinar los parámetros del elipsoide mediante el método de mínimos cuadrados. Los parámetros determinados son usualmente el eje semi-mayor,$${\ displaystyle a}, y ya sea el eje semi-menor, $${\ displaystyle b}, o el aplanamiento inverso $${\ displaystyle 1 / f}, (donde el aplanamiento es  $${\ displaystyle f = (ab) / a}).

La geodesia ya no utiliza arcos de meridianos simples, sino redes complejas con cientos de puntos fijosvinculados por los métodos de geodesia satelital .

Elipsoides Tierra históricos [ editar ]

Los modelos elipsoidales de referencia que se enumeran a continuación han tenido utilidad en el trabajo geodésico y muchos todavía están en uso. Los elipsoides más antiguos se nombran por el individuo que los derivó y se da el año de desarrollo. En 1887, el topógrafo inglés Coronel Alexander Ross Clarke CB FRS RE recibió la Medalla de Oro de la Royal Society por su trabajo para determinar la figura de la Tierra. El elipsoide internacional fue desarrollado por John Fillmore Hayford en 1910 y adoptado por la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica (IUGG) en 1924, que lo recomendó para uso internacional.

En la reunión de 1967 del IUGG celebrada en Lucerna, Suiza, se recomendó la adopción del elipsoide llamado GRS-67 ( Geodetic Reference System 1967) en la lista. No se recomendó el nuevo elipsoide para reemplazar el elipsoide internacional (1924), pero se recomendó su uso cuando se requiere un mayor grado de precisión. Se convirtió en parte del GRS-67 que fue aprobado y adoptado en la reunión de 1971 del IUGG celebrada en Moscú. Se utiliza en Australia para el Datum geodésico australiano y en Sudamérica para el Datum sudamericano 1969.

El GRS-80 (Geodetic Reference System 1980), aprobado y adoptado por IUGG en su reunión de Canberra, Australia en 1979, se basa en el radio ecuatorial (eje semi mayor del elipsoide de la Tierra) $${\ displaystyle a}, masa total $${\ displaystyle GM}factor de forma dinámica $${\ displaystyle J_ {2}} y la velocidad angular de rotación $${\ displaystyle \ omega}, haciendo el aplanamiento inverso $${\ displaystyle 1 / f}una cantidad derivada. La diferencia de minutos en$${\ displaystyle 1 / f}visto entre GRS-80 y WGS-84 resulta de un truncamiento involuntario en las constantes definitorias de esta última: mientras que el WGS-84 fue diseñado para adherirse estrechamente al GRS-80, incidentalmente, el aplanamiento derivado de WGS-84 resultó ser ligeramente diferente al el aplanamiento GRS-80 debido a que el coeficiente gravitacional armónico zonal de segundo grado normalizado, que se derivó del valor GRS-80 para J2, se truncó a 8 dígitos significativos en el proceso de normalización. ^[2]

Un modelo elipsoidal describe solo la geometría del elipsoide y una fórmula de campo de gravedad normal para acompañarlo. Comúnmente, un modelo elipsoidal es parte de un dato geodésico más amplio . Por ejemplo, el antiguo ED-50 ( European Datum 1950 ) se basa en el Hayip o el International Ellipsoid . WGS-84 es peculiar porque el mismo nombre se usa tanto para el sistema de referencia geodésico completo como para su modelo elipsoidal de componentes. Sin embargo, los dos conceptos, modelo elipsoidal y sistema de referencia geodésico, siguen siendo distintos.

Tenga en cuenta que el mismo elipsoide puede ser conocido por diferentes nombres. Es mejor mencionar las constantes definitorias para una identificación inequívoca.

