AMIGOS PARA SIEMPRE: GEOMETRÍA

conjunto de Cantor, llamado así por ser aporte de Georg Cantor¹ en 1883, es un destacado subconjunto fractal del intervalo real [0, 1], que admite dos definiciones equivalentes:

la definición numérica: es el conjunto de todos los puntos del intervalo real [0,1] que admiten una expresión en base 3 que no utilice el dígito 1.
la definición geométrica, de carácter recursivo, que elimina en cada paso el segmento abierto correspondiente al tercio central de cada intervalo.- ................................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=7594368c65b414bbfee4f3db0ee5de7595cf4507&writer=rdf2latex&return_to=Conjunto+de+Cantor

El conjunto de Cántor
Todo cabe en la dimensión 0

Conjunto de Cántor, también llamado 'polvo de Cántor', es un ejemplo de conjunto infinito de dimensión 0. Su 'cardinal' es sin embargo el mismo que el del 'continuo', o dicho de otra forma, tiene tantos puntos como el intervalo [0,1], tantos como en la Recta Real, tantos como en todo nuestro Universo (Suponiendole un número finito de dimensiones). ¡Todos ellos contienen el mismo número de puntos!

¿Cuál es la raíz de esta paradoja?
¿Cómo puede caber todo el Universo en una dimensión 0?

-La respuesta estaría en observar que el número de puntos de un conjunto y su 'longitud' o el espacio que ocupan, carecen de relación intrínseca.

La relación entre la longitud, o el volumen, y el número de puntos (cardinal) carece de existencia en sí misma, es vacía. Esto permite establecer de cualquier manera dicha relación mediante atribuciones mentales no esenciales. En estas llas radica la diferencia entre el polvo de cantor y el espacio infinito. Los budistas denominan 'agregados' a esas imputaciones mentales. La diferencia entre el polvo de Cantor y el continuo espacio-tiempo la establece el 'agregado de la forma'
Para un matemático no puede ser extraño decir que hay tanto espacio dentro de un solo átomo como en todo el Universo.
Ello ilustra el concepto de 'vacuidad' de la filosofía budista.

El arbol y su sombra, hay en ellos los mismos puntos, aunque ésta pueda ser infinita.

Cuando alguien nos habla de conjuntos fractales, se pone a pensar en esos dibujos cuasi-artísticos llenos de autosemejanzas y formas que se asemejan a árboles, rayos, nubes… No andamos desencaminados, pues la principal característica de un fractal es precisamente ésa, la autosemejanza. Sin embargo, hay conjuntos de este tipo extremadamente sencillos: tan sencillos que caben en un simple intervalo. Hoy vamos a ver algunas de las propiedades más sencillas de explicar y curiosas de, quizás, el primer fractal conocido: El Conjunto de Cantor.

¿Cómo se construye?

Antes de empezar, y como buenos matemáticos que somos, vamos a definir rigurosamente el objeto con el que vamos a trabajar. El Conjunto de Cantor se construye por un proceso de paso al límite por iteración: veamos cómo.

Partamos del intervalo unidad $I_0=[0,1]$ , es decir, nuestro estado inicial es el intervalo cerrado de extremos $0$ y $1$ , cuya longitud es exactamente $1$ .

Seguidamente, partimos este intervalo, $C$ , en 3 partes idénticas y eliminamos el interior (conservando siempre los extremos). Así llegamos a nuestra primera iteración, que será $I_1:=[0,1/3]\cup[2/3,1]$ , es decir, $I_1$ es la unión de 2 intervalos cerrados (y disjuntos) cada uno de ellos de longitud 1/3. Si queremos, podemos llamar $C_0=[0,1/3]$ y $C_,1=[2/3,1]$ .

Prosigamos. Repetimos el proceso anterior a cada uno de los intervalos $C_0$ y $C_1$ , es decir, los dividimos en 3 partes iguales y eliminamos las centrales (conservando los extremos). Así, en la segunda iteración, llegamos al conjunto $I_2=[0,1/9]\cup[2/9,1/3]\cup[2/3,7/9]\cup[8/9,1]$ , es decir, la unión de 4 intervalos cerrados disjuntos cada uno de ellos de longitud 1/9. Como antes, podemos ponerles nombres; así, $C_{0,0}=[0,1/9]$ , $C_{0,1}=[2/9,1/3]$ , $C_{1,0}=[2/3,7/9]$ y $C_{1,1}=[8/9,1]$ . Fijaos que los intervalos $C_{0,x}$ proceden de la división de $C_0$ mientras que los de la forma $C_{1,x}$ proceden de $C_1$ .

