ARTÍCULOS DE ESTADÍSTICA

 modelo acelerado de tiempo de falla ( modelo AFT ) es un modelo paramétrico que proporciona una alternativa a los modelos de riesgos proporcionales comúnmente utilizados . Mientras que un modelo de riesgos proporcionales supone que el efecto de una covariable es multiplicar el peligro por alguna constante, un modelo de AFT supone que el efecto de una covariable es acelerar o desacelerar el curso de la vida de una enfermedad por alguna constante. Esto es especialmente atractivo en un contexto técnico donde la "enfermedad" es el resultado de algún proceso mecánico con una secuencia conocida de etapas intermedias.

Especificación del modelo [ editar ]

En general, el modelo de tiempo de falla acelerado se puede especificar como ^[1]

$${\ displaystyle \ lambda (t | \ theta) = \ theta \ lambda _ {0} (\ theta t)}

dónde $${\ displaystyle \ theta} Denota el efecto conjunto de covariables, típicamente $${\ displaystyle \ theta = \ exp (- [\ beta _ {1} X_ {1} + \ cdots + \ beta _ {p} X_ {p}])}. (Especificar los coeficientes de regresión con un signo negativo implica que los valores altos de las covariables aumentan el tiempo de supervivencia, pero esto es simplemente una convención de signos; sin un signo negativo, aumentan el riesgo).

Esto se satisface si se considera que la función de densidad de probabilidad del evento es$${\ displaystyle f (t | \ theta) = \ theta f_ {0} (\ theta t)}; luego sigue para la función de supervivencia que$${\ displaystyle S (t | \ theta) = S_ {0} (\ theta t)}. De esto es fácil ^{[ cita requerida ]} ver que el tiempo de vida moderado$${\ displaystyle T} se distribuye de tal manera que $${\ displaystyle T \ theta} y el tiempo de vida no moderado $${\ displaystyle T_ {0}}Tienen la misma distribución. Por consiguiente,$${\ displaystyle \ log (T)} Se puede escribir como

$${\ displaystyle \ log (T) = - \ log (\ theta) + \ log (T \ theta): = - \ log (\ theta) + \ epsilon}

donde el último término se distribuye como $${\ displaystyle \ log (T_ {0})}, es decir, independientemente de $${\ displaystyle \ theta}. Esto reduce el modelo de tiempo de falla acelerado al análisis de regresión (generalmente un modelo lineal ) donde$${\ displaystyle - \ log (\ theta)} representa los efectos fijos, y $${\ displaystyle \ epsilon}representa el ruido. Diferentes distribuciones de$${\ displaystyle \ epsilon} implican diferentes distribuciones de $${\ displaystyle T_ {0}}, es decir, diferentes distribuciones basales del tiempo de supervivencia. Típicamente, en contextos analíticos de supervivencia, muchas de las observaciones están censuradas: solo sabemos que{\ displaystyle T_ {i}> t_ {i}}no $${\ displaystyle T_ {i} = t_ {i}}. De hecho, el primer caso representa la supervivencia, mientras que el último caso representa un evento / muerte / censura durante el seguimiento. Estas observaciones censuradas a la derecha pueden plantear desafíos técnicos para estimar el modelo, si la distribución de$${\ displaystyle T_ {0}} es inusual

La interpretación de $${\ displaystyle \ theta} en los modelos de tiempo de fallo acelerado es sencillo: $${\ displaystyle \ theta = 2}significa que todo en la historia de vida relevante de un individuo sucede dos veces más rápido. Por ejemplo, si el modelo se refiere al desarrollo de un tumor, significa que todas las etapas previas progresan dos veces más rápido que para el individuo no expuesto, lo que implica que el tiempo esperado hasta que una enfermedad clínica sea 0.5 del tiempo de referencia. Sin embargo, esto no significa que la función de peligro$${\ displaystyle \ lambda (t | \ theta)}Siempre es el doble de alto: ese sería el modelo de riesgos proporcionales .