Nombre elipsoide de referencia	Radio ecuatorial (m)	Radio polar (m)	Aplanamiento inverso	Donde usado
Maupertuis (1738)	6,397,300	6,363,806.283	191	Francia
Plessis (1817)	6,376,523.0	6,355,862.9333	308.64	Francia
Everest (1830)	6,377,299.365	6,356,098.359	300.80172554	India
Everest 1830 Modificado (1967)	6,377,304.063	6,356,103.0390	300.8017	Malasia occidental y Singapur
Everest 1830 (1967 definición)	6,377,298.556	6,356,097.550	300.8017	Brunéi y este de Malasia
Aireado (1830)	6,377,563.396	6,356,256.909	299.3249646	Gran Bretaña
Bessel (1841)	6,377,397.155	6,356,078.963	299.1528128	Europa japon
Clarke (1866)	6,378,206.4	6,356,583.8	294.9786982	Norteamérica
Clarke (1878)	6,378,190	6,356,456	293.4659980	Norteamérica
Clarke (1880)	6,378,249.145	6,356,514.870	293.465	Francia, africa
Helmert (1906)	6,378,200	6,356,818.17	298.3	Egipto
Hayford (1910)	6,378,388	6,356,911.946	297	Estados Unidos
Internacional (1924)	6,378,388	6,356,911.946	297	Europa
Krassovsky (1940)	6,378,245	6,356,863.019	298.3	URSS, Rusia, Rumania
WGS66 (1966)	6,378,145	6,356,759.769	298.25	USA / DoD
Nacional de Australia (1966)	6,378,160	6,356,774.719	298.25	Australia
Nueva Internacional (1967)	6,378,157.5	6,356,772.2	298.24961539
GRS-67 (1967)	6,378,160	6,356,774.516	298.247167427
Sudamericano (1969)	6,378,160	6,356,774.719	298.25	Sudamerica
WGS-72 (1972)	6,378,135	6,356,750.52	298.26	USA / DoD
GRS-80 (1979)	6,378,137	6,356,752.3141	298.257222101	ITRS global [3]
WGS-84 (1984)	6,378,137	6,356,752.3142	298.257223563	GPS global
IERS (1989)	6,378,136	6,356,751.302	298.257
IERS (2003) [4]	6,378,136.6	6,356,751.9	298.25642

Las trayectorias de la sección de la Tierra son trayectorias en la Tierra definidas por la intersección de un elipsoide de referencia y un plano. Ejemplos comunes de secciones de la tierra incluyen la gran elipse y las secciones normales. Esta página proporciona un enfoque unificador para todas las secciones de la Tierra y sus problemas geodésicos asociados .

El problema indirecto [ editar ]

El problema indirecto para las secciones de tierra es: dados dos puntos, $${\ displaystyle P_ {1}} y $${\ displaystyle P_ {2}} en la superficie del elipsoide de referencia, encuentre la longitud, $${\ displaystyle s_ {12}}, del arco corto de una sección esferoidal de $${\ displaystyle P_ {1}} a $${\ displaystyle P_ {2}}y también encontrar la salida y llegada (norte verdadero referencia) acimutes de esa curva,$${\ displaystyle \ alpha _ {1}} y $${\ displaystyle \ alpha _ {2}}. Dejar$${\ displaystyle P_ {k}} tener latitud geodésica $${\ displaystyle \ phi _ {k}}y longitud $${\ displaystyle \ lambda _ {k}}(k = 1,2). Este problema se resuelve mejor utilizando geometría analítica en coordenadas ECEF . Dejar$${\ displaystyle R_ {1} = ECEF (P_ {1})} y $${\ displaystyle R_ {2} = ECEF (P_ {2})}sean las coordenadas ECEF de los dos puntos, calculadas utilizando las transformaciones geodésicas a ECEF que se analizan aquí .

Plano de sección [ editar ]