Por si aún no se ven las cosas claras, hagamos una tercera iteración y dividamos cada uno de los 4 intervalos anteriores en 3 partes iguales, quitemos las centrales y quedémonos con los extremos. Llegamos al siguiente conjunto:

$\displaystyle I_3=[0,1/27]\cup[2/27,1/9] \cup [2/9,7/27]\cup[8/27,1/3]\, \cup\,$ $\displaystyle [2/3,19/27]\cup[20/27,7/9] \cup [8/9,25/27]\cup[26/27,1]$

es decir, la unión de 8 intervalos disjuntos de longitud 1/27, a los que llamaremos, siguiendo la notación anterior, $C_{0,0,0},\,C_{0,0,1},\,C_{0,1,0},\,C_{0,1,1},\,C_{1,0,0},\,C_{1,0,1},\,C_{1,1,0},\,C_{1,1,1}$ .

Venga, veamos un dibujo de cómo va quedando todo esto:

Primeras iteraciones del Conjunto de Cantor

Bien, y ahora… ¿cual es el Conjunto de Cantor? Pues muy sencillo, el Conjunto de Cantor como la intersección de todas las iteraciones anteriores (las 3 que hemos visto y las sucesivas que hagamos), es decir, $\displaystyle C=\bigcap_{n=1}^{\infty}I_n$ .

¿Y no hay una forma más fácil de definirlo?

Más fácil no lo sé… pero sí que hay otra. Si nos fijamos bien, eso de quitar el intervalo del centro en cada iteración nos dice que los puntos del Conjunto de Cantor, si los expresamos en base 3 (con decimales, vamos) no contienen el 1.

¿Cómo? ¿que no contienen el 1? Pues no. ¿Y $1/3$ éste número sí está en el Cantor, pero su expresión decimal en base 3 es $0,1$ . Ya, querido lector… pero también recuerda que en base 3, $0,1=0,0222\dots$ y esta expresión ya no contiene el 1. Así, podemos decir, sin lugar a equivocarnos, que el Conjunto de Cantor es el conjunto de los puntos de $[0,1]$ que pueden escribirse en base 3 sin contener al 1, es decir

$\displaystyle C=\left\{x\in[0,1]:\ x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{3^n},\, \text{ donde }a_n=0,2,\,\forall n\in\Bbb{N}\right\}$

¿Cuánto mide?

Si nos fijamos, en cada paso que damos para acercarnos al verdadero conjunto de Cantor, partimos de 1 intervalo de longitud1, después llegamos a 2 intervalos de longitud $1/3$ , 4 de longitud $1/9$ , 8 de longitud $1/27$ …. y en el enésimo paso tendremos $2^n$ intervalos de longitud $1/3^n$ , es decir, cada iteración tendrá una longitud de $l_n=long(I_n)=2^n\cdot (1/3^n)=(2/3)^n$ . Por lo tanto, la longitud del Conjunto de Cantor sería el límite de estas longitudes, es decir

$\displaystyle long(C)=\lim_{n\to\infty}l_n=\lim_{n\to\infty}(2/3)^n=0$

Es decir, el conjunto de Cantor mide $0$ (Si quieres saber algo más de la longitud o medida de Lebesgue en $\Bbb{R}$ puedes mirar la construcción de un conjunto que no se puede medir).

Por si no te convence, vamos a verlo de otra forma. Calculemos la longitud de los trozos que quitamos. En la primera iteración quitamos $1=2^0$ segmento de longitud $1/3=1/3^1$ ; en la segunda $2=2^1$ segmentos de longitud $1/9=1/3^2$ ; en la tercera $4=2^2$ segmentos de longitud $1/27=1/3^3$ ; y así sucesivamente, en la enésima iteración habremos eliminado, además de todo lo anterior, $2^{n-1}$ segmentos de longitud $1/3^n$ cada uno.

En total habremos quitado del intervalo $[0,1]$ original (cuya longitud es obviamente 1) la siguiente cantidad

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty 2^{n-1}\cdot\frac{1}{3^n}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^n= \frac{1}{2}\cdot \frac{2/3}{1-2/3}=1$

Luego la longitud del conjunto de Cantor será $1$ (la del intervalo $[0,1]$ ) menos la que nos acaba de salir (otra vez 1)… $0$ .

