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domingo, 8 de marzo de 2015

GEOMETRÍA - FRACTALES

conjuntos de Julia, así llamados por el matemático Gaston Julia, son una familia de conjuntos fractales que se obtienen al estudiar el comportamiento de los números complejos al ser iterados por una función holomorfa.

El conjunto de Julia de una función holomorfa

f\,

está constituido por aquellos puntos que bajo la iteración de

f\,

tienen un comportamiento 'caótico'. El conjunto se denota

J(f)\,

.- ..........................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=c49eb21ab507355a5d9c259227fe778544e5d57e&writer=rdf2latex&return_to=Conjunto+de+Julia

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Conjuntos de Julia

Gaston Julia y Pierre Fatou fueron de los primeros matemáticos en trabajar con fractales, antes de que existiera el concepto. Mientras uno se preocupó de las irregularidades (lo caótico) el otro estudiaba las regularidades.

Considere una función holomorfa $P_c:\mathbb C \rightarrow \mathbb C$ y estudiemos qué ocurre con la convergencia o divergencia de la sucesión $\big(a_n^z\big)_{\scriptscriptstyle n\in\mathbb N_0}$ , donde

$a_0^z = z\;,\quad a_1^z=P_c(z)\;,\quad a_2^z = P_c\big(P_c(z)\big)\;,\quad \ldots\;,\quad a_n^z = P_c^n(z)\;,\quad\ldots$

La intuición nos dice que no debe ser muy complicado encontrar puntos $z\in\mathbb C$ tales que la sucesión $\big(a_n^z\big)_{\scriptscriptstyle n\in\mathbb N_0}$ sea divergente (la sucesión tiende para $\infty$ ), y realmente así es. De esta forma definimos elConjunto de Julia relleno o interno como todos los puntos $z\in\mathbb C$ tales que la sucesión $\big(a_n^z\big)_{\scriptscriptstyle n\in\mathbb N_0}$ sea acotada (que no tienda a $\infty$ ), nótese que no pedimos que tal sucesión sea necesariamente convergente! Finalmente, definimos el Conjunto de Julia como la frontera del conjunto anterior (para quién no sepa lo que es la frontera -“definición de Topología”-, ésta muchas veces suele coincidir con el contorno del objeto hablado). Vale la pena notar, que para cada función $P_c$ existe un Conjunto de Julia asociado, particularmente, para cada $c\in\mathbb C$ existe un Conjunto de Julia asociado que suele ser diferente para cada parámetro diferente.

Si quisiéramos representar el conjunto de Julia asociado a una función $P_c$ y con ésto hacer (o intentar hacer) una obra artística con el ordenador, debemos considerar lo siguiente:

Lo que se grafica y dará vida a nuestra obra artística (plana) serán los puntos $z\in\mathbb C$ ;
Debemos asignar colores a cada pixel del plano que represente un punto $z\in\mathbb C$ dependiendo de sus propiedades respecto de la sucesión $\big(a_n^z\big)_{\scriptscriptstyle n\in\mathbb N_0}$ ;
Se suele asignar negro si $z\in\mathbb C$ pertenece al conjunto de Julia relleno. Dentro del conjunto de Julia relleno existen 2 tipos de puntos $z\in\mathbb C$ , los que hacen que la sucesión $\big(a_n^z\big)_{\scriptscriptstyle n\in\mathbb N_0}$ sea convergente y los que no lo hacen (pero tal sucesión sigue siendo acotada).. colorear de forma diferente tales puntos podría darle estilo a nuestra obra;
Para puntos fuera del conjunto de Julia relleno se suelen utilizar colores que representen el tiempo que tarda la sucesión $\big(a_n^z\big)_{\scriptscriptstyle n\in\mathbb N_0}$ en irse al infinito, tal tiempo viene dado por una tolerancia escogida previamente y visto de forma discreta, es decir, ver el tiempo como la cantidad de iteraciones que tuvieron que hacerse para superar 1 millón (la tolerancia), por ejemplo (a mayor tiempo, suelen usarse colores más claros, donde el blanco debería describir el conjunto de Julia);

Los puntos anteriores pueden ser, por supuesto, modificados.. sólo son una referencia para comenzar a graficar esta clase de conjuntos, los colores, la función, la distribución de los puntos, etc, darán vida a su obra! Puede verse sencillo explicado de esta forma, pero no se puede aprender a andar en bicicleta con sólo mirar, cierto?