Para definir el plano de sección seleccione cualquier tercer punto. $${\ displaystyle R_ {0}} no en la línea de $${\ displaystyle R_ {1}} a $${\ displaystyle R_ {2}}. Eligiendo$${\ displaystyle R_ {0}}estar en la superficie normal a $${\ displaystyle P_ {1}} definirá la sección normal en $${\ displaystyle P_ {1}}. Si$${\ displaystyle R_ {0}}Es el origen entonces la sección de la tierra es la gran elipse. (El origen sería colineal con 2 puntos antípodas, por lo que se debe usar un punto diferente en ese caso). Ya que hay infinitas opciones para$${\ displaystyle R_ {0}}, el problema anterior es realmente una clase de problemas (uno para cada plano). Dejar$${\ displaystyle R_ {0}}ser dado. Para poner la ecuación del plano en la forma estándar,$${\ displaystyle lx + my + nz = d}, dónde $${\ displaystyle \ l ^ {2} + m ^ {2} + n ^ {2} = 1}, requiere los componentes de un vector unitario ,$${\ displaystyle {\ hat {N}} = (l, m, n)}, normal al plano de sección. Estos componentes se pueden calcular de la siguiente manera: El vector de$${\ displaystyle R_ {0}} a $${\ displaystyle R_ {1}} tiene componentes $${\ displaystyle V_ {0} = R_ {1} -R_ {0}}, y el vector de $${\ displaystyle R_ {1}} a $${\ displaystyle R_ {2}} tiene componentes $${\ displaystyle V_ {1} = R_ {2} -R_ {1}}. Por lo tanto,$${\ displaystyle {\ hat {N}}} = $${\ unidad de estilo de visualización (V_ {0}}×$${\ displaystyle V_ {1}}), dónde $${\ unidad de estilo de visualización (V)} es el vector unitario en la dirección de $${\ displaystyle V}. La convención de orientación utilizada aquí es que$${\ displaystyle {\ hat {N}}}Apunta a la izquierda del camino. Si este no es el caso, entonces redefine$${\ displaystyle V_ {0}} = -$${\ displaystyle V_ {0}}. Finalmente, el parámetro d para el plano se puede calcular utilizando el producto de puntos de$${\ displaystyle {\ hat {N}}} con un vector desde el origen hasta cualquier punto del plano, como $${\ displaystyle R_ {1}}, es decir, d = $${\ displaystyle {\ hat {N}} \ cdot {R_ {1}}}. La ecuación del plano (en forma vectorial) es así$${\ displaystyle {\ hat {N}}} ⋅ $${\ displaystyle R} = d, donde $${\ displaystyle R}es el vector de posición de (x, y, z).

Azimut [ editar ]

Un vector unitario que apunta hacia arriba en cualquier punto del elipsoide es: $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {u}}}=$${\ displaystyle (\ cos \ phi \ cos \ lambda, \ cos \ phi \ sin \ lambda, \ sin \ phi)}, un vector unitario que apunta al norte es $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}=$${\ displaystyle (- \ sin \ phi \ cos \ lambda, - \ sin \ phi \ sin \ lambda, \ cos \ phi)}, y este es $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {e}}}=$${\ displaystyle (- \ sin \ lambda, \ cos \ lambda, 0)}. Un vector tangente al camino es: $${\ displaystyle \ mathbf {t} = {\ hat {N}} \ times \ mathbf {\ hat {u}}} por lo que el componente este de $${\ displaystyle \ mathbf {t}} es $${\ displaystyle \ mathbf {t} \ cdot \ mathbf {\ hat {e}}}, y el componente norte es $${\ displaystyle \ mathbf {t} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}}}. Por lo tanto, el acimut se puede obtener a partir de una función arcotangente de dos argumentos ,$${\ displaystyle \ alpha}=$${\ displaystyle \ operatorname {atan2} (\ mathbf {t} \ cdot \ mathbf {\ hat {e}}, \ mathbf {t} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}})}. Utilice este método en ambos$${\ displaystyle P_ {1}} y $${\ displaystyle P_ {2}} Llegar $${\ displaystyle \ alpha _ {1}} y $${\ displaystyle \ alpha _ {2}}.

Sección Elipse [ editar ]

La intersección (no trivial) de un plano y elipsoide es una elipse. Por lo tanto, la longitud del arco,$${\ displaystyle s_ {12}}, en el camino de la sección desde $${\ displaystyle P_ {1}} a $${\ displaystyle P_ {2}}es una integral elíptica que se puede calcular con cualquier precisión deseada utilizando una serie truncada. Antes de poder hacer esto, se debe definir la elipse y calcular los límites de integración. Deja el elipsoide dado por$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2} } {b ^ {2}}} = 1}, y deja $${\ displaystyle p = {\ sqrt {l ^ {2} + m ^ {2}}}}. Si p = 0 entonces la sección es un círculo horizontal de radio$${\ displaystyle a {\ sqrt {1 - {\ frac {d ^ {2}} {b ^ {2}}}}}, que no tiene solución si {\ displaystyle | d |> b}.