¿Cuántos puntos tiene?

Bien, ya sabemos que el Conjunto de Cantor tiene longitud $0$ , como un único punto, o como una cantidad finita de puntos…. incluso igual que una cantidad numerable de puntos. Así que nos podemos preguntar… ¿cuántos puntos hay en el Conjunto de Cantor? Porque si resulta que este conjunto es numerable, el que tenga longitud $0$ no nos dice nada (se trata de una propiedad intrínseca de la longitud o, mejor dicho, de la medida de Lebesgue).

Por un lado, como el Conjunto de Cantor está contenido en el intervalo $[0,1]$ , tendrá tantos puntos o menos que éste. Vamos a comprobar que, en realidad, ambos tienen la misma cantidad de puntos, y para ello, vamos a construir una sobreyección de $C$ en $[0,1]$ , es decir, a cada punto de $C$ le vamos a asociar otro punto de $[0,1]$ de forma que abarquemos todos, pero, quizás, haya puntos que procedan de más de uno del conjunto de Cantor. Vamos allá.

¿Os habéis fijado en la forma tan particular que hemos elegido para denotar los subconjuntos de $C$ ? Esa es la clave. Seleccionemos un punto del conjunto de Cantor. La construcción de $C$ me dice que este punto estará (de hecho él mismo será) en la intersección de una sucesión de intervalos de los pasos intermedios: un intervalo por cada paso. Así, nuestro punto estará bien en $C_0$ bien en $C_1$ (pongamos el primero); en la segunda etapa, estará bien en $C_{0,0}$ bien en $C_{0,1}$ (pongamos el segundo); en la tercera estará en $C_{0,1,0}$ bien en $C_{0,1,1}$ y así sucesivamente. Si os fijáis, lo que hacemos es que en cada etapa, elegimos un número: el 0 ó el 1, por lo que al final, tendremos una sucesión de Ceros y Unos que nuestro punto determina de forma única. Y aquí viene lo bueno. A nuestro punto del conjunto de Cantor, le hacemos corresponder el número decimal binario $0,0101101\dots$ . Es decir, $0,xxx$ donde $xxx$ es precisamente la sucesión de Ceros y Unos que hemos determinado.

Si nos fijamos bien, esta asignación es una sobreyección. Si fijo cualquier punto del intervalo $[0,1]$ siempre lo podré expresar como decimal binario (recordad, chicos, $0,1111\dots=1$ y $0=0,000\dots$ ). Además, esta correspondencia no es inyectiva, pues a varios puntos del conjunto de Cantor le corresponde el mismo punto de $[0,1]$ (claro, porque $0,1=0,1000\dots=0,0111\dots$ ). Total, que se podría decir que en el conjunto de Cantor hay tantos o más puntos que en $[0,1]$ , pero como antes vimos que en realidad eran tantos o menos… se deduce que en realidad tenemos la misma cantidad de puntos.

Esta demostración es muy chula (la verdad, se me ocurrió a mí solito y luego vi que el mismo argumento estaba ya escrito en muchísimos sitios), pero no es la original exactamente. La prueba original es la del método diagonal de Cantor. En él, supone que hay una cantidad numerable de puntos (vale, ya sabemos que no hay un número finito) y los ordena uno debajo de otro… escritos en forma decimal base 3 (recordad que el conjunto de Cantor se corresponde con los puntos de $[0,1]$ que se pueden expresar en forma decimal ternaria sin contener el 1). Ahora elije otro punto diferente a todos ellos y que siga estando en el conjunto de Cantor (con la propiedad esa del 1) del siguiente modo. Se fija en el primer punto y en el primer decimal, si es un 0, él elije 2 para su nuevo número, y si pone 2, elije 0. Ahora se fija en el segundo punto y en su segundo decimal… y elije para el suyo el contrario: y lo mismo para el tercer punto y tercer decimal y, sucesivamente, para el enésimo punto y su enésimo decimal: elije el contrario del que se encuentra. De esta forma, su punto es distinto a todos pero sigue teniendo la propiedad de que es expresable en forma decimal ternaria sin usar el 1, luego está en el conjunto de Cantor. Conclusión, no puede ser numerable.

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domingo, 8 de marzo de 2015

GEOMETRÍA - FRACTALES

¿Cómo se construye?

¿Y no hay una forma más fácil de definirlo?

¿Cuánto mide?

¿Cuántos puntos tiene?

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