GEOMETRÍA - FRACTALES

 autosimilaridad, a veces llamada autosimilitud o autosemejanza, es la propiedad de un objeto (llamado objeto autosimilar) en el que el todo es exacta o aproximadamente similar a una parte de sí mismo, por ejemplo cuando el todo tiene la misma forma que una o varias de sus partes. Muchos objetos del mundo real, como las costas marítimas, son estadísticamente autosimilares: partes de ella muestran las mismas propiedades estadísticas en diversas escalas.¹ La autosimilaridad es una propiedad de los fractales.- ........................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=a20abdd15da6a10a9af7954270e9f004a958e609&writer=rdf2latex&return_to=Autosimilaridad

El matemático polaco Waclaw Sierpinski introdujo este fractal en 1919. Partamos (iteración n=0) de  la superficie de un triángulo equilátero de lado unidad. Seguidamente (iteración n=1) tomemos los puntos medios de cada lado y construyamos a partir de ellos un triángulo equilátero invertido de lado 1/2. Lo recortamos. Ahora (iteración n=2) repetimos el proceso con cada uno de los tres triángulos de lado 1/2 que nos quedan. Así que recortamos, esta vez, tres triángulos invertidos de lado 1/4. En la figura animada observamos hasta cinco iteraciones sucesivas. Si repetimos infinitamente el proceso obtendremos una figura fractal denominada triángulo de Sierpinski. 
Sierpinski diseñó este monstruo para demostrar, entre otras cosas, que era posible construir una curva que se "cruzaba" consigo misma en todos sus puntos ...

Podemos hacer construcciones semejantes al triángulo de Sierpinski en 3 dimensiones con tetraedros. @ 

El triángulo de Sierpinski se puede descomponer en tres figuras congruentes. Cada una de ellas con exactamente la mitad de tamaño de la original. Si doblamos el tamaño de una de las partes recuperamos el triángulo inicial. El triángulo de Sierpinski está formado por tres copias autosimilares de él mismo. Decimos que es  autosimilar.  
En realidad la autosimilaridad es más profunda. Cada una de las copias puede descomponerse a su vez de tres copias autosimilares (un total de nueve). Y a partir de cualquiera de ellas, aumentando su tamaño en un factor 4 recuperamos el original. En general, podemos dividir el triángulo en 3ⁿ piezas autosimilares que aumentadas en un factor 2ⁿ nos devuelven la figura inicial. Este tipo de autosimilaridad a todas las escalas es el sello identificativo de un fractal. 

Esta propiedad ha sido utilizada con astucia en ingeniería. Un ejemplo reciente son las antenas fractales. El diseño de antenas se ejecuta en gran medida por tanteo. Muchas antenas están compuestas por una distribución de pequeñas antenas. Si la distribución es regular, la antena presenta alto rendimiento y si es aleatoria ofrece robustez. Parece que un diseño fractal como el de la figura combina ambas propiedades. En el caso de  un solo hilo, siguiendo una forma fractal, al doblar se consigue empaquetar más hilo en el mismo espacio y la forma dentada genera capacitancia e inductancia extra. 

En este capítulo solo presentamos ejemplos de fractales estrictamente autosimilares. Como veremos más adelante esta autosimilaridad puede ser no perfecta, como en el caso del conjunto de Mandelbrot, o estadística, como en el caso de las costas terrestres. 

Concepto

En primer lugar y ya que hablaré de fractales, debes saber que el término 'fractal' lo acuñó Mandelbrot al hojear un diccionario de latín de su hijo al fusionar las palabras fractus (romper) + fracture (fractura), dando pues una función doble (sustantivo/adjetivo) a su creación. 

Fue el la IBM donde se fraguó la teoría de la Geometría Fractal, tan bellamente representada por el conjunto de Mandelbrot.

 Un problema traía de cabeza a los técnicos de comunicaciones de la compañía y era el ruido en las líneas telefónicas que usaban para transmitir información en su red de ordenadores. Ese ruido era insalvable, podían atenuarlo amplificando la señal pero siempre aparecían las interferencias y con ellas los errores continuos. Era como la radiación de fondo del Universo, siempre está presente, no desaparece.

Este hecho llegó a oídos de Mandelbrot, y ni corto ni perezoso ideó un método que describía la distribución errónea del flujo de información, el cual predecía las observaciones pero que era incapaz de pronosticar el promedio de errores por unidad de tiempo.

De hecho, en los periodos de aparición seguida de errores, por reducido que fuera, había siempre periodos de transmisión limpia de ruidos.

Su intuición geométrica le llevó a descubrir una relación entre los periodos de error y los periodos de transmisión limpia, una relación geométrica, por tanto visual y que era fácilmente representable en un gráfico:

Conjunto de Cantor

 Mandelbrot vio reflejarse en el conjunto de Cantor los errores aparentemente desordenados de las líneas de datos de IBM. Vio que era una muestra de tiempo fractal y que extendiendo esta teoría a otros campos, la importancia del término fractal ganaría la partida frente a los matemáticos ortodoxos que pensaban en la geometría euclídea como forma ideal de belleza y como piedra filosofal sobre la que giraba las matemáticas y físicas modernas.

Benoit Mandelbrot fue uno de tantos otros visionarios del caos y de los fractales, que tuvo la suerte de ver realizados sus sueños al materializar su engendro matemático y hacerle corresponder una realidad perteneciente a la naturaleza. Esto es lo único que lo distingue de otros matemáticos que ya en el siglo XIX se topaban con cualidades paradójicas e incomprensibles de ciertos objetos surgidos de sus pasatiempos y quehaceres matemáticos y todo ello gracias a una herramienta que le sirvió para tal fin a Mandelbrot: el ordenador. Y es que a Mandelbrot le sobraban ordenadores ya que trabajaba en la IBM y disponía a su alcance de una gran cantidad de recursos informáticos.