Si p> 0, entonces Gilbertson ^[1] mostró que las coordenadas ECEF del centro de la elipse son$${\ displaystyle {R_ {c}} = {\ frac {d} {C}} (la ^ {2}, ma ^ {2}, nb ^ {2})}, dónde $${\ displaystyle C = a ^ {2} p ^ {2} + b ^ {2} n ^ {2}},

el eje semi-mayor es $${\ displaystyle a ^ {*} = a {\ sqrt {1 - {\ frac {d ^ {2}} {C}}}}}, en la dirección $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {i ^ {*}}} = ({\ frac {m} {p}}, {\ frac {-l} {p}}, 0)}, y el eje semi-menor es $${\ displaystyle b ^ {*} = {\ frac {b} {\ sqrt {C}}} a ^ {*}}, en la dirección $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {j ^ {*}}} = ({\ frac {ln} {p}}, {\ frac {mn} {p}}, - p)}, que no tiene solución si {\ displaystyle | d |> {\ sqrt {C}}}.

Longitud del arco [ editar ]

La forma polar relativa al centro para la ecuación de una elipse es $${\ displaystyle R (\ theta) = {\ frac {b ^ {*}} {\ sqrt {1-e ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}}}}, dónde $${\ displaystyle e ^ {2} = 1 - {\ frac {(b ^ {*}) ^ {2}} {(a ^ {*}) ^ {2}}}}, se relaciona con la excentricidad de la elipse, no con la excentricidad esferoidal (ver elipse ). Sea P un punto en la elipse y$${\ displaystyle R = ECEF (P)}, entonces el vector de $${\ displaystyle {R_ {c}}} a $${\ displaystyle R} tiene componentes $${\ displaystyle R-R_ {c}}. Usando un argumento similar al del azimut anterior, vamos a$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {w}} = unidad (R-R_ {c})}, entonces $${\ displaystyle \ cos \ theta = \ mathbf {\ hat {w}} \ cdot \ mathbf {\ hat {i ^ {*}}}}y $${\ displaystyle \ sin \ theta = \ mathbf {\ hat {w}} \ cdot \ mathbf {\ hat {j ^ {*}}}}y $${\ displaystyle \ theta = \ operatorname {atan2} (\ sin \ theta, \ cos \ theta)}. De esta forma obtenemos los ángulos centrales.$${\ displaystyle \ theta _ {1}} y $${\ displaystyle \ theta _ {2}}correspondiente a $${\ displaystyle P_ {1}} y $${\ displaystyle P_ {2}}respectivamente. Se debe tener cuidado para asegurar que 0 ≤$${\ displaystyle \ theta _ {1}} ≤ $${\ displaystyle \ theta _ {2}} ≤ $${\ displaystyle \ theta _ {1} + \ pi}. Entonces la longitud del arco a lo largo de la elipse está dada por$${\ displaystyle s_ {12}} =$${\ displaystyle \ int _ {\ theta _ {1}} ^ {\ theta _ {2}} {\ sqrt {R ^ {2} + (R ^ {'}) ^ {2}}} d \ theta. } Sustituyendo $${\ displaystyle r (\ theta)} anteriormente en esta fórmula, realizar las operaciones indicadas, usar un término más que la expresión y reagrupación de Gilbertson, da como resultado $${\ displaystyle s_ {12} = ArcLength (\ theta _ {1}, \ theta _ {2}) = b ^ {*} ({c_ {0}} \ Delta \ theta + {c_ {1}} \ Delta s2 + {c_ {2}} \ Delta s4 + {c_ {3}} \ Delta s6)}, dónde