Cuestiones estadísticas [ editar ]

A diferencia de los modelos de riesgos proporcionales, en los cuales el modelo de riesgos proporcionales semiparamétricos de Cox se usa más ampliamente que los modelos paramétricos, los modelos de AFT son predominantemente totalmente paramétricos, es decir, se especifica una distribución de probabilidad.$${\ displaystyle \ log (T_ {0})}. (Buckley y James ^[2] propusieron un AFT semiparamétrico, pero su uso es relativamente poco común en la investigación aplicada; en un artículo de 1992, Wei ^[3] señaló que el modelo de Buckley-James no tiene justificación teórica y carece de solidez, y se revisó alternativas.) Esto puede ser un problema, si se requiere un grado de detalle realista para modelar la distribución de una vida útil de referencia. Por lo tanto, los avances técnicos en esta dirección serían altamente deseables.

A diferencia de los modelos de riesgos proporcionales, las estimaciones de los parámetros de regresión de los modelos de AFT son robustas a las covariables omitidas . También se ven menos afectados por la elección de la distribución de probabilidad. ^[4] [5]

Los resultados de los modelos AFT son fácilmente interpretados. ^[6] Por ejemplo, los resultados de un ensayo clínico con mortalidad como criterio de valoración podrían interpretarse como un cierto porcentaje de aumento en la esperanza de vida futura en el nuevo tratamiento en comparación con el control. Entonces, un paciente podría ser informado de que se esperaría que viviera (digamos) un 15% más si tomara el nuevo tratamiento. Los índices de riesgo pueden resultar más difíciles de explicar en términos sencillos.

Distribuciones utilizadas en modelos AFT [ editar ]

La distribución log-logística proporciona el modelo AFT más utilizado. A diferencia de la distribución de Weibull , puede exhibir una función de riesgo no monotónico que aumenta en los primeros tiempos y disminuye en los últimos. Es algo similar en forma a la distribución log-normal pero tiene colas más pesadas. La función de distribución acumulativa log-logística tiene una forma cerrada simple , que se vuelve importante computacionalmente cuando se ajustan los datos con censura . Para las observaciones censuradas se necesita la función de supervivencia, que es el complemento de la función de distribución acumulativa, es decir, se necesita poder evaluar$${\ displaystyle S (t | \ theta) = 1-F (t | \ theta)}.

La distribución de Weibull (incluida la distribución exponencial como un caso especial) se puede parametrizar como un modelo de riesgos proporcionales o un modelo de AFT, y es la única familia de distribuciones que posee esta propiedad. Por lo tanto, los resultados de ajustar un modelo de Weibull se pueden interpretar en cualquier marco. Sin embargo, la aplicabilidad biológica de este modelo puede estar limitada por el hecho de que la función de riesgo es monotónica, es decir, que disminuye o aumenta.

Otras distribuciones adecuadas para los modelos de AFT incluyen las distribuciones log-normal , gamma e gaussiana inversa , aunque son menos populares que las log-logísticas, en parte porque sus funciones de distribución acumulativa no tienen una forma cerrada. Finalmente, la distribución gamma generalizada es una distribución de tres parámetros que incluye las distribuciones Weibull , log-normal y gamma como casos especiales.

Especificación del modelo [ editar ]

En general, el modelo de tiempo de falla acelerado se puede especificar como ^[1]

$${\ displaystyle \ lambda (t | \ theta) = \ theta \ lambda _ {0} (\ theta t)}

dónde $${\ displaystyle \ theta} Denota el efecto conjunto de covariables, típicamente $${\ displaystyle \ theta = \ exp (- [\ beta _ {1} X_ {1} + \ cdots + \ beta _ {p} X_ {p}])}. (Especificar los coeficientes de regresión con un signo negativo implica que los valores altos de las covariables aumentan el tiempo de supervivencia, pero esto es simplemente una convención de signos; sin un signo negativo, aumentan el riesgo).

