El Triangulo de Sierpinski
Construcción
Para la construcción de "El Triángulo de Sierpinski" aplicamos 3 semejanzas:
f 1 (x,y) = ( x / 3 , y / 3 )
f 2 (x,y) = ( x / 3 + 2 / 3 , y /3 )
f 3 (x,y) = ( x / 3 + ( 2 * cos (60º) ) / 3 , y / 3 + ( 2 * sen (60º) ) / 3 )
Longitud / Dimensión
Si vamos viendo el área de " El Triangulo Sierpinski" para diferentes iteracciones, obtenemos :
Iteracción 1 >> Área = 3 / 4
Iteracción 2 >> Área = 9 / 16
Iteracción 3 >> Área = 27 / 64
Iteracción 4 >> Área = 81 / 256
Como podemos ver en esta serie el area de el triangulo tiende a cero, esto se demuestra analíticamente mediante la siguiente fórmula:
area = p ^ i * f ^ i
Donde:p = nº de partes = 3i = nº iteracionesf = factor de escala = 1/2También obtenemos que la dimensión de semejanza es:Ds = log 3 / log 2
En el triángulo de la derecha aparecen los números del triángulo de Pascal y en el de la izquierda aparece el resultado del módulo 2 para cada uno de ellos.
Además de esta coincidencia para la divisibilidad por 2, en general el triángulo de Pascal presenta unas formas muy concretas cuando se toma cada uno de sus números como una celda que se pinta de color blanco cuando el número al que corresponde es múltiplo de otro número concreto (por ejemplo 3, 5 o 9) o se pinta de negro cuando no es múltiplo. En todos estos casos el resultado, con variaciones en el tamaño o en la resolución obtenida, siempre presenta formas similares a uno o varios triángulos de Sierpinski. En el caso concreto de divisibilidad por números primos se puede demostrar que al hacer este coloreado siempre se obtiene un triángulo de Sierpinski.
Esta versión en 2D del triángulo de Sierpinski es generalizable a una pirámide 3D, donde se usan pirámides de base cuadrada en lugar de triángulos como constructores (se suele llamar tetraedro de Sierpinski). El método de construcción es totalmente análogo al caso de 2D, cambiando la unidad de construcción, y al mismo tiempo que se construye cada uno de sus lados se corresponde con un triángulo de Sierpinski en 2D. Su dimensión fractal es 2’3219. Este es una imagen de su construcción:
Árbol de Pitágoras es un plano fractal construido a partir de cuadrados inventado por el profesor Albert E. Bosman en 1942. Lleva el nombre del matemático griego llamado Pitágoras ya que en cada unión de 3 cuadrados se forma un triángulo rectángulo en una configuración tradicional utilizado para representar el teorema de Pitágoras. Si el cuadrado más grande tiene un tamaño de L x L, todo el árbol de Pitágoras encajará perfectamente dentro de una caja del tamaño de 6L × 4L.1 2 Los detalles más finos de los árboles se asemejan a la curva de Lévy C.- ..........................................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=6133c5dafb9d95375af0307381e95b7cd571c206&writer=rdf2latex&return_to=%C3%81rbol+de+Pit%C3%A1goras
El árbol de Pitágoras
Diógenes Laercio se refiere a Pánfila de Epidauro (erudita que vivió en tiempos de Nerón), quien atribuye a Tales o Pitágoras el descubrimiento de un bonito resultado geométrico:
Semicírculo que ilustra un teorema de Tales o Pitágoras.
Dicho de otra manera, si uno de los lados (
) de un triángulo es un diámetro de alguna circunferencia, y el vértice 
está sobre esa circunferencia, entonces el triángulo es rectángulo.
) de un triángulo es un diámetro de alguna circunferencia, y el vértice está sobre esa circunferencia, entonces el triángulo es rectángulo.
Esto hace que podamos construir triángulos rectángulos de una manera muy sencilla. Ahora imaginemos que tenemos un cuadrado y que sobre uno de sus lados construimos un triángulo rectángulo tal y como he descrito antes. Y que sobre cada uno de los dos catetos de ese triángulo construimos un cuadrado.
Tenemos entonces un triángulo rectángulo y tres cuadrados dispuestos de la manera en la que tradicionalmente se presenta el Teorema de Pitágoras. Ahora, con los dos cuadrados construidos posteriormente podríamos repetir este mismo procedimiento; y así tantas veces como se quiera… Ya tenemos un fractal. El Árbol de Pitágoras.
Árbol de Pitágoras centrado.
Árbol de Pitágoras ladeado
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