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ Delta \ theta & = \ theta _ {2} - \ theta _ {1}, \\ [6pt] \ Delta s2 & = \ sin (2 \ theta _ {2}) - \ sin (2 \ theta _ {1}), \\ [6pt] \ Delta s4 & = \ sin (4 \ theta _ {2}) - \ sin (4 \ theta _ {1}), \\ [6pt] \ Delta s6 & = \ sin (6 \ theta _ {2}) - \ sin (6 \ theta _ {1}), \\ [6pt] {c_ {0}} & = 1 + e ^ {2} (4096 + 3328e ^ {2} + 2880e ^ {4} + 2577e ^ {6} + 16860e ^ {8}) / 16384, \\ [6pt] {c_ {1}} & = e ^ {2} (512 + 384e ^ {2} + 380e ^ {4} + 385e ^ {6} + 3408e ^ {8}) / 4096, \\ [6pt] {c_ {2}} & = - e ^ {4} (64 + 80e ^ {2} + 19e ^ {4} -3516e ^ {6}) / 16384, \\ [6pt] {c_ {3}} & = - e ^ {6} (60 + 105e ^ {2} -528e ^ { 4}) / 12288. \\ [6pt] \ end {alineado}}}

Alternativamente, las expansiones para el arco Meridiano pueden usarse aquí reemplazando la excentricidad esferoidal con la excentricidad de la elipse de la sección.

El problema directo [ editar ]

Se da el problema directo. $${\ displaystyle {P_ {1}}}, la distancia, $${\ displaystyle \ delta}, y azimut de salida, $${\ displaystyle \ alpha _ {1}}, encontrar $${\ displaystyle {P_ {2}}} y el azimut de llegada, $${\ displaystyle \ alpha _ {2}}.

Plano de sección [ editar ]

Construye el vector tangente en $${\ displaystyle {P_ {1}}}, $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {t_ {1}}} = \ mathbf {\ hat {n_ {1}}} \ cos {\ alpha _ {1}} + \ mathbf {\ hat {e_ {1}} } \ sin {\ alpha _ {1}}}, dónde $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n_ {1}}}} y $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {e_ {1}}}} son vectores unitarios que apuntan al norte y al este (respectivamente) a $${\ displaystyle {P_ {1}}}. Elige un vector, $${\ displaystyle V_ {0}}, para definir el plano de sección, prestando atención a la orientación. Observa eso$${\ displaystyle V_ {0}} no debe estar en el espacio {$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n_ {1}}}, \ mathbf {\ hat {e_ {1}}}}} (de lo contrario, el plano sería tangente a la tierra en $${\ displaystyle {P_ {1}}}, por lo que ningún camino resultaría). El vector normal$${\ displaystyle {\ hat {N}}} = $${\ unidad de estilo de visualización (V_ {0}}×$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {t_ {1}}}}), Juntos con $${\ displaystyle {P_ {1}}} define el plano.

Localizar $${\ displaystyle {P_ {2}}}[ editar ]

Este es un problema 2-d en span {$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {i ^ {*}}}, \ mathbf {\ hat {j ^ {*}}}}}, que se resolverá con la ayuda de la fórmula de longitud de arco anterior. El enfoque básico es utilizar la iteración de Newton-Raphson para llegar a$${\ displaystyle {P_ {2}}}. La base de la estimación es que el vector de posición de cualquier punto en la elipse de la sección se puede expresar en términos del vector de posición del centro y el ángulo central como $${\ displaystyle V = {V_ {c}} + {r (\ theta)} (\ mathbf {\ hat {i ^ {*}}} \ cos \ theta + \ mathbf {\ hat {j ^ {*}} } \ sin \ theta)}. Para obtener una estimación inicial de$${\ displaystyle {\ theta _ {2}}}, dejar $${\ displaystyle {V_ {1}} = {R_ {1}} - R {_ {c}}}, $${\ displaystyle {\ theta _ {1}}}= Central_Angle$${\ displaystyle ({V_ {1}})} (vea la sección de longitud de arco arriba), $${\ displaystyle {r_ {1}} = r ({\ theta _ {1}})}, $${\ displaystyle \ Delta \ theta = {\ frac {\ delta} {r_ {1}}}}.

