GEOMETRÍA - FRACTALES

Un Polvo de Cantor es tipo sencillo de fractal, se trata de conjuntos totalmente discontinuos de medida nula, dimensión topológicacero y dimensión fractal entre 0 y 1. Es la versión en dos dimensiones del Conjunto de Cantor, atribuido al matemático Georg Cantor.

Vamos a construir un fractal de la siguiente forma. Tomemos una línea recta de cierta longitud que supondremos que es de valor uno. Dividamos ahora esta línea en tres partes iguales y quitemos la parte central.Cada segmento de los que quedaron tiene ahora longitud igual a (1/3).

Enseguida repetimos el mismo procedimiento con cada uno de los segmentos restantes. Cada uno de los segmentos tiene una longitud de (1/9) (un tercio de un tercio). Por tanto ahora se tienen cuatro segmentos de longitud (1/9) cada uno.

Si se repite este procedimiento con cada uno de los segmentos obtenidos, se encuentran sucesivamente las líneas mostradas en la figura. En cada paso se va encontrando un número mayor de segmentos, pero cada uno de menor longitud.

Si se llevara a cabo este procedimiento un número muy grande de veces, se llegaría a obtener un "polvo" formado de un número extraordinariamente grande de segmentos, cada uno de longitud pequeñísima.

               iniciador       ---------------------------
               1.ª iteración   ---------         ---------
               2.ª iteración   ---   ---         ---   ---
               3.ª iteración   - -   - -         - -   - -

 sistema iterativo de funciones (SIF o IFS acrónimo del inglés Iterated function system) es una construcción matemática usada para representar de manera simple ciertos conjuntos fractales que presenten autosimilaridad. Muchos fractales clásicos autosimilares, autoafines y autoconformes pueden representarse como el único conjunto compacto invariante por un sistema iterativo de funciones contractivas.- ..................................................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=e4b6f6b71745cc09d5d91e07989e5a215f6f12fc&writer=rdf2latex&return_to=Sistema+iterativo+de+funciones

tiempo local es un proceso estocástico asociado con procesos dedifusión tales como el movimiento browniano, que caracteriza el tiempo que pasa una partícula en un nivel específico. El tiempo local es muy útil y suele aparecer en diversas fórmulas de integración estocástica si el integrando no es suficientemente regular, como en el caso de la fórmula de Tanaka.

Matemáticamente, la definición de tiempo local es


donde b(s) es el proceso de difusión y δ es la delta de Dirac. Es un concepto inventado por Paul Pierre Lévy. La idea básica es que ℓ(t, x) es una medición (reajustada) de cuánto tiempo ha pasado b(s) en x hasta el tiempo t. Lo cual puede expresarse como sigue:


donde se comprende por qué se denomina tiempo local de b en x.