Esto se satisface si se considera que la función de densidad de probabilidad del evento es$${\ displaystyle f (t | \ theta) = \ theta f_ {0} (\ theta t)}; luego sigue para la función de supervivencia que$${\ displaystyle S (t | \ theta) = S_ {0} (\ theta t)}. De esto es fácil ^{[ cita requerida ]} ver que el tiempo de vida moderado$${\ displaystyle T} se distribuye de tal manera que $${\ displaystyle T \ theta} y el tiempo de vida no moderado $${\ displaystyle T_ {0}}Tienen la misma distribución. Por consiguiente,$${\ displaystyle \ log (T)} Se puede escribir como

$${\ displaystyle \ log (T) = - \ log (\ theta) + \ log (T \ theta): = - \ log (\ theta) + \ epsilon}

donde el último término se distribuye como $${\ displaystyle \ log (T_ {0})}, es decir, independientemente de $${\ displaystyle \ theta}. Esto reduce el modelo de tiempo de falla acelerado al análisis de regresión (generalmente un modelo lineal ) donde$${\ displaystyle - \ log (\ theta)} representa los efectos fijos, y $${\ displaystyle \ epsilon}representa el ruido. Diferentes distribuciones de$${\ displaystyle \ epsilon} implican diferentes distribuciones de $${\ displaystyle T_ {0}}, es decir, diferentes distribuciones basales del tiempo de supervivencia. Típicamente, en contextos analíticos de supervivencia, muchas de las observaciones están censuradas: solo sabemos que{\ displaystyle T_ {i}> t_ {i}}no $${\ displaystyle T_ {i} = t_ {i}}. De hecho, el primer caso representa la supervivencia, mientras que el último caso representa un evento / muerte / censura durante el seguimiento. Estas observaciones censuradas a la derecha pueden plantear desafíos técnicos para estimar el modelo, si la distribución de$${\ displaystyle T_ {0}} es inusual

La interpretación de $${\ displaystyle \ theta} en los modelos de tiempo de fallo acelerado es sencillo: $${\ displaystyle \ theta = 2}significa que todo en la historia de vida relevante de un individuo sucede dos veces más rápido. Por ejemplo, si el modelo se refiere al desarrollo de un tumor, significa que todas las etapas previas progresan dos veces más rápido que para el individuo no expuesto, lo que implica que el tiempo esperado hasta que una enfermedad clínica sea 0.5 del tiempo de referencia. Sin embargo, esto no significa que la función de peligro$${\ displaystyle \ lambda (t | \ theta)}Siempre es el doble de alto: ese sería el modelo de riesgos proporcionales .

Cuestiones estadísticas [ editar ]

A diferencia de los modelos de riesgos proporcionales, en los cuales el modelo de riesgos proporcionales semiparamétricos de Cox se usa más ampliamente que los modelos paramétricos, los modelos de AFT son predominantemente totalmente paramétricos, es decir, se especifica una distribución de probabilidad.$${\ displaystyle \ log (T_ {0})}. (Buckley y James ^[2] propusieron un AFT semiparamétrico, pero su uso es relativamente poco común en la investigación aplicada; en un artículo de 1992, Wei ^[3] señaló que el modelo de Buckley-James no tiene justificación teórica y carece de solidez, y se revisó alternativas.) Esto puede ser un problema, si se requiere un grado de detalle realista para modelar la distribución de una vida útil de referencia. Por lo tanto, los avances técnicos en esta dirección serían altamente deseables.

A diferencia de los modelos de riesgos proporcionales, las estimaciones de los parámetros de regresión de los modelos de AFT son robustas a las covariables omitidas . También se ven menos afectados por la elección de la distribución de probabilidad. ^[4] [5]

Los resultados de los modelos AFT son fácilmente interpretados. ^[6] Por ejemplo, los resultados de un ensayo clínico con mortalidad como criterio de valoración podrían interpretarse como un cierto porcentaje de aumento en la esperanza de vida futura en el nuevo tratamiento en comparación con el control. Entonces, un paciente podría ser informado de que se esperaría que viviera (digamos) un 15% más si tomara el nuevo tratamiento. Los índices de riesgo pueden resultar más difíciles de explicar en términos sencillos.