Ahora inicializa $${\ displaystyle \ theta _ {2}} = $${\ displaystyle \ theta _ {1} + \ Delta \ theta}, e iterar los siguientes pasos:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} s & = ArcLength ({\ theta _ {1}}, {\ theta _ {2}}), \\ [6pt] Err & = \ delta -s, \\ [6pt] s '({\ theta}) & = {\ frac {b ^ {*}} {(1-e ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta)}} {\ sqrt {\ frac {(1- ( 2-e ^ {2}) e ​​^ {2} \ cos ^ {2} \ theta} {1-e ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}}}, \\ [6pt] \ Delta \ theta & = {\ frac {Err} {s '({\ theta _ {2}})}}, \\ [6pt] \ theta _ {2} & = \ theta _ {2} + \ Delta \ theta, \\ [6pt] \ end {alineado}}}

salir cuando {\ displaystyle abs (\ Delta \ theta) <10 12="" font="">

Generalmente no son necesarias más de tres iteraciones, aunque los casos casi antípodas pueden ser problemáticos. Finalmente, vamos$${\ displaystyle {V_ {2}} = {V_ {c}} + {r (\ theta _ {2})} (\ mathbf {\ hat {i ^ {*}}} \ cos \ theta _ {2} + \ mathbf {\ hat {j ^ {*}}} \ sin \ theta _ {2})}y $${\ displaystyle {P_ {2}}} = ECEF_to_Geo$${\ displaystyle ({V_ {2}})}usando el algoritmo de Bowring de 1985, ^[2] o el algoritmo aquí .

Alternativamente, se puede usar la inversión de la serie de longitud de arco para evitar iteraciones.

Azimut [ editar ]

El acimut se puede obtener por el mismo método que el problema indirecto: $${\ displaystyle {\ alpha _ {2}}}=$${\ displaystyle \ operatorname {atan2} (\ mathbf {t_ {2}} \ cdot \ mathbf {\ hat {e_ {2}}}, \ mathbf {t_ {2}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n_ { 2}}})}, donde el subíndice 2 indica la evaluación de la cantidad asociada en $${\ displaystyle P_ {2}}.

Ejemplos [ editar ]

La gran elipse [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle R_ {0}} ser el origen, para que $${\ displaystyle {V_ {0}}} = el vector de posición de $${\ displaystyle R_ {1}}. El enfoque anterior proporciona una alternativa a la de otros, como Bowring. ^[3]

Secciones normales [ editar ]

La sección normal en $${\ displaystyle P_ {1}} se determina dejando $${\ displaystyle {V_ {0}}} = $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {u_ {1}}}} (la superficie normal en $${\ displaystyle P_ {1}}). El enfoque anterior proporciona una alternativa a la de otros, como Bowring. ^[4]

La sección normal media [ editar ]

La sección normal media de $${\ displaystyle P_ {1}} a $${\ displaystyle P_ {2}} se determina dejando $${\ displaystyle {V_ {0}}} = $${\ displaystyle 0.5 (\ mathbf {\ hat {u_ {1}}} + \ mathbf {\ hat {u_ {2}}})}. Esta es una buena aproximación a la geodésica desde$${\ displaystyle P_ {1}} a $${\ displaystyle P_ {2}} Para la aviación o la navegación.

Una clase de secciones [ editar ]

Una clase de secciones se puede imaginar girando $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {u_ {1}}}} sobre la conexión de acorde $${\ displaystyle P_ {1}} y $${\ displaystyle P_ {2}.} Todos estos pueden resolverse con el único enfoque anterior.

Intersecciones [ editar ]

Que se den dos planos de sección: $${\ displaystyle {\ hat {N_ {1}}}}⋅$${\ displaystyle R} = $${\ displaystyle d_ {1}}y $${\ displaystyle {\ hat {N_ {2}}}}⋅$${\ displaystyle R} = $${\ displaystyle d_ {2}}. Suponiendo que los dos planos no son paralelos, la línea de intersección está en ambos planos. Por lo tanto ortogonal a ambas normales, es decir, en la dirección de$${\ displaystyle {\ hat {N_ {3}}} = {\ hat {N_ {1}}} \ times {\ hat {N_ {2}}}}.

