EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS

OPERACIONES CON POLINOMIOS: SUMA  / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado) A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3  + 1/2 x B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3     2x4  -  x3  - 3x2 + 1/2 x  -  8          (el polinomio A ordenado y completo) +    -5x4 + 7x3 + 0x2  +   3x  -  10          (el polinomio B ordenado y completo) ______________________________    -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x  - 18 A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x  - 18 Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x2. Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los términos de igual grado. También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1  EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado) A = -3x2 + 5x - 4             (grado 2) B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1      (grado 3)     0x3 - 3x2 + 5x - 4          (el polinomio A ordenado y completo) +    4x3  - 5x2 + 2x + 1         (el polinomio B ordenado y completo) ____________________    4x3  - 8x2 + 7x - 3 A + B = 4x3  - 8x2 + 7x - 3 En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede encolumnado término a término con el otro polinomio. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: (Uno de los términos del resultado es cero) A = 9 + 5x3 - 4x2 + x B = 4x2 - 3 - 2x    5x3  - 4x2 + x + 9 +    0x3 + 4x2 - 2x - 3 ____________________    5x3 + 0x2 - x  + 6 A + B = 5x3 - x  + 6 La suma de los términos de grado 2 dió 0x2. Luego, en el resultado final ya no se ponen los términos con coeficiente cero. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3 EJEMPLO 4: (No hay términos semejantes) A = 4x3 + 5 B = -2x + x2    4x3 + 0x2 + 0x + 5 +    0x3 +  x2 - 2x + 0 ____________________    4x3 +  x2 - 2x + 5 A + B =  4x3 +  x2 - 2x + 5 Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes. Se puede observar que el resultado es la suma de todos términos de los dos polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener otro término semejante. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4 EJEMPLO 5: (Suma de polinomios de varias letras) A = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y) = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y = -3xy2 - 6x2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2  + 4x3y  - 7x2y2 = -9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2  + 4x3y - 7x2y2 Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma"parte literal"). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los términos de igual parte literal. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5 CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS SOBRE OPERACIONES CON POLINOMIOS: SUMA ¿Qué es un polinomio? Veamos algunos ejemplos de polinomios: -5x4 - 10 + 3x + 7x3 -3x2 + 5x - 4 x + 1 2a - 5a3 + a2 -3xy2 + 4 - 7xy 1/3 x5 - 6 Se puede ver que son expresiones formadas por "sumas y/o restas de términos", donde muchos de ellos tienen una letra o más, y las letras puede tener exponentes positivos (un número natural). ¿Qué son los términos? Veámoslo con un ejemplo. En el polinomio: -5x4 - 10 + 3x + 7x3 Los términos son: -5x4 -10 3x 7x3 Recordemos lo que nos decían en los ejercicios combinados con números: "los signos más y menos separan términos". Aunque no hay un signo de multiplicación entre el número y la letras, hay que asumir que están multiplicándose. Cuando entre una letra y un número no hay signo de operación, se sobreentiende que están multiplicandose. Lo mismo pasa cuando hay dos letras juntas. Por ejemplo: "2x" significa "2.x", es decir: "2 multiplicado por x", y "ab" significa "a.b", o sea: "a multiplicado por b". Cada término es también un polinomio al que se le llama "monomio". Se podría decir que un polinomio es una suma de monomios. ¿Qué es el grado de un término?  Es el exponente al que está elevado la letra del término (en caso de haber una sola). Por ejemplo: -5x4 es un término de grado 4. Porque la letra x está elevada al exponente 4. 7x2 es un término de grado 2. Porque la letra x está elevada al exponente 2. 3x es un término de grado 1. Porque si bien la letra x no tiene exponente, x es igual a x1. Quiere decir que, cuando una letra no tiene exponente, el grado es 1, porque en realidad esa letra está elevada a la potencia 1. -10 es un término de grado cero. Porque a ese término se le puede agregar la letra del polinomio (indeterminada), elevada a la potencia cero: -10 es igual a -10x0 Ya que x0 es igual a 1. Y -10.1 es igual a -10. Entonces, como -10x0 es igual a -10.1 que es igual a -10, puedo decir al revés: -10 es igual a -10x0 (si dos cosas son iguales, son iguales cualquiera sea el orden en que lo diga ¿no?). Así que, como el exponente de la letra es cero, el grado de ese término es cero. A esos términos que son un número sin letra, se les llama: "término independiente". (más sobre el término independiente) Y cuando el término tiene varias letras, el grado del término es igual a la suma de los exponentes dichas letras. Por ejemplo: 2x4y3 es un término de grado 7 (4 + 3) -5ab2 es un término de grado 3 (1 + 2) ¿Qué son los coeficientes? Son los números que en cada término están delante de las letras (multiplicando, en realidad), o el número que está solo (término sin letra). Por ejemplo: En el término -5x4, el coeficiente es -5. En el término 7x3, el coeficiente es 7. En el término x5, el coeficiente es 1. Porque, si bien x5 no tiene ningún número delante de la letra, x5 es igual a 1x5. Quiere decir que cuando "no hay coeficiente", es que en realidad el coeficiente es 1. En el término -10, el coeficiente es -10. Este término no tiene letra, pero el número es un coeficiente al que se llama "coeficiente constante" (¿qué es una constante?). En el punto anterior también vimos que se le llama "término independiente". ¿Cuál es el grado de un polinomio?  El grado de todo el polinomio es el grado del término de mayor grado. O de otra manera: si en un polinomio de una sola letra, el grado es el mayor exponente con que vemos a la letra en el polinomio. Por ejemplo: 2a - 5a3 + a2  es un polinomio de grado 3 -5x4 - 10 + 3x + 7x3  es un polinomio de grado 4 x + 6 es un polinomio de grado 1 (porque x es igual a x1) 2 - x2 + 5x7 es un polinomio de grado 7 Si el polinomio tiene varias letras, el grado es la suma más alta que den los exponentes de alguno de los términos. O sino: es igual al grado del término de mayor grado. Por ejemplo, en: 2x3y2 - 5xy3 + 8xy El grado del polinomio es 5. Porque el término de mayor grado es 2x3y2, cuyo grado es 5 ya que hay que sumar los exponentes de la letras para saber el grado cuando hay varias letras: 3 + 2 = 5. Los otros dos términos tienen grado menor que 5: El término - 5xy3 es de grado 4 (1 + 3), y el término 8xy es de grado 2 (1 + 1).