GEOMETRÍA - FRACTALES

invariancia de escala es una propiedad de objetos o leyes en los que no hay cambios si la escala de tamaño (o la escala de energía) son multiplicadas por un factor común.¹ El término técnico para esta transformación es homotecia, también llamada dilatación o amplificación. Las dilataciones, además, pueden ser parte de una gran simetría conforme o invariancia de Weyl.

• En Matemática, la invariancia de escala se refiere a una invariancia de funciones o curvas. Un concepto cercanamente relacionado es la autosimilaridad, en la que una función o curva es invariante dentro de un subconjunto discreto de las dilataciones posibles. Esto también puede cumplirse para las distribuciones de probabilidad de unproceso aleatorio, que puede mostrar esta clase de invariancia de escala o autosimilaridad.

Una curva de Koch posee invariancia de escala.

• En la teoría clásica de campos, la invariancia de escala se aplica casi siempre a la invariancia de toda la teoría cualesquiera sean las dilataciones. Algunas teorías describen típicamente los procesos físicos clásicos con una inusual escala de tamaño.

• En la teoría cuántica de campos, la invariancia de escala se interpreta en los términos de la física de partículas.² En una teoría que presente invariancia de escala, la intensidad de las interacciones entre partículas no depende de la energía de las partículas involucradas.

• En mecánica estadística la invariancia de escala es una característica de las transiciones de fase.³ La observación clave es que en la vecindad de una transición de fase o punto crítico ocurren fluctuaciones para todas las escalas de tamaño, y entonces puede buscarse una teoría de invariancia de escala que describa adecuadamente el fenómeno. Algunas teorías son teorías estadísticas de campos con invariancia de escala, y son muy parecidas en su forma a las teorías cuánticas de campos con invariancia de escala, mencionadas en el párrafo anterior.

• Se llama universalidad a la observación de que sistemas microscópicos muy distintos pueden mostrar el mismo comportamiento en una transición de fase.⁴ Por esto, las transiciones de fase en muchos sistemas diferentes pueden describirse mediante la misma subyacente teoría de invariancia de escala.

• Generalmente las magnitudes adimensionales poseen invariancia de escala. El concepto análogo en estadística corresponde a los momentos estandarizados, que son estadísticas de una variable con invariancia de escala.

 lagos de Wada son una construcción formada por tres abiertos conexos disjuntos del plano con una fronteracomún a los tres. Esta construcción fue publicada por el matemático japonés Kunizō Yoneyama en 1917, que la nombró así en honor a su profesor Takeo Wada. Este descubrimiento se realizó de forma independiente al del matemático holandés Brouwer, que en 1910 halló un ejemplo similar.

De los conjuntos que comparten una propiedad similar se dicen que tienen la propiedad de Wada. Entre los ejemplos de los mismos aparecen atractores de sistemas dinámicos.

La construcción formal de los lagos de Wada puede iniciarse con el interior de un cuadrado de lado unidad, al que llamaremos tierra firme. En él cavaremos tres lagos (numerados como 0, 1 y 2 ) que iremos extendiendo en días sucesivos siguiendo la siguiente regla:

• Sea a_n una sucesión que converja a cero. En el día n = 1, 2, 3, 4, ... extenderemos el lago n mod 3 (= 1, 2, 0, 1...) de modo que pase a una distancia a_n de la tierra firme restante.

Esto puede realizarse de modo que la tierra firme conserve su interior conexo, y cada lago siga siendo abierto. En el límite, tras un número infinito de pasos, los tres lagos continuarán siendo abiertos conexos y disjuntos, y la tierra firme restante se convertirá en la frontera común a todos ellos.

Esta construcción puede generalizarse a cualquier número finito k de lagos sustituyendo el orden en que los extendemos, originalmente de 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, ...., por 1, 2, ..., k-1, 0, 1, 2,..., k-1,0,... . Puede incluso generalizarse a un conjunto infinito numerable de lagos siguiendo el orden marcado por 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, ... .

 vuelo de Lévy, nombrado en honor al matemático francés Paul Pierre Lévy, es un tipo de paseo aleatorio en el cual los incrementos son distribuidos de acuerdo a unadistribución de probabilidad de cola pesada. Específicamente, la distribución usada es una ley potencial de la forma y = x ^-a donde 1 < a < 3 y por lo tanto tiene una varianzainfinita.

Los vuelos de Lévy son procesos de Márkov. Después de un gran número de pasos, la distancia del origen de la caminata al azar tiende a una distribución estable.

Los vuelos de Lévy de dos dimensiones fueron descritos por Benoît Mandelbrot en su libro The Fractal Geometry of Nature (La geometría fractal de la naturaleza). El escalamiento en forma de ley de potencias de las longitudes de pasos, da a los vuelos de Lévy una propiedad de escala invariante, es decir, la propiedad de un fractal.

Este método de simulación proviene fuertemente de las matemáticas relacionadas con la teoría del caos y es útil en la medida y las simulaciones estocásticas para los fenómenos naturales al azar o pseudoaleatorios. Los ejemplos incluyen análisis de datos de terremotos, matemáticas financieras, la criptografía, el análisis de señales así como muchas aplicaciones en astronomía, la biología, y la física.

Cuando los tiburones y otros depredadores del océano no pueden encontrar alimento, abandonan el movimiento browniano, el movimiento al azar visto en moléculas de gas, por el vuelo de Lévy —una mezcla de trayectorias largas y movimientos al azar cortos encontrados en líquidos turbulentos—. Los investigadores analizaron más de 12 millones de movimientos registrados durante 5.700 días en 55 animales marcados con un radio transmisor de 14 especies depredadoras del océano en los Océanos Atlánticos y Pacífico, incluyendo tiburones sedosos, atún de aleta amarilla, aguja azul y pez espada. Los datos mostraron que los vuelos de Lévy entremezclados con el movimiento browniano pueden describir los patrones de caza de los animales.