Ya que $${\ displaystyle {\ hat {N_ {1}}}} y $${\ displaystyle {\ hat {N_ {2}}}} no son colineales $${\ displaystyle {\ hat {N_ {1}}}}, $${\ displaystyle {\ hat {N_ {2}}}}, $${\ displaystyle {\ hat {N_ {3}}}} es una base para $${\ displaystyle R ^ {3}}. Por lo tanto, existen constantes$${\ displaystyle C_ {1}} y $${\ displaystyle C_ {2}}de modo que la línea de intersección de los 2 planos esté dada por $${\ displaystyle R} = $${\ displaystyle C_ {1} {\ hat {N_ {1}}}} + $${\ displaystyle C_ {2} {\ hat {N_ {2}}}} + t$${\ displaystyle {\ hat {N_ {3}}}}, donde t es un parámetro independiente.

Como esta línea está en los dos planos de sección, satisface ambos: $${\ displaystyle C_ {1}} + $${\ displaystyle C_ {2}}($${\ displaystyle {\ hat {N_ {1}}}}·$${\ displaystyle {\ hat {N_ {2}}}}) = $${\ displaystyle d_ {1}}y $${\ displaystyle C_ {1}}($${\ displaystyle {\ hat {N_ {1}}}}·$${\ displaystyle {\ hat {N_ {2}}}}) + $${\ displaystyle C_ {2}}= $${\ displaystyle d_ {2}}.

Resolviendo estas ecuaciones para $${\ displaystyle {C_ {1}}} y $${\ displaystyle {C_ {2}}} da $${\ displaystyle C_ {1}} [1 - ($${\ displaystyle {\ hat {N_ {1}}} {\ hat {N_ {2}}}) ^ {2}} ] = $${\ displaystyle d_ {1}} - $${\ displaystyle d_ {2}}($${\ displaystyle {\ hat {N_ {1}}}}·$${\ displaystyle {\ hat {N_ {2}}}}), y $${\ displaystyle C_ {2}} [1 - ($${\ displaystyle {\ hat {N_ {1}}} {\ hat {N_ {2}}}) ^ {2}} ] = $${\ displaystyle d_ {2}}- $${\ displaystyle d_ {1}}($${\ displaystyle {\ hat {N_ {1}}}}·$${\ displaystyle {\ hat {N_ {2}}}}).

Definir el “ángulo diedro”, $${\ displaystyle \ alpha}por $${\ displaystyle \ cos \ alpha} = $${\ displaystyle {\ hat {N_ {1}}}}·$${\ displaystyle {\ hat {N_ {2}}}}. Entonces$${\ displaystyle C_ {1}} = $${\ displaystyle {\ frac {(d_ {1} -d_ {2} \ cos \ alpha)} {\ sin ^ {2} \ alpha}}} y $${\ displaystyle C_ {2}} = $${\ displaystyle {\ frac {(d_ {2} -d_ {1} \ cos \ alpha)} {\ sin ^ {2} \ alpha}}}.

En la línea de intersección tenemos $${\ displaystyle R} = $${\ displaystyle R_ {0}} + t$${\ displaystyle {\ hat {N_ {3}}}}, dónde $${\ displaystyle R_ {0}} = $${\ displaystyle C_ {1} {\ hat {N_ {1}}}} + $${\ displaystyle C_ {2} {\ hat {N_ {2}}}}. Por lo tanto:$${\ displaystyle x} = $${\ displaystyle x_ {0}} + t$${\ displaystyle l_ {3}}, $${\ displaystyle y} = $${\ displaystyle y_ {0}} + t$${\ displaystyle m_ {3}}y $${\ displaystyle z} = $${\ displaystyle z_ {0}} + t$${\ displaystyle n_ {3}}, dónde $${\ displaystyle x_ {0}}= $${\ displaystyle C_ {1} l_ {1}} + $${\ displaystyle C_ {2} l_ {2}}, $${\ displaystyle y_ {0}} = $${\ displaystyle C_ {1} m_ {1}} + $${\ displaystyle C_ {2} m_ {2}}y $${\ displaystyle z_ {0}} = $${\ displaystyle C_ {1} n_ {1}} +$${\ displaystyle C_ {2} n_ {2}}. y$${\ displaystyle {\ hat {N_ {i}}}}= ($${\ displaystyle l_ {i}},$${\ displaystyle m_ {i}},$${\ displaystyle n_ {i}}), para i = 1,2,3.

