MATEMÁTICAS - EPÓNIMOS

 camino hamiltoniano, en el campo matemático de la teoría de grafos, es un camino de un grafo, una sucesión de aristas adyacentes, que visita todos los vértices del grafo una sola vez. Si además el último vértice visitado es adyacente al primero, el camino es un ciclo hamiltoniano.

El problema de encontrar un ciclo (o camino) hamiltoniano en un grafo arbitrario se sabe que es NP-completo.

Los caminos y ciclos hamiltonianos se llaman así en honor de William Rowan Hamilton, inventor de un juego que consistía en encontrar un ciclo hamiltoniano en las aristas de un grafo de un dodecaedro. Hamilton resolvió este problema usando cuaterniones, aunque su solución no era generalizable a todos los grafos.- .............................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=63bd0810d1cc2252e66feb49835ecebb566bf866&writer=rdf2latex&return_to=Camino+hamiltoniano

Sea G=(V,E) un grafo no dirigido, se llama:

Camino hamiltoniano: camino P en G=(V,E) que contiene todos los vértices de G.

Ciclo hamiltoniano: ciclo de G que contiene todos los vértices de G.

 Su origen se remonta al siglo XIX. Escúchalo en el enlace Introducción a los grafos hamiltonianos.

Al contrario de lo que ocurre con los grafos eulerianos, no se conoce una condición necesaria y suficiente que caracterice a un grafo hamiltoniano, por lo que determinar si un grafo dado es o no hamiltoniano es complicado.

Hemos seleccionado unos cuantos resultados que nos ayudarán en un gran número de casos, pero que sólo son una pequeña parte de la bibliografía existente.

Comentamos el problema del viajante, es decir, búsqueda de caminos hamiltonianos de mínimo peso, en uno de los ficheros polimedia. En la práctica del final del capítulo estudiarás qué se entiende y cómo se puede obtener un ciclo hamiltoniano de bajo peso.

Recuerda que en la práctica al final del capítulo encontrarás problemas que precisan de modelización para su resolución. Si no tienes un ordenador a mano, puedes analizarlos, pensar cuál sería el grafo adecuado y concretar cuál será el objetivo dentro ya de la teoría de grafos.

Planificación horaria

 característica de Euler o característica de Euler-Poincaré es un invariante topológico, un número definido que sirve para ampliar una clase de espacios topológicos. Es denotada generalmente por  (la letra griega Ji).- .......................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=0ff007c04b73cafe0748a0563ca5e7c6166bdc48&writer=rdf2latex&return_to=Caracter%C3%ADstica+de+Euler

El concepto de cohomología es una de las herramientas principales en la geometría moderna. Sin embargo, la gran mayoría de los estudiantes lo desconoce, aunque todo lo que se necesita para su comprensión son los conocimientos estándares del cálculo integral.

En lo que sigue, solamente consideraremos funciones diferenciables, sin hacer una mención especial de este hecho.

En el cálculo, existen varias fórmulas que permiten reducir la integral sobre una figura geométrica (tal como una curva o una superficie) a la integral sobre la frontera de esta figura. La más sencilla de estas fórmulas es la de Newton-Leibniz:

∫ba(dF/dx)dx=F(b)−F(a).

Las otras son el teorema de Green:

∫∂DFdx+Gdy=∬D(∂G∂x−∂F∂y)dxdy,

el teorema de Kelvin-Stokes:

∬Σ(∂R∂y−∂Q∂z)dydz+(∂P∂z−∂R∂x)dzdx+(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∮∂ΣPdx+Qdy+Rdz,

y la fórmula de Gauss-Ostrogradsky:

∬∂VPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭V(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dxdydz,

Existe un lenguaje para describir la integración que permite considerar todas estas igualdades como casos particulares de la misma fórmula. En este lenguaje, la expresión que se integra se llama forma diferencial, y la figura geométrica sobre la que se hace la integración se llama cadena.

La definición de una cadena formaliza la propiedad aditiva de la integral: la integral sobre la unión de dos dominios disjuntos de integración (por ejemplo curvas, superficies) es la suma de las integrales sobre las partes. La idea es que muchas figuras geométricas se pueden subdividir en partes pequeñas, cada una de las cuales se puede parametrizar por un intervalo, cuadrado, o más generalmente, un cubo de dimensión p. Las curvas, por ejemplo, se pueden subdividir en segmentos parametrizados por intervalos.

Una cadena de dimensión p en un abierto U⊆Rn se define como una combinación lineal formal ∑kifi de un número finito de símbolos fi, con coeficientes ki∈Z, donde cada firepresenta una función continua fi:[0,1]p→U. Por ejemplo, una cadena de dimensión 1 es una combinación lineal de segmentos parametrizados en U. En este caso, la integral

∫∑kifiF1dx1+…+Fndxn

se define como

∑ki∫10(F1(fi(t))df1idt+…+Fn(fi(t))dfnidt)dt.

Aquí, fki es la k-ésima coordenada de fi.

A cada cadena c de dimensión p se le asocia una cadena ∂c de dimensión p−1, llamada la frontera de c. Cuando c=fi, la frontera ∂fi es una suma alternante de las restricciones de fi a todas las caras del cubo [0,1]p:

∂fi=∑±fi |[0,1]k×τ×[0,1]p−k−1,

donde τ∈{0,1} y el signo es positivo cuando k+τ es impar y negativo, en el caso contrario. En el caso general c=∑kifi, definimos ∂c=∑ki∂fi.

