domingo, 8 de marzo de 2015

GEOMETRÍA - FRACTALES

 dimensión fractal de empaquetado es una forma de dimensión fractal que en ciertos casos difiere de las dimensiones fractales de Minkowski-Bouligand y de Hausdorff-Besicovitch.- ...........................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=ceb3400d843ca917b4628af913e095d1a3429352&writer=rdf2latex&return_to=Dimensi%C3%B3n+de+empaquetado


La dimensión de Hausdorff o dimensión de Hausdorff-Besicovitch es una generalización métrica del concepto de dimensión de un espacio topológico, que permite definir una dimensión fraccionaria (no entera) para un objeto fractal.- .........................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=7ec88e1c8a3d42bea1d8f82e3a416b79d9c65ebd&writer=rdf2latex&return_to=Dimensi%C3%B3n+de+Hausdorff-Besicovitch

 Dimensión de Hausdorff-Besicovitch

Recubrimiento por bolas

Fig. 32-01 - Recubrimiento por bolas
Esta dimensión no es un concepto topológico sino métrico. La dimensión de un conjunto está relacionada con el número de bolas necesarias para recubrirlo.
Vamos a poner unos ejemplos:
Supongamos un segmento de longitud l que vamos a dividir en un número N(L) de segmentos de igual longitud L. La dimensión D del segmento original cumplirá, cualquiera que sea L y l, la siguiente igualdad:
(1) N(L) * LD = l
Igualmente se cumplirá si partimos de un cuadrado de superficie l y lo cubrimos con unidades cuadradas de longitud L. Véase la fig. 32-1.
En el caso del segmento D = 1 cualesquiera que sean l y L. Veamos unos casos:
l = 2 y L = 1 y N(L) = 2. Entonces: 2 * 11 = 2.
l = 2, L = 2/3, N(L)=3. Entonces: 3 * (2/3)1 = 2.
En el caso del cuadrado, D = 2, cualesquiera que sean l y L. Veamos unos casos:
l = 6 * 6 = 36, L = 3, N(L) = 4. Entonces: 4 * 32 = 36.
l = 6 * 6 = 36, L = 2, N(L) = 9. Entonces: 9 * 22 = 36.
Para obtener entonces la dimensión D a partir de la fórmula (1), despejamos usando la función logaritmo:
log N(L) + D * log L = log l
Si partimos de que l sea la unidad entonces:
D = - log N(L) / log L
Puesto que log 1/L = - log L, tenemos:
(2) D = log N(L) / log (1/L)










dimensión fractal local, dimensión puntual o exponente de Hölder es un límite definido punto a punto para ciertas medidas definidas sobre un espacio métrico y que puede ser usado para caracterizar dichas medidas.

La dimensión fractal local o exponente de Hölder de una medida finita definida sobre \scriptstyle \R^n se define punto a punto como el límite:





(\mbox{dim}_{loc} \mu)(x) = \lim_{r\to 0} \frac{\log \mu(B(x,r))}{\log r}





El límite anterior no siempre existe por lo que común mente se defienen los límites superior e inferior para la misma magnitud:1





\begin{cases} ( \underline{\mbox{dim}}_{loc} \mu)(x) = 
\lim_{r\to 0} \inf \frac{\log \mu(B(x,r))}{\log r} \\ ( \overline{\mbox{dim}}_{loc} \mu)(x) =
\lim_{r\to 0} \sup \frac{\log \mu(B(x,r))}{\log r} \end{cases}





Si E \subset \R^n es un conjunto de Borel y \mu\, es una medida finita, se cumple que:


    

  • Si (\underline{\mbox{dim}}_{loc})(x) \ge s para todo x \in E y \mu(E)>0 entonces \mbox{dim}_H E \ge s.
    • 

  • Si (\underline{\mbox{dim}}_{loc})(x) \le s para todo x \in E entonces \mbox{dim}_H E \le s.
    • 

  • Si (\overline{\mbox{dim}}_{loc})(x) \le s para todo x \in E y \mu(E)>0 entonces \mbox{dim}_H E \le s.
    • 

  • Si (\overline{\mbox{dim}}_{loc})(x) \le s para todo x \in E entonces \mbox{dim}_H E \le s.
    • 




Donde:


\mbox{dim}_H (\cdot), es la dimensión de Hausdorff-Besicovitch.
\mbox{dim}_P (\cdot), es la dimensión de empaquetado.
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