geometría - aplicaciones

Descripciones geométricas del centro del triángulo X₅₄₂

X(542) in ETC 

Let ABC ge a triangle and X(98) the Tarry point (the point of intersection, other than A, B, and C, of the circumcircle and Kiepert hyperbola), then X(542) is the point at infinity defined by the direction of the vector AX(98) + BX(98) + CX(98).

&ensp  Sean ABC un triángulo, P un punto y P_aP_bP_c el triángulo pedal de P. Consideremos P'_a, P'_b, P'_c los puntos sobre las rectas PP_a, PP_b, PP_c tales que:

PP'_a / PP_a = PP'_b / PP_b = PP'_c / PP_c = t, (t≠1)

La paralela por P'_a a BC interseca a BA, CA en B_a, C_a, respectivamente. 
La paralela por P'_b a BA interseca a CB, AB en C_b, A_b, respectivamente. 
La paralela por P'_c a AB interseca a AC, BC en A_c, B_c, respectivamente. 

El lugar geométrico de los puntos P tales que las mediatrices de B_aC_a, C_bA_b, A_cB_c son concurrentes es la recta que pasa por el baricentro y el simediano.

La ecuación baricéntrica de la mediatriz d_a de B_aC_a (las de las otras mediatrices d_b y d_c se obtiene por permutación cíclica) es, si P=(u:v:w):

(b^2-c^2)(tu+v+w)x + ((b^2-c^2)(t-1)u+a^2(u+v+w))y + ((b^2-c^2)(t-1)u-a^2(u+v+w))z = 0.

La condición para que las tres mediatrices sean concurrentes es:

(b^2-c^2)u + (c^2-a^2)v + (a^2-b^2)w = 0.

Es decir, el lugar geométrico es la recta que pasa por el baricento G(1:1:1) y el simediano K(a^2:b^2:c^2). 

Si P es el punto P_t de intersección de las rectas GK y δ_t, el correspondiente punto Q_t de intersección de las mediatrices d_a, d_b, d_c, describe la parábola que contiene al baricentro, circuncentro y simediano y con punto en el infinito X₅₄₂.

Cuando t varía y P queda fijo en la recta GK , el lugar geométrico que describe el punto Q de intersección de las mediatrices d_a, d_b, d_c, es una recta δ_P que pasa por el circuncentro, X₃.

Si P es un punto sobre GK de coordenadas (a^2(1-ξ)+ξ : b^2(1-ξ)+ξ : c^2(1-ξ)+ξ), la ecuación de la recta δ_P es:

(b^2-c^2)((a^2-b^2-c^2+b^2c^2)ξ-b^2c^2)x + ... = 0.

La recta δ_P contiene al punto P solamente si éste es el baricentro o el simediano. 

Cuando P varía en la recta GK, el lugar geométrico que describe el pie de la perpendicular, trazada por él a la recta δ_P, es una cúbica circunscrita al triángulo medial, que contiene a los centros X₂, X₃ (doble), X₆, X₅₄₂, X₅₁₀₈ y con asíntota pasando por X₅₀₉₉ (descrito por Seiichi Kirikami en Anopolis #846) y dirección la del punto del infinito X₅₄₂.