Una cadena c tal que ∂c=0 se llama ciclo. Se puede verificar que, para cualquier cadena c, se cumple que ∂(∂c)=0; es decir, la frontera de una frontera es cero. Sin embargo, pueden existir ciclos que no son fronteras: esto depende de la forma geométrica del abierto U; en particular, de la existencia de agujeros en U. Por ejemplo, una curva cerrada produce un ciclo, ya que se puede representar por medio de f:[0,1]→U con f(0)=f(1) y ∂f=f(1)−f(0)=0. Se puede demostrar que el círculo unitario en U=R2−(0,0) no es frontera de ninguna cadena de dimensión 2 en U.

Una forma diferencial de grado p en U⊆Rn es una expresión de la forma

∑αFα(x1,…xn)dxα1…dxαp,

donde la suma se extiende sobre todas la sucesiones de números naturales α=(α1,α2,…,αp) con 1≤α1<α2<…<αp≤n. Una forma de grado 0 simplemente es una función definida en U.

Será conveniente permitir que αk≥αk+1 y declarar que el permutar dos símbolos adyacentes dxαk y dxαk+1 cambia el signo del término correspondiente. Por ejemplo,

F(x,y)dxdy=−F(x,y)dydx.

Esta convención implica que todos los términos que contienen el mismo dxαi más de una vez son cero, ya que

dxαidxαi=−dxαidxαi.

En particular, usando esta convención, vemos que dos formas diferenciales se pueden multiplicar:

Fdxα1…dxαp⋅Gdxβ1…dxβq=FGdxα1…dxαpdxβ1…dxβq.

Así, el producto de una forma de grado p y una forma de grado q es una forma de grado p+q. Con esta multiplicación, la expresión F(x1,…xn)dxα1…dxαp se puede entender como el producto de la forma F(x1,…xn) de grado cero y p formas dxαi de grado 1. Notemos que la multiplicación de formas no es conmutativa, ya que dxrdxs=−dxsdxr.

A cada forma diferencial ω de grado p, se le asocia una forma dω de grado p+1, llamada la derivada exterior de ω. Para ω=F(x1,…xn)dxα1…dxαp, se define

dω=(∂F∂x1dx1+…+∂F∂xndxn)dxα1…dxαp.

En particular, la derivada exterior de la función coordenada xk es dxk. Esta definición se extiende a todas las formas de grado p declarando que la derivada exterior debe ser lineal. Se puede verificar que, para cualquier forma diferencial ω, se cumple que d(dω)=0.

Ahora, cualquier forma diferencial de grado p en U⊆Rn se puede integrar sobre cualquier cadena de dimensión p en U. La integral es aditiva con respecto tanto a la suma de las formas como a la suma de cadenas, así que es suficiente definir la integral de F(x1,…,xn)dxα1…dxαp sobre f:[0,1]p→U: es simplemente la integral iterada

∫[0,1]pF(f1,…fp)dfα1…dfαp,

donde, como antes, fk es la k-ésima componente de f.

Todas las fórmulas del cálculo integral que hemos mencionado al prinicipio son casos particulares de la misma fórmula general:

∫cdω=∫∂cω.

Esta fórmula se conoce como el teorema de Stokes (aunque V.I. Arnol'd, peleando, como siempre, por la justicia, la llamaba la fórmula de Newton—Leibniz—Green—Gauss—Ostrogradsky—Stokes y Poincaré).

Las formas diferenciales ω con dω=0 se llaman formas cerradas; las formas cerradas de tipo ω=dζ se llaman exactas. Una clase de ejemplos de formas cerradas viene de funciones holomorfas. Si f es una función holomorfa en un abierto de C, la forma diferencial compleja (F+iG)dx+(iF−G)dy, donde F y G son las partes real e imaginaria de f, respectivamente, es cerrada. La fórmula de Stokes. en este caso, produce el teorema de Cauchy:

∮γfdz=0,

si f es holomorfa en el dominio delimitado por la curva γ⊂C.

En general, gracias al teorema de Stokes, la integral de una forma cerrada sobre un ciclo no cambia bajo las deformaciones del ciclo ni bajo sumarle una forma exacta. Vamos a decir que dos ciclos son homológos si su diferencia es una frontera c1−c2=∂v. La homología de ciclos es una relación de equivalencia; las clases de equivalencia de ciclos de dimensión k forman un grupo abeliano bajos la suma de ciclos. Este grupo se llama el k-ésimo grupo de homología Hk(U) del abierto U∈Rn. De modo similar, decimos que dos formas cerradas de grado k son cohomólogas si su diferencia es una forma exacta: ω1−ω2=dζ. Esto también es una relación de equivalencia; las clases de cohomología de formas cerradas de grado k forman el k-ésimo grupo de cohomología Hk(U). El teorema de Stokes afirma que la integral de una forma cerrada ω sobre un ciclo c solamente depende de la clase de homología de c y la clase de cohomología de ω.

Resulta que los grupos de homología y cohomología de U son características topológicas muy útiles. En realidad, no sólo se pueden definir para abiertos en Rn, sino para espacios mucho más generales (notemos, por ejemplo, que la definición de los grupos de homología no utliza el hecho de que U es abierto). Se pueden calcular usando métodos combinatorios, juegan un papel importante en varios problemas de análisis y geometría y tienen generalizaciones importantes. Las ramas de las matemáticas donde son de mayor relevancia son la topología algebraica, la geometría algebraica y el álgebra homológica.