Quedará más y mejor explicado el concepto fractal con el artículo publicado por Mandelbrot bajo el título de

¿Qué longitud tiene la costa de Bretaña?

Así a bote pronto y sin pensar detenidamente en ello, diríamos que la respuesta es fácil. Tan simple como buscar el dato en la Espasa de ciento y pico volúmenes.

Nada más lejos de la realidad. La medida dependerá de la exactitud y precisión de la regla utilizada. Si usamos una regla de 1 metro tendremos una aproximación a la longitud de la costa, pero como hay recovecos inferiores al metro, contando que la regla no la podemos partir para precisar más en la medida, nos encontramos con que el resultado es una mera aproximación.

¿Y si la regla fuera de 1 cm? Pues la medida obtenida sería más exacta pero no dejaría de ser una aproximación ya que la escala usada para medir es arbitraria y podemos elegirla a nuestro gusto. Siempre podríamos optar por una regla de un mm., o de la milésima parte de un mm., o tal vez de una millonésima parte de mm., ..., es decir, siempre podemos escoger una escala más pequeña.

Los egipcios medían en codos, unidad poco exacta, pero que bastaba y sobraba para sus cálculos. Y aún así no deja de sorprendernos su cultura y el trasfondo matemático que se 'huele' al ver una pirámide.

Nosotros hemos realizado un gran avance con el sistema decimal de numeración y los sistemas de medidas, pero vamos a pensar que el espacio no sólo se mide en metros, cm. o mm., si no que existirá siempre una unidad tan pequeña como queramos y si la escala que escogemos es infinitesimal, la longitud de la costa de Bretaña será ¥.

Pensemos en un mapa mundi y en el contorno que vemos al fijarnos en la costa gallega. Distinguimos líneas curvas que definen el contorno pero no reflejan la realidad, pues su irregularidad no puede reflejarse en un trocito de papel. Esa irregularidad la apreciaremos mejor en una foto tomada desde un satélite geoestacionario y si vamos haciendo sucesivas ampliaciones manteniendo el nivel de detalle, distinguiremos bahías, penínsulas, sub-bahías, sub-penínsulas y así "hasta el ¥ y más allá" ;-)

No es lo mismo que la medida sea tomada por un barco a través de un recorrido físico, a que la realice una persona caminando por el litoral, ni a que nos la diese un paciente caracol y mucho menos una pulga saltarina. Cada vez obtendríamos una medida mayor que la anterior y su límite tendería al ¥, pero fíjate que el área que encierra dicha línea infinita seria finita y cuantificable (ya volveremos a este tema particular en otro apartado).

El quid de la cuestión es la irregularidad o escabrosidad de los objetos que tenemos a nuestro alrededor y esa escabrosidad la que nos imposibilita medir las cosas tomando como referencia las 3 dimensiones del plano euclídeo, que se muestra insuficiente para según que menesteres.

A partir de este momento, tú mismo ya que te interesas por el ámbito científico, debes pensar que a las dimensiones enteras hay que añadirles las fraccionarias e imbuidos en ellas están los objetos fractales.

Dimensión euclídea	Ejemplo
0	Punto
1	Recta
2	Cuadrado
3	Cubo

La dimensión fraccionaria fractal mide el grado de escabrosidad y/o discontinuidad de un objeto presentando un grado de irregularidad constante a diferentes escalas. Al final resulta una irregularidad regular.

El grado de irregularidad de un objeto no es otra cosa que su eficacia para ocupar espacio y resulta que hay líneas que son más eficaces que otras al ocupar espacio, como la curva de Koch que tiene dimensión 1'2618, ya que es un objeto a caballo entre la línea y la superficie. En cierta medida llega a doblegar la dimensión y obtener más de ella, como lo hace la curva espacio-tiempo en la Teoría de la Relatividad.

Un fractal es la forma idónea de ver lo infinito con el ojo de la mente, ya que ésta no puede visualizar la infinita autoinclusión de la complejidad que reina en él.

Hay multitud de ejemplos de fractales: el copo de nieve de Koch, el triángulo de Sierpinski, la curva de Cesàro, la curva del Dragón, la de Hilbert, ... y todos ellos se nos antojan criaturas extrañas y ... bellas, muestran una complejidad regular y una autosemejanza interminable.

Con el artículo sobre la longitud de la costa de Bretaña, Mandelbrot volvió a encontrarse con la cualidad de la autosemejanza, como en la curva de Koch y el ruido de las líneas de teléfono.

Diariamente observamos multitud de objetos con un contorno liso que visto con ojos fractales se tornará tan escabroso como queramos. Siempre han estado entre nosotros: en los helechos, en nuestros pulmones, en las coles (sino lo crees mira una con una lupa de aumento), en la red bronquial, en los copos de nieve, en las cuencas hidrográficas, en las montañas, en el crecimiento de ciertos vegetales, ...

Autosimilitud

La medición depende de la escala escogida para realizar la observación y en los fractales esa escala significa autosimilitud. Autosimilitud tan perfecta que sería imposible distinguir una instantánea de un fractal a escala 1 que otra hecha a escala 200, simplemente por la autorrecurrencia que muestran los objetos fractales, por su simetría dentro de una escala, por su pauta en el interior de una pauta. Los objetos fractales están formados por copias más o menos exactas de partes de sí mismos.

A pesar de que en el conjunto de Mandelbrot la autosimilitud no es exacta, podemos observar que sí lo es en el conjunto de Cantor o el triángulo de Sierpinski.

Fíjate en el siguiente gráfico, donde la cuasi-similaridad se convierte en perfecta autosimilaridad. Si quieres profundizar en el tema mira elAddendum.