Distribuciones utilizadas en modelos AFT [ editar ]

La distribución log-logística proporciona el modelo AFT más utilizado. A diferencia de la distribución de Weibull , puede exhibir una función de riesgo no monotónico que aumenta en los primeros tiempos y disminuye en los últimos. Es algo similar en forma a la distribución log-normal pero tiene colas más pesadas. La función de distribución acumulativa log-logística tiene una forma cerrada simple , que se vuelve importante computacionalmente cuando se ajustan los datos con censura . Para las observaciones censuradas se necesita la función de supervivencia, que es el complemento de la función de distribución acumulativa, es decir, se necesita poder evaluar$${\ displaystyle S (t | \ theta) = 1-F (t | \ theta)}.

La distribución de Weibull (incluida la distribución exponencial como un caso especial) se puede parametrizar como un modelo de riesgos proporcionales o un modelo de AFT, y es la única familia de distribuciones que posee esta propiedad. Por lo tanto, los resultados de ajustar un modelo de Weibull se pueden interpretar en cualquier marco. Sin embargo, la aplicabilidad biológica de este modelo puede estar limitada por el hecho de que la función de riesgo es monotónica, es decir, que disminuye o aumenta.

Otras distribuciones adecuadas para los modelos de AFT incluyen las distribuciones log-normal , gamma e gaussiana inversa , aunque son menos populares que las log-logísticas, en parte porque sus funciones de distribución acumulativa no tienen una forma cerrada. Finalmente, la distribución gamma generalizada es una distribución de tres parámetros que incluye las distribuciones Weibull , log-normal y gamma como casos especiales.

El límite de calidad aceptable ( AQL ) es el peor promedio de proceso tolerable ( media ) en porcentaje o proporción que aún se considera aceptable; Es decir, se encuentra en un nivel de calidad aceptable . ^[1]términos Estrechamente relacionados son el límite rechazable calidad y el nivel de calidad rechazable (RQL). ^[1] [2] En un procedimiento de control de calidad , se dice que un proceso se encuentra en un nivel de calidad aceptable si se utiliza la estadística apropiada para construir un gráfico de controlno cae fuera de los límites de los límites de calidad aceptables. De lo contrario, se dice que el proceso se encuentra en un nivel de control rechazable.

En 2008, el uso de la abreviatura AQL para el término "límite de calidad aceptable" se modificó en los estándares emitidos por al menos una organización nacional de estándares ( ANSI / ASQ ) para relacionarse con el término "nivel de calidad de aceptación". ^[3] [4] No está claro si esta interpretación se llevará al uso general, pero el significado subyacente sigue siendo el mismo.

Un nivel de calidad aceptable es un estándar de prueba y / o inspección que prescribe el rango del número de componentes defectuosos que se considera aceptable al muestrear aleatoriamente esos componentes durante una inspección. Los defectos encontrados durante una prueba electrónica o eléctrica, o durante una inspección física (mecánica), a veces se clasifican en tres niveles: crítico, mayor y menor. Los defectos críticos son aquellos que hacen que el producto sea inseguro o peligroso para el usuario final o que contravenga las regulaciones obligatorias. Los defectos importantes pueden ocasionar la falla del producto, reduciendo su comerciabilidad, facilidad de uso o saleabilidad . Por último, los defectos menores no afectan la comercialización ni la facilidad de uso del producto, pero representan mano de obradefectos que hacen que el producto no cumpla con los estándares de calidad definidos. Diferentes empresas mantienen diferentes interpretaciones de cada tipo de defecto. Para evitar discusiones, los compradores y vendedores acuerdan un estándar de AQL, elegido de acuerdo con el nivel de riesgo que asume cada parte, que utilizan como referencia durante la inspección previa al envío.

