domingo, 8 de marzo de 2015

GEOMETRÍA - FRACTALES

 función eta de Dedekind o simplemente función η de Dedekind, nombrada así en honor al matemático alemán Richard Dedekind es una función holomorfa definida en el semiplano superior complejo \mathbb H=\{\tau\in\mathbb C\mid\mathrm{Im}\,\tau>0\} Esta función juega un papel fundamental en la teoría de funciones elípticas y funciones theta.
La función η suele definirse mediante el siguiente producto:
\eta(\tau):= e^{2\pi i\tau/24}\prod_{n=1}^\infty (1-e^{2\pi in\tau}):=q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^n).
donde q=e^{2\pi i\tau}. De la definición se deduce inmediatamente que \eta sobre \mathbb{H} no tiene ceros.
La función η está estrechamente relacionada con su discriminante \Delta, de la siguiente manera
\Delta (\tau) \,=\, (2\pi)^{12} \eta^{24}(\tau).
Para el cálculo de la función, se suele emplear el teorema del número pentagonal de Euler.
La propiedades que se atribuyen a la función η se originan de su comportamiento de transformación en las sustituciones de los generadores del grupo modular
\Gamma :=\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})=\{\bigl(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\bigr)\mid a,b,c,d\in\mathbb{Z}, ad-bc=1\},
es decir:
\eta(\tau +1)\,=\, e^{\pi i/12}\eta(\tau)
y
\eta\left(\frac{-1}{\tau}\right) = \sqrt{\frac{\tau}{i}}\,\eta(\tau).



 función iterada es una función que es compuesta consigo misma, en forma repetida, en un proceso llamado iteración. Las funciones iteradas son objeto de profundos estudios en el campo de los fractales y sistemas dinámicos.- ....................................:
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Explicación del tema 13
Matemáticas avanzadas I
Tema 13. Integral múltiple y cálculo de Integrales Iteradas
13.1 Integral doble y cálculo de integrales iteradas
Considera que deseas encontrar el volumen de la región comprendida entre la superficie dada por f(x,y) > 0 y el plano XY. Recuerda de tu curso previo que para calcular el área bajo una curva, se tomaban pequeños rectángulos para cubrir la superficie y se tomaba el límite de la sumatoria de los pequeños rectángulos.
En un espacio de tres dimensiones considerando dos variables independientes se toma el plano la región XY y se realiza una cuadrícula de la superficie cuyas áreas miden ∆Ai. Se toma un punto (xi,yi) dentro de cada rectángulo para obtener la altura de cada prisma, la cual está dada por f(xi,yi), por lo que el volumen del prisma es ∆Ai(xi,yi), entonces el volumen de la región sólida se aproxima por: .
De manera formal, la integral doble se define como:
Por la forma en que se define la integral doble, el volumen de una región sólida que se encuentra sobre R y bajo la gráfica de f(x,y) ≥ 0  se define como .
Propiedades de las integrales dobles:
  •  =  +  es decir, la integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de las dos funciones.
  •  = c  la integral de una función por una constante es igual a la constante por la integral de la función.
  • Si f(x, y)  g(x, y) para toda (x, y) en D, entonces   .
  • Si D = D1 ∪ D2 donde D1 y D2 son disjuntas, no se empalman, tal vez sólo en los límites, entonces:  =  + . Si una integral está definida en una región la cual se puede representar mediante dos subregiones disjuntas, entonces la integral se puede calcular en tales subregiones.
  •  = A(D) se obtiene el área de D.
  • Si m ≤ f(x, y) ≤ M para toda (x,y) en D, entonces mA(D)   MA(D). Esta propiedad es útil para aquellas funciones para las cuales es difícil encontrar la integral, pero se puede estimar su valor si conocemos los valores m y M los cuales la delimitan.
El siguiente teorema te indica que una integral doble la puedes reescribir como una integral iterada:
Teorema de Fubini
En el teorema anterior observa que la manera en que se establecen los límites determina el orden de la integración, en el primer caso se realiza la integración parcial con respecto a y, considerando la variable x como una “constante”, el resultado obtenido de la integración se evalúa en los limites g1(x) y g2(x), posteriormente se realiza la integral con respecto a x.
En algunas ocasiones la manera en que se seleccionen los límites puede facilitar o dificultar el cálculo de la integral doble.
Para evaluar una integral doble se realiza lo siguiente:
Ejemplo:
Evalúa la integral doble , donde D es la región acotada por la parábola
y = x2  y   y = 2x+3.
Para encontrar las intersecciones de las dos funciones considera x2 = 2x +3 y obtienes x=-1 y x = 3.
De la gráfica observa que x varía entre -1 y 3, y los valores de y están entre x2 y 2x +3, luego entonces:


13.2 Integral triple y cálculo de integrales iteradas
La integral triple se define de una manera similar a como se define la integral doble. En este caso se considera una función f de tres variables independientes (x,y,z) continua sobre una región acotada Q.
La integral triple cumple con las propiedades descritas para la integral doble y para evaluarla se hace uso de la integral iterada. Para encontrar los límites de integración se recomienda proyectar la región sobre los planos para obtener una función en dos variables y de ésta sacar los límites.
Ejemplo:

Evalúa la siguiente integral: 
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