GEOMETRÍA - FRACTALES

 alfombra de Sierpiński es un conjunto fractal descrito por primera vez por Wacław Sierpiński en 1916.¹ Constituye una generalización a dos dimensiones del conjunto de Cantor. Comparte con él muchas propiedades: también es un conjunto compacto, no numerable y de medida nula. Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es :http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=a2e6351ac5b1f5c4025ead95af5c566a8054664c&writer=rdf2latex&return_to=Alfombra+de+Sierpinski

TRIÁNGULO DE SIERPINSKI

El triángulo y la alfombra de Sierpinski fueron introducidos por Waclaw Sierpinski unos cuarenta años después que el conjunto de Cantor, como ejemplo de una curva en la que todo punto es de ramificación y como una curva cantoriana que contiene una imagen biunívoca continua de cualquier curva plana dada, respectivamente.

La construcción del triángulo se Sierpinski se realiza de la siguiente forma, se parte de triángulo de lado unidad T₀, en el primer paso nos quedamos con los tres triángulos equiláteros cerrados {T_i¹}³_i=1, contenidos en T₀ de lado ½ y que contiene a sus vértices como se puede apreciar en la figura. En el siguiente paso se repite el proceso anterior a escala ½ sobre cada uno de los triángulos obtenidos llegando a tener 3² triángulos cerrados de lado ¼ y así sucesivamente, en el paso n se tendrán 3ⁿ triángulos cerrados de lado 2^-k .

Por su construcción el triángulo de Sierpinski es un conjunto compacto de perímetro infinito y área nula.

 

Proceso de Generación del triángulo de Sierpinski

            LA ALFOMBRA DE SIERPINSKI

           La construcción de la alfombra de Sierpinski es parecida a la del conjunto de Cantor plano. Se parte del cuadrado unidad y se le suprime el cuadrado central de lado 1/3. En cada uno de los ocho cuadrados de lado 1/3 que forman la figura restante se repite esta operación, y así sucesivamente. La alfombra de Sierpinski es el conjunto que queda después de este proceso infinito.

ALFOMBRA DE SIERPINSKI   Historia: Es un conjunto fractal ideado también por Sierpinski, en 1916. Se trata de una generalización a dos dimensiones del conjunto de fractal. Por lo tanto, comparte muchas de sus propiedades: Propiedades: También es un conjunto de medida nula. Si se interseca la alfombra de Sierpinski con una recta paralela a uno de sus lados, se obtiene el conjunto de Cantor.
n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 .	Construcción: Al igual que el conjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski se construye de forma recursiva: Comenzamos con un cuadrado (paso n=0). El cuadrado se corta en 9 cuadrados congruentes, y eliminamos el cuadrado negro central (n=1). El paso anterior vuelve a aplicarse recursivamente a cada uno de los 8 cuadrados restantes (n=2). La alfombra de Sierpinski es el límite de este proceso tras un número infinito de iteraciones:
ESPONJA DE SIERPINSKI-MENGER   Historia: Es un fractal concebido por el matemático austriaco Karl Menger en 1926. También se llama Cubo de Sierpinski-Menger. Es una generalización tridimensional del conjunto de Cantor. Por tanto, también comparte muchas de sus propiedades. Propiedades: Es también un conjunto de medida nula. Si se interseca la esponja de Sierpinski-Menger con un plano paralelo a una de sus caras, se obtiene la alfombra de Sierpinski. Es de destacar su propiedad de curva universal: es un conjunto topológico de dimensión topológica uno, y cualquier otra curva es homeomorfa a un subconjunto de la esponja de Menger.		Karl Menger (1902-1985)
n=0 n=1 n=2 n=3 .	Construcción: Al igual que la alfombra de Sierpinski, la esponja de Menger se construye de forma recursiva: Comenzamos con un cubo (paso n=0). Dividimos cada cara del cubo en 9 cuadrados. Esto subdivide el cubo en 27 cubos más pequeños, como le sucede al cubo de Rubik (n=1), y eliminamos los 6 cubos centrales de cada cara y el cubo central, dejando solamente 20 cubos. El paso anterior vuelve a aplicarse recursivamente a cada uno de los 20 cubos restantes (n=2). La esponja de Menger es el límite de este proceso tras un número infinito de iteraciones: