EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS

OPERACIONES CON POLINOMIOS: MULTIPLICACIÓN / EJERCICIOS RESUELTOS EJEMPLO 1: (Multiplicación por un monomio) A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3  + 5x B = -5x4     -3x2  +  2x4  -  8  -  x3   +  5x     X                                  -5x4 ______________________________    15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5 A x B = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 -  25x5 Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra con la letra. Al multiplicar las letras iguales se  suman los exponentes, ya que es una multiplicación de potencias de igual base. También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre paréntesis y luego aplicando la propiedad distributiva. En las EXPLICACIONES muestro los ejemplos resueltos de las dos maneras. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1  EJEMPLO 2: (Multiplicación de polinomios completos) A = 4x3 - 5x2 + 2x + 1 B = 3x - 6                 4x3 - 5x2 + 2x +  1            (el polinomio A ordenado y completo)               X                  3x  -  6            (el polinomio B ordenado y completo)            ____________________             -24x3 + 30x2 - 12x - 6 +     12x4 - 15x3 +  6x2  +  3x     _________________________     12x4 - 39x3 + 36x2  -  9x - 6 A x B = 12x4 - 39x3 + 36x2  -  9x - 6 A cada término del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada término del primer polinomio. Si ambos polinomios están completos y ordenados, los resultados quedan también completos y ordenados, y es más fácil encolumnarlos según su grado, porque van saliendo en orden. Luego hay que sumar los resultados como se suman los polinomios. Es un procedimiento similar al de la multiplicación de números de varias cifras, con la diferencia de que no se "llevan" números a la columna siguiente, sino que se baja el resultado completo. Al empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse una columna, tal como en la multiplicación de números de varias cifras, y así se logra que los términos de igual grado queden en la misma columna. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2 EJEMPLO 3: (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados, completándolos y ordenándolos) A =  -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2                          5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0   (polinomio A completo y ordenado)             X                        -2x2 + 0x + 3   (polinomio B completo y ordenado)            ______________________________                      15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x  + 0                 0x5 +  0x4 + 0x3 +  0x2 +  0x   -10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2 ________________________________________  -10x6 +  0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0 A x B =  -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. Así es más fácil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque todo va saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo polinomio, se puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir cuando uno recién aprende el tema, pero luego cuando se tiene más práctica se preferirá no completar ni multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se puede ver hecha esta misma multiplicación sin completar los polinomios. En el resultado final ya no se ponen los términos con 0. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3 EJEMPLO 4: (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos, pero sí ordenándolos) A =  -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2                          5x4 - 9x2 + x       (polinomio A incompleto pero ordenado)              X                -2x2 + 3        (polinomio B incompleto pero ordenado)             _____________________               15x4        - 27x2 + 3x    -10x6 + 18x4 - 2x3  ____________________________    -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x A x B =  -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x En el resultado de multiplicar por el 3 no hay término con grado 3. Y en el resultado de multiplicar por -2x2, no hay término de grado 2. Eso obliga a que, para que queden encolumnados los términos de igual grado, haya que saltearse columnas, borrar para hacer espacios, etc. No es demasiado complicado, pero hay quienes prefieren no tener que ponerse a pensar en dónde ubicar cada término. En ese caso es preferible hacerlo como en el EJEMPLO 3: completar y ordenar a los dos polinomios para que todos los términos  vayan saliendo en orden y no haya qué pensar en dónde ponerlos. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4 EJEMPLO 5: (Multiplicación de polinomios de varias letras) A = -3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3 B = 5x4y + 8x - 2x3y - 10 A x B = (-3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3).(5x4y + 8x - 2x3y - 10) = -15x6y4 - 24x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3  - 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 + 60x3y3 = -15x6y4 + 12x6y4 - 24x3y3 + 60x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3  + 12x6y4 = -3x6y4 + 36x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 28x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 Cuando los polinomios tienen varias letras, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos, completarlos y ponerlos uno sobre otro. Mejor es multiplicarlos "en el mismo renglón" aplicando la Propiedad distributiva. En la multiplicación de los términos, hay que sumar los exponentes de las letras que son iguales, por la Propiedad de las potencias de igual base. Luego, se "juntan" los términos semejantes (iguales letras con iguales exponentes). En este ejemplo solamente hubo dos términos semejantes: -24x3y3 con 60x3y3. Los demás quedan como están. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5 EJEMPLO 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no completando el segundo) A =  -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2                          5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0  (polinomio A completo y ordenado)             X                               -2x2 + 3  (polinomio B completo y ordenado)            ______________________________                      15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x  + 0   -10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2 ________________________________________  -10x6 +  0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0 A x B =  -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x Fue necesario saltearse dos columnas en vez de una, para ubicar el 0x2 debajo del -27x2, y es porque al segundo polinomio le falta el término de grado x. Todo lo demás salió ordenado por grado. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6 EJEMPLO 7: (Sin ordenar ni completar) A =  -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2                              9x2 + x + 5x4     (polinomio A incompleto y desordenado)              X                    3 -  2x2       (polinomio B incompleto y desordenado)             __________________________               - 10x6       + 18x4 - 2x3                               + 15x4         - 27x2  + 3x  _________________________________________              - 10x6        + 33x4 - 2x3  - 27x2 +  3x A x B =  - 10x6  + 33x4 - 2x3  - 27x2 +  3x  Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando más o menos el espacio que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el primer resultado que obtenemos  es -10x6,  sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas más para los grados anteriores (grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a la izquierda, dejando a su derecha el lugar necesario para los otros grados que puedan aparecer en los siguientes resultados. Si el segundo resultado es -2x3, dejamos un espacio entre -10x6 y este nuevo término, para los grados intermedios que faltan. Así quedan más o menos acomodados, para que en la próxima fila podamos poner los resultados debajo en la columna correspondiente.