El muestreo de aceptación utiliza un muestreo estadístico para determinar si se debe aceptar o rechazar un lote de producción de material. Ha sido una técnica de control de calidad común utilizada en la industria. Generalmente se realiza cuando los productos salen de fábrica, o en algunos casos incluso dentro de la fábrica. La mayoría de las veces, un productor suministra a un consumidor una cantidad de artículos y la decisión de aceptar o rechazar los artículos se toma al determinar la cantidad de artículos defectuosos en una muestra del lote. Se acepta el lote si el número de defectos cae debajo de donde se rechazó el número de aceptación o, de lo contrario, se rechazó el lote. ^[1]

En general, el muestreo de aceptación se emplea cuando se cumple uno o varios de los siguientes: ^[2]

• la prueba es destructiva;
• el costo de la inspección al 100% es muy alto; y
• 100% de inspección lleva demasiado tiempo.

Una amplia variedad de planes de muestreo de aceptación están disponibles. Por ejemplo, los planes de muestreo múltiple utilizan más de dos muestras para llegar a una conclusión. Un período de examen más corto y tamaños de muestra más pequeños son características de este tipo de plan. Aunque las muestras se toman al azar, el procedimiento de muestreo sigue siendo confiable.

Historia [ editar ]

Los procedimientos de muestreo de aceptación se hicieron comunes durante la Segunda Guerra Mundial. Los planes de muestreo, como MIL-STD-105 , fueron desarrollados por Harold F. Dodge y otros y se utilizaron frecuentemente como estándares .

Más recientemente, el control de calidad amplió el alcance más allá de la inspección final para incluir todos los aspectos de la fabricación. Los sistemas de gestión de calidad más amplios incluyen metodologías como el control estadístico de procesos , HACCP , six sigma e ISO 9000 . Todavía queda algo de uso de muestreo de aceptación.

Justificación [ editar ]

El muestreo proporciona un medio racional de verificación de que un lote de producción cumple con los requisitos de las especificaciones técnicas . La inspección al 100% no garantiza el cumplimiento al 100% y es demasiado costosa y lenta. En lugar de evaluar todos los artículos, se toma una muestra específica, se inspecciona o se prueba, y se toma una decisión sobre aceptar o rechazar el lote de producción completo.

Los planes tienen riesgos conocidos: un límite de calidad aceptable (AQL) y un nivel de calidad rechazable, como el porcentaje de tolerancia del lote defectuoso (LTDP), son parte de la curva de características operativas del plan de muestreo. Estos son principalmente riesgos estadísticos y no implican necesariamente que el producto defectuoso se fabrique o acepte intencionalmente. Los planes pueden tener un límite de calidad saliente promedio conocido (AOQL).

Muestreo de aceptación para atributos [ editar ]

Un solo plan de muestreo para atributos es un método estadístico por el cual el lote es aceptado o rechazado en base a una muestra. ^[4] Supongamos que tenemos mucho tamaño$${\ displaystyle M}; una muestra aleatoria de tamaño{\ displaystyle N se selecciona del lote; y un número de aceptación$${\ displaystyle B}está determinado. Si se encuentra, el número de no conformes es menor o igual a$${\ displaystyle B}, se acepta el lote; y si el número de no conformes es mayor que$${\ displaystyle B}, el lote no es aceptado. El diseño de un solo plan de muestreo requiere la selección del tamaño de la muestra$${\ displaystyle N} y el número de aceptación $${\ displaystyle B}.

MIL-STD-105 era una norma de defensa de los Estados Unidos que proporcionaba procedimientos y tablas para el muestreo por atributos (característica de aprobación o falla). MIL-STD-105E se canceló en 1995, pero está disponible en documentos relacionados como ANSI / ASQ Z1.4, "Procedimientos de muestreo y tablas para inspección por atributos". Se proporcionan varios niveles de inspección y se pueden indexar a varios AQL. Se especifica el tamaño de la muestra y se proporciona la base para la aceptación o el rechazo (número de defectos).

Plan de muestreo de variables [ editar ]

Artículo principal: Plan de muestreo de variables.

Cuando una característica medida produce un número, a menudo se usan otros planes de muestreo, como los basados ​​en MIL-STD-414. En comparación con los planes de muestreo de atributos, estos a menudo utilizan un tamaño de muestra más pequeño para el mismo AQL indexado.