Para encontrar la intersección de esta línea con la tierra, conecta las ecuaciones de línea en $${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2} } {b ^ {2}}} = 1}, Llegar $${\ displaystyle en ^ {2} + 2Bt + C = 0}, dónde $${\ displaystyle A} = $${\ displaystyle l_ {3} ^ {2} + m_ {3} ^ {2} + {\ frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}} n_ {3} ^ {2}}, $${\ displaystyle B} = $${\ displaystyle x_ {0} l_ {3} + y_ {0} m_ {3} + {\ frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}} z_ {0} n_ {3}}, $${\ displaystyle C} = $${\ displaystyle x_ {0} ^ {2} + y_ {0} ^ {2} + {\ frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}} z_ {0} ^ {2} -a ^ {2}}.

Por lo tanto, la línea cruza la tierra en $${\ displaystyle t = {\ frac {-B \ pm {\ sqrt {{B} ^ {2} -AC}}} {A}}}. Si{\ displaystyle B ^ {2} , entonces no hay intersección. Si$${\ displaystyle B ^ {2} = AC}, entonces la línea es tangente a la tierra en $${\ displaystyle t = -B / A} (Es decir, las secciones se intersecan en ese único punto).

Observa eso $${\ displaystyle A \ neq 0} ya que $${\ displaystyle {\ hat {N_ {1}}}} y $${\ displaystyle {\ hat {N_ {2}}}}no son colineales Enchufando t en $${\ displaystyle R} = $${\ displaystyle R_ {0}} + t$${\ displaystyle {\ hat {N_ {3}}}}, da los puntos de intersección de las secciones de la tierra.

Ejemplos [ editar ]

Latitud máxima o mínima [ editar ]

en una sección de la Tierra se puede encontrar al colocar los subíndices en la sección dada; $${\ displaystyle {\ hat {N_ {1}}} = (l, m, n)}, $${\ displaystyle d_ {1} = d}, y configuración $${\ displaystyle {\ hat {N_ {2}}} = (0,0,1)}, así que eso $${\ displaystyle {\ hat {N_ {3}}} = (m, -l, 0)}. Entonces resuelva para$${\ displaystyle d_ {2} = z_ {2}} tal que $${\ displaystyle B ^ {2} = AC}.

Ya que $${\ displaystyle B = 0}y $${\ displaystyle A \ neq 0}, Debemos tener $${\ displaystyle C = 0}. Enchufando t en$${\ displaystyle R} = $${\ displaystyle R_ {0} + t {\ hat {N_ {3}}}}, da los puntos de intersección de las secciones de la tierra. Alternativamente, simplemente establece$${\ displaystyle R = {R_ {c}} \ pm b ^ {*} \ mathbf {\ hat {j ^ {*}}}}.

Longitud máxima o mínima [ editar ]

en una sección de la Tierra se puede encontrar al colocar los subíndices en la sección dada; $${\ displaystyle {\ hat {N_ {1}}} = (l, m, n)}, $${\ displaystyle d_ {1} = d}, y configuración $${\ displaystyle {\ hat {N_ {2}}} = (- \ sin \ theta, \ cos \ theta, 0)}, dónde $${\ displaystyle \ theta} es la longitud que hay que resolver para que $${\ displaystyle B ^ {2} = AC}.

Alternativamente, simplemente establece $${\ displaystyle R = {R_ {c}} \ pm a ^ {*} \ mathbf {\ hat {i ^ {*}}}}.