es un número real que generaliza el concepto de dimensión ordinaria para objetos geométricos que no admiten espacio tangente.- ................................................................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=a11cd909c80d97018402f8c91dfac3fb7b59e102&writer=rdf2latex&return_to=Dimensi%C3%B3n+fractalFractales y la dimensión fractal
Mandelbrot y Naturaleza
"Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y la corteza no es lisa, ni tampoco los viajes relámpago en una línea recta." (Mandelbrot, 1983).
El concepto de Dimensión
Hasta ahora hemos utilizado "dimensión" en dos sentidos:- Las tres dimensiones del espacio euclidiano (D = 1,2,3)
- El número de variables en un sistema dinámico
La Dimensión de Hausdorff
Si tomamos un objeto que reside en euclidiana dimensión D y reducir su tamaño lineal de 1 / r en cada dirección espacial, su medida (longitud, área o volumen) aumentaría a N = r D veces el original. Esto se representa en la siguiente figura.
Consideramos N = r D , tomar el logaritmo de ambos lados, y obtener log (N) = log D (r). Si resolvemos para D. D = log (N) / log (r) El punto: Examinamos esta manera, D no tiene que ser un número entero, como lo es en la geometría euclidiana. Podría ser una fracción, como lo es en la geometría fractal. Este tratamiento generalizado de dimensión debe su nombre al matemático alemán, Felix Hausdorff. Ha demostrado ser útil para describir los objetos naturales y para la evaluación de las trayectorias de los sistemas dinámicos.
La longitud de una línea de costa
Mandelbrot comenzó su tratado de geometría fractal, considerando la pregunta: "¿Cuánto tiempo es la costa de Gran Bretaña" La costa es irregular, por lo que una medida con una regla recta, como en la siguiente figura, se ofrece una estimación. La longitud estimada, L, es igual a la longitud de la regla, s, multiplicado por el N, el número de tales gobernantes necesarios para cubrir el objeto medido. En la siguiente figura se mide una parte de la costa en dos ocasiones, la regla de la derecha es un medio que se utiliza en la izquierda .
La medición de la longitud de una línea costera utilizando gobernantes de diferentes longitudes.
Pero la estimación de la derecha es más larga. Si la escala de la izquierda es una, tenemos seis unidades, pero reducir a la mitad la unidad nos da 15 gobernantes (L = 7,5), no 12 (L = 6). Si reducir a la mitad la escala de nuevo, nos encontraremos con un resultado similar, una estimación más larga de L. En general, como el gobernante obtiene diminishingly pequeño, la longitud se pone infinitamente grande. Elconcepto de longitud, comienza a tener poco sentido.
El "Efecto Richardson"
Lewis Fry Richardson observó por primera vez la regularidad entre la longitud de las fronteras nacionales y tamaño de la escala. Como se muestra a continuación, la relación entre la estimación de longitud y la longitud de escala es lineal en un gráfico log-log.
El efecto Richardson.
Mandelbrot asigna el término (1-D) a la pendiente, por lo que las funciones son: log [L (s)] = (1-D) registro (s) + b ., donde D es la dimensión fractal para Gran Bretaña, 1 - D = -.24, aproximadamente. D = 1 - (-. 24) = 1.24, una costa value.The fraccional de Sudáfrica es muy suave, casi un arco de un círculo. La pendiente estimada de arriba es muy cercano a cero. D = 1-0 = 1. Esto tiene sentido porque la costa es casi un objeto euclidiano regular, una línea, que tiene dimensionalidad de uno. En general, el "más duro" de la línea, la más pronunciada la pendiente, mayor es la dimensión fractal.
Ejemplos de objetos geométricos con dimensiones no enteros
Koch Curve
Comenzamos con una línea recta de longitud 1, llamado el iniciador . Eliminamos después del tercio medio de la línea, y reemplazamos con dos líneas que cada uno tiene la misma longitud (1/3) como el resto de líneas en cada lado. Esta nueva forma se llama el generador , porque especifica una regla que se utiliza para generar una nueva forma.
El Iniciador y generador para la construcción de la curva de Koch.
La regla dice que tomar cada línea y reemplazarlo con cuatro líneas, cada una de un tercio de la longitud del original.
Nivel 2 en la construcción de la curva de Koch.
Nivel 3 en la construcción de la curva de Koch.
Lo hacemos de forma iterativa ... sin fin. La curva de Koch.
¿Cuál es la longitud de la curva de Koch?
La longitud de la curva aumenta con cada iteración. Tiene una longitud infinita. Pero si tratamos la curva de Koch como lo hicimos la costa, ...
La relación entre el log (L (s)) y log (s) para la curva de Koch ...
nos encontramos con su dimensión fractal para ser 1,26. El mismo resultado obtenido a partir de D = log (N) / log (r) D = log (4) / log (3) = 1,26.
Cantor polvo
Eliminar iterativamente el tercer medio de una línea recta iniciar, como en la curva de Koch, ...
Iniciador y generador para la construcción de Cantor polvo. ...
esta vez sin haber cambiado la brecha ...
Los niveles 2, 3 y 4 en la construcción de Cantor polvo.
Cálculo de la dimensión ... D = log (N) / log (r) D = log (2) / log (3) = 0.63 Tenemos un objeto con dimensionalidad inferior a uno, entre un punto (dimensionalidad de cero y una línea (dimensionalidad 1).
Triángulo de Sierpinski
Empezamos con un triángulo equilátero, conecte los puntos medios de los tres lados y retire el triángulo interior resultante.
Construir el triángulo de Sierpinski.
Iterando el primer paso.
Construir el triángulo de Sierpinski.
El Triángulo de Sierpinski.
Cálculo de la dimensión ... D = log (N) / log (r) = log (3) / log (2) = 1,585. Esta vez obtenemos un valor entre 1 y 2.
La dimensionalidad de un atractor extraño
- La trayectoria de un atractor extraño no puede cruzarse con sí mismo. (¿Por qué?)
- Trayectorias cercanas divergen de manera exponencial. (¿Por qué?)
- Pero el atractor es limitada al espacio de fase.
- La trayectoria no llena el espacio de fases.
Autosemejanza
An (definir) propiedad importante de un fractal es la auto-similitud , que se refiere a un agrupamiento infinito de la estructura en todas las escalas. Similitud auto estricto, se refiere a una característica de una forma exhibido cuando una subestructura se asemeja a una superestructura en la misma forma.Mandelbrot
Encontrado iterandoz n + 1 = z n 2 + c.
donde z es un número complejo. z 0 . = 0
Para diferentes valores de c, las trayectorias bien:. alojarse cerca del origen, o "escapar"
El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de puntos que no están en el Conjunto Escape.
El conjunto de Mandelbrot. Los puntos en el conjunto están pintados de negro.
El Escape Set diferencia en la velocidad de escape, gráficamente representado con diferentes colores o altitudes ...
Construido utilizando el programa informático "La Belleza de Fractal Lab", por Thomas Eberhardt.
Entonces, ¿qué es un fractal?
Un objeto geométrico irregular con una anidación infinita de la estructura en todas las escalas.¿Por qué nos preocupamos por los fractales?
- Los objetos naturales son fractales.
- Trayectorias caóticas (atractores extraños) son fractales.
- La evaluación de las propiedades fractales de una serie de tiempo observada es informativo.
No hay comentarios:
Publicar un comentario