Puntos de Feuerbach y circunferencia de Apolonio
Sean ABC un triángulo, (Ia), (Ib), (Ic) sus circunferencia exinscritas y Fa, Fb, Fc los puntos de tangencia con la circunferencia de los nueve puntos (puntos de Feuerbach).
Se denota por (Ka) la circunferencia (distinta de la circunferencia de los nueve puntos) tangente a (Ia) y que pasa por Fb, Fc. Similarmente se definen las circunferencias (Kb) y (Kc).
La construcción de la circunferencia (Ka) es el problema de Apolonio PPC.
Los pasos para la construcción de (Ka) son los siguientes:
• La recta que une los puntos Fb y Fc es el eje radical de todas las circunferencias que pasan por ellos.
• A continuación dibujamos una circunferencia auxiliar que pase por los puntos Fb y Fc y que corte a la circunferencia dada: tomamos la circunferencia de los nueve puntos. Trazamos la tangente común a ésta y a (Ia). En la intersección de esta tangente con la recta FbFc está el centro radical La.
• La otra tangente desde La a la circunferencia (Ia) es también tangente a la circunferencia (Ka), que estamos buscando.
Se denota por (Ka) la circunferencia (distinta de la circunferencia de los nueve puntos) tangente a (Ia) y que pasa por Fb, Fc. Similarmente se definen las circunferencias (Kb) y (Kc).
La construcción de la circunferencia (Ka) es el problema de Apolonio PPC.
Los pasos para la construcción de (Ka) son los siguientes:
• La recta que une los puntos Fb y Fc es el eje radical de todas las circunferencias que pasan por ellos.
• A continuación dibujamos una circunferencia auxiliar que pase por los puntos Fb y Fc y que corte a la circunferencia dada: tomamos la circunferencia de los nueve puntos. Trazamos la tangente común a ésta y a (Ia). En la intersección de esta tangente con la recta FbFc está el centro radical La.
• La otra tangente desde La a la circunferencia (Ia) es también tangente a la circunferencia (Ka), que estamos buscando.
Si consideramos los puntos Lb y Lc necerarios para construir las circunferencias (Kb) y (Kc), de forma similar a la construcción de (Ka), se verifica:
Se conoce como circunferencia de Apolonio del triángulo ABC a la círcunferencia que toca sus tres circunferencias exinscritas y las abarca (Kimberling.-TCCT 1998, p. 102).
La recta que une el centro radical (punto de Spieker, incentro del triángulo medial) de las circunferencias exinscritas con el punto de Feuerbach Fa, vuelve a corta a la circunferencia A-exinscrita en el punto F'a de tangencia con la circunferencia de Apolonio de ABC. Similarmente, se determinan los puntos de contacto F'b y F'c.
Los puntos La, Lb y Lc están en una misma recta y su tripolo L tiene coordenadas baricéntricas:
((b+c)/(a^2+bc) : (a+c)/(b^2+ac) : (a+b)/(ab+c^2))
con (6,9,13)-número de búsqueda en ETC: 3.4313407904038455162362 ((b+c)/(a^2+bc) : (a+c)/(b^2+ac) : (a+b)/(ab+c^2))
Se conoce como circunferencia de Apolonio del triángulo ABC a la círcunferencia que toca sus tres circunferencias exinscritas y las abarca (Kimberling.-TCCT 1998, p. 102).
La recta que une el centro radical (punto de Spieker, incentro del triángulo medial) de las circunferencias exinscritas con el punto de Feuerbach Fa, vuelve a corta a la circunferencia A-exinscrita en el punto F'a de tangencia con la circunferencia de Apolonio de ABC. Similarmente, se determinan los puntos de contacto F'b y F'c.
Los ejes radicales de la circunferencia de Apolonio de ABC y cada una de las circunferencias (Ka), (Kb), (Kc) delimitan un triángulo perspectivo con ABC. El centro de perspectividad es X6042:
(a(b+c)^2(a(b+c)+b^2+c^2)^2 : b(c+a)^2(b(b+a)+c^2+a^2)^2 : c(a+b)^2(c(a+b)+a^2+b^2)^2).
(a(b+c)^2(a(b+c)+b^2+c^2)^2 : b(c+a)^2(b(b+a)+c^2+a^2)^2 : c(a+b)^2(c(a+b)+a^2+b^2)^2).
X(6042) in ETC
X(6042) = Perspector of Montesdeoca-Hung Triangle and ABC
Let (Ap) be the Apollonius circle, and let (KA), (KB), (KC) be the circles described at X(5973) in association with the Hung-Feuerbach circle at X(5974). Let LA be the radical axis of (Ap) and (KA), and define LB and LC cyclically. The lines LA, LB, (LC form a triangle T (here named the Montesdeoca-Hung triangle) that is perspective to ABC, and the perspector is X(6042). (Tran Quang Hung, ADGEOM #1506; Angel Montesdeoca, ADGEOM #1525, August 24, 2014)
X(6042) = Perspector of Montesdeoca-Hung Triangle and ABC
Let (Ap) be the Apollonius circle, and let (KA), (KB), (KC) be the circles described at X(5973) in association with the Hung-Feuerbach circle at X(5974). Let LA be the radical axis of (Ap) and (KA), and define LB and LC cyclically. The lines LA, LB, (LC form a triangle T (here named the Montesdeoca-Hung triangle) that is perspective to ABC, and the perspector is X(6042). (Tran Quang Hung, ADGEOM #1506; Angel Montesdeoca, ADGEOM #1525, August 24, 2014)
Para construir la circunferencia que toca a las tres circunferencias (Ka), (Kb), (Kc) y las abarca (Hung-Feuerbach circle), consideramos la recta q que contiene a los tres centros externos, Qa, Qa, Qa de homotecia de las circunferencias (Ka), (Kb), (Kc).
Sean Pa, Pb, Pc los polos de la recta q respecto a las circunferencias (Ka), (Kb), (Kc). Si R es el centro radical de las circunferencias (Ka), (Kb), (Kc), las semirrectas RPa, RPb, RPc las cortan en los puntos de tangencia con la circunferencia de Hung.
Sean Pa, Pb, Pc los polos de la recta q respecto a las circunferencias (Ka), (Kb), (Kc). Si R es el centro radical de las circunferencias (Ka), (Kb), (Kc), las semirrectas RPa, RPb, RPc las cortan en los puntos de tangencia con la circunferencia de Hung.
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