conjetura de Brocard dice que existen al menos cuatro números primos comprendidos entre (pn)2 y (pn+1)2, para n > 1, donde pn es el n-ésimo número primo.1 Se cree que esta conjetura es cierta, pero a fecha de 2007 no se ha hallado una demostración.
El número de primos comprendidos entre los cuadrados de primos consecutivos es 2, 5, 6, 15, 9, 22, 11, 27, ... ((sucesión A050216 en OEIS)).
La conjetura de Legendre de que existe un número primo entre dos cuadrados consecutivos implica que hay al menos dos primos entre dos cuadrados de primos consecutivos para pn ≥ 3, ya que pn+1 - pn ≥ 2.
conjetura de Catalan (también conocida como teorema de Mihăilescu) es un teorema de teoría de números propuesto por el matemático Eugène Charles Catalan en 1884 y demostrado por primera vez por Preda Mihăilescu en abril de 2002.
Para entender esta conjetura, nótese que 2³ = 8 y 3² = 9 son dos números que son potencias consecutivas de números naturales. La conjetura de Catalan dice que éste es el único caso de dos potencias consecutivas.
Es decir, la conjetura de Catalan afirma que la única solución en el conjunto de los números naturales de
- xa − yb = 1
para x,a,y,b > 1 es x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.
En particular, nótese que no tiene importancia que los mismos números 2 y 3 estén repetidos en la ecuación 3² − 2³ = 1.
La conjetura de Catalan fue demostrada por Preda Mihăilescu en 2002. La prueba se publicó en el Journal für die reine und angewandte Mathematik, 2004. Hace un uso extensivo de la teoría de cuerpos ciclotómicos y módulo de Galois. Una exposición de dicha prueba fue dada por Yuri Bilu en el Seminario Bourbaki.
La conjetura hecha por el matemático belga Eugène Charles catalán en 1844 que el 8 y 9 ( 
y 
) son las únicas consecutivos poderes (excluyendo 0 y 1). En otras palabras,
y ) son las únicas consecutivos poderes (excluyendo 0 y 1). En otras palabras, |
(1)
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es la única solución no trivial para el problema del catalán Diophantine
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(2)
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y 
es el 
caso de una
Curiosamente, más de 500 años antes de Catalán formuló su conjetura, Levi ben Gerson (1288-1344) ya había señalado que las únicas potencias de 2 y 3 que al parecer se diferenciaban por 1 eran 
y 
(Peterson 2000).
y (Peterson 2000).
Esta conjetura había desafiado todos los intentos de demostrar que durante más de 150 años, aunque Hyyrő y Makowski demostraron que no hay tresconsecutivos poderes existen (Ribenboim 1996), y también se sabe que el 8 y 9 son los únicos consecutivos cúbicos y números cuadrados (en cualquier orden). Por último, el 18 de abril de 2002, Mihăilescu envió un manuscrito demostrando toda la conjetura a varios matemáticos (van der poorten 2002). La prueba ha aparecido ahora en la impresión (Mihăilescu 2004) y es ampliamente aceptado como correcto y válido (Daems 2003, Metsänkylä 2003).
Tijdeman (1976) mostró que sólo puede haber un finito número de excepciones debería la conjetura se sostiene. Un progreso más reciente mostró que el problema es decidible en un finito (pero más de astronómico) número de pasos y que, en particular, si 
y 
son poderes , a continuación, 
(Guy 1994, p. 155). En 1999, M. Mignotte demostró que si existe una solución no trivial, entonces 
, 
(Peterson 2000).
y son poderes , a continuación, (Guy 1994, p. 155). En 1999, M. Mignotte demostró que si existe una solución no trivial, entonces , (Peterson 2000).
También se ha sabido que si existen soluciones adicionales a la ecuación, ya sea los exponentes 
deben ser dobles Wieferich pares principales ,o 
y 
deben cumplir una condición de divisibilidad número de clase (Steiner 1998). Las limitaciones de esta condición número de clase se continua mejora el arranque y Inkeri (1964) y continuando a través de la obra de Steiner (1998). Luego, en la primavera de 1999, Bugeaud y Hanrot demostraron la condición de número de la clase más débil posible sostiene incondicionalmente (es decir, con independencia de si 
y 
son un par primer doble Wieferich o no). Posteriormente, en otoño de 2000, Mihailescu demostró que el Wieferich par primer doble condición también debe sostener incondicionalmente (Peterson 2000).
deben ser dobles Wieferich pares principales ,o y deben cumplir una condición de divisibilidad número de clase (Steiner 1998). Las limitaciones de esta condición número de clase se continua mejora el arranque y Inkeri (1964) y continuando a través de la obra de Steiner (1998). Luego, en la primavera de 1999, Bugeaud y Hanrot demostraron la condición de número de la clase más débil posible sostiene incondicionalmente (es decir, con independencia de si y son un par primer doble Wieferich o no). Posteriormente, en otoño de 2000, Mihailescu demostró que el Wieferich par primer doble condición también debe sostener incondicionalmente (Peterson 2000).
Una generalización a enteros de Gauss que difieren por una unidad está dada por
 conjetura de Collatz, conocida también como conjetura 3n+1 o conjetura de Ulam (entre otros nombres), fue enunciada por el matemático Lothar Collatz en 1937, y a la fecha no se ha resuelto.- .....................................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=ea9997831cee0ae48ffb7c95c1315985ac926162&writer=rdf2latex&return_to=Conjetura+de+Collatz el problema de Collatz, que consiste en lo siguiente: vamos a construir una sucesión tal que an+1 = an/2 si an es par, y an+1 = 3 an+1 si es impar. Al final, siempre llegaremos a un momento en que los términos con valor 4-2-1 se repetirán de forma indefinida.
donde pn denota el n-ésimo número primo y "log" denota el logaritmo natural. Esta conjetura aún no ha sido demostrada ni refutada, y es improbable que lo sea en un futuro cercano. Se fundamenta en un modelo probabilístico (en esencia, una heurística) de los números primos, en el cual se presupone que la probabilidad de que un número naturalsea primo es
 . Este modelo se conoce como el modelo de Cramér de los números primos. De ahí, se puede demostrar que la conjetura es cierta con probabilidad uno.2
Shanks conjeturó la igualdad asintótica de diferencias maximales entre primos consecutivos, un enunciado más fuerte.3
También Cramér formuló otra conjetura sobre diferencias entre primos consecutivos:
que demostró presuponiendo la (aún por demostrar) hipótesis de Riemann.
Además, E. Westzynthius demostró en 1931 que4
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para la cual 
. Maier propuso 
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