Curva de Hilbert, el matemático alemán David Hilbert describe esta curva en 1891, como una curva fractal continua que recubre el plano, en la que cada una de las curvas que aproximan la curva final es simple, es decir, no se corta a sí misma.
Contenido
[ocultar]Historia
El matemático italiano Giuseppe Peano publicó en 1890, en Mathematische Annalen el primer ejemplo de una curva continua que llena el plano. Hilbert hizo una variación sobre ella (la curva de Hilbert) un año después.
Construcción
Este es un tipo de curva que rellena un cuadrado unidad de tal forma que el inicio de la curva estaría en la esquina inferior izquierda y el final en la parte inferior derecha. Su construcción se realiza siguiendo estos pasos:
- Se parte de un cuadrado unidad que se divide en 4 subdivisiones iguales. Después, cada subdivisión se numera de forma que dos números consecutivos se asocien a dos subdivisiones contiguas. Este es el paso inicial:
- Posteriormente, con cada subdivisión se realiza el mismo procedimiento que en el paso anterior, teniendo en cuenta además que la numeración debe hacerse de forma que las primeras subdivisiones que se recorran sean las correspondientes al primer cuadrado recorrido en el paso anterior. Este sería el siguiente paso:
- Así, se va realizando este proceso un número n de veces suficientemente grande hasta que el tamaño de las áreas de cada subdivisión tienda a cero y la curva tienda a ocupar toda la superficie del cuadrado (la trayectoria de la curva es densa en el cuadrado, y en el infinito igual al cuadrado).
Aplicaciones
La Curva de Hilbert tiene aplicación práctica en el tratamiento de imágenes, en un proceso conocido como dithering (SIGGRAPH 1991).
La curva de Hilbert ofrece una alternativa al escaneo de una imagen línea a línea. Esto permite aplicarla para conseguir, por ejemplo, difuminados o degradados de mejor calidad. Difuminar a lo largo de la curva de Hilbert, que es extremadamente irregular para nuestro sistema sensorial, elimina el problema de la adyacencia de puntos que posee un escaneo en líneas horizontales.
curva de Lévy C es un fractal autosimilar. Descrita por primera vez por Ernesto Cesàro en 19061 y G. Farber en 1910,2 hoy lleva el nombre del matemático francés Paul Pierre Lévy quien, en 1938, fue el primero en exhibir sus propiedades de autosimilaridad y proveer una construcción geométrica.
curva de Peano, nombre en honor al matemático italiano Giuseppe Peano, es un tipo de curva continua que "recubre" todo el plano (específicamente, la curva es un conjunto denso del plano). Este tipo de curvas se obtienen mediante una sucesión de curvas continuas sin intersecciones que convergen a una curva límite. La curva límite de o curva de Peano de hecho es un objeto fractal interesante, ya que aunque su dimensión topológica es 1 su dimensión fractal de Hausdorff-Besicovitch es 2.
Técnicamente la curva de Peano es el límite de una sucesión de curvas con las siguientes propiedades:
- Cada una de las curvas es continua y la sucesión converge uniformemente.
- Cada función es inyectiva, y es homeomorfa a un intervalo.
Esas dos propiedades implican que la curva límite satisfará las siguientes condiciones:
- Será una curva continua e inyectiva.
- La curva de Peano es equipotente a la región [0; 1]x[0; 1]; sin embargo la dimensión de la curva peaniana es 1 y del cuadrado es 2.
La construcción puede generalizarse a cualquier dimensión n y pueden construirse curvas (con dimensión topológica 1) pero cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch iguala la del espacio. Esto último implica que la clausura topológica en el espacio euclídeo de dicha curva tiene un volumen n-dimensional diferente de cero.
curva del dragón es un fractal que se construye siguiendo los siguientes pasos:
- A partir de un segmento, se construye el triángulo rectángulo e isósceles, como lo muestra las dos primeras figuras. Luego se borra el segmento inicial.
- Se repite un sinfín de veces el proceso de remplazar un segmento por otros dos para cada línea de la curva, alternando siempre la orientación de los triángulos.
- La siguiente figura muestra los trece primeros pasos:Agrandando la imagen y después de una veintena de iteraciones, se obtiene la curva del dragón:
Esta curva llega a rellenar completamente una parte del plano, por lo que su dimensión fractal debe ser 2. El cálculo de su dimensión se hace como en el copo de nieve de Koch, pues las construcciones de ambas curvas son similares.
Si uno se fija en el primer paso de la construcción, se observa que a partir del segmento inicial se obtienen los otros catetos del primer triángulo mediante dos similitudes (una es indirecta) de razón
, de centros los extremos del segmento, y de ángulos 
radianes (o sea 45º). Llamemos s1 y s2 éstas dos similitudes. Por construcción misma, la enésima figura obtenida en el proceso, Dn, es la reunión de las imágenes por s1 y s2 de la figura anterior Dn-1:
Si uno se fija en el primer paso de la construcción, se observa que a partir del segmento inicial se obtienen los otros catetos del primer triángulo mediante dos similitudes (una es indirecta) de razón
, de centros los extremos del segmento, y de ángulos radianes (o sea 45º). Llamemos s1 y s2 éstas dos similitudes. Por construcción misma, la enésima figura obtenida en el proceso, Dn, es la reunión de las imágenes por s1 y s2 de la figura anterior Dn-1:
Tomando el límite de ésta relación ( n tiende hacia + ∞), y llamando D = D∞ la curva del dragón, obtenemos:
.
Es decir que D es la reunión de dos copias de si misma, a escala 
, como se puede ver en la figura siguiente:
, como se puede ver en la figura siguiente:
Por tanto si agrandamos D con una homotecia de razón
, obtenemos dos veces D, a la misma escala. Si D es de dimensión d, su "volumen" es multiplicado por
por esta homotecia. Aquí tenemos pues:
y por tanto d = 2.
Y para rematar, una sorprendente propiedad de la curva del dragón: Se puede pavimentar el plano con ella, es decir rellenarlo sin dejar huecos y sin que se sobrepongan dos o más "piezas":
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