domingo, 8 de marzo de 2015

MATEMÁTICAS - EPÓNIMOS

 condición de frontera de Neumann (o de segundo tipo) es un tipo de condición de frontera o contorno, llamada así en alusión a Carl Neumann.1 Se presenta cuando a una ecuación diferencial ordinaria o en derivadas parciales, se le especifican los valores de la derivada de una solución tomada sobre la frontera o contorno del dominio.
En el caso de una ecuación diferencial ordinaria, por ejemplo, puede ser:
\frac{d^2y}{dx^2} + 3 y = 1
sobre el intervalo [0,1] las condiciones de frontera de Neumann toman la forma:
\begin{cases}\frac{dy}{dx}(0) = \alpha_1 \\ \frac{dy}{dx}(1) = \alpha_2 \end{cases}
donde \alpha_1 y \alpha_2 son números dados.
Para una ecuación diferencial en derivadas parciales sobre un dominio \Omega \subset \mathbb{R}^n tal como:
\nabla^2 y = 0
donde \nabla^2 es el laplaciano, la condición de frontera de Neumann toma la forma:
\frac{\partial y}{\partial \mathbf{n}}(x) = f(x) \quad \forall x \in \partial\Omega.
Aquí \mathbf{n} es la normal a la frontera \partial\Omega y f es una función escalar.
La derivada normal utilizando la regla de la mano izquierda se define como:
\frac{\partial y}{\partial \mathbf{n}}(x)=\nabla y(x)\cdot \mathbf{n}(x)
donde \nabla es el gradiente (vector) y el punto es el producto interno con el vector normal unitario n.



Las condiciones de frontera de Robin son una combinación ponderada de las condiciones de Dirichlet y Neumann. Es el contraste de la condiciones de frontera mixtas, las cuales son condiciones de frontera de diferentes tipos especificadas en diferentes subconjuntos de la frontera. Las condiciones de frontera de Robin también se denominancondiciones de frontera de impedancia, por su aplicación en problemas electromagnéticos.
Si Ω es el dominio sobre el cual se resuelve la ecuación dada y ∂Ω es su frontera, la condición de Robin es:
a u + b \frac{\partial u}{\partial n} =g \qquad \text{on } \partial \Omega\,
para algunas constantes distintas de cero a y b y una función dada g definida sobre ∂Ω. Aquí, u es la solución desconocida definida sobre Ω y ∂u/∂n es la derivada normal en la frontera. En general a y b pueden ser funciones dadas en lugar de constantes.
En una dimensión, si, por ejemplo, Ω = [0, 1], la condición de frontera de Robin es:
\begin{cases}a u(0) - bu'(0) =g(0)\,\\ a u(1) + bu'(1) =g(1).\,\end{cases}
donde se puede observar el cambio de signo en el frente que involucra la derivada: esto esporque la normal a [0, 1] en 0 apunta en la dirección negativa, mientras que en 1 apunta en dirección positiva.
Las condiciones de frontera de Robin se utilizan frecuentemente para resolver problemas de Sturm-Liouville que aparece en muchos contextos en la ciencia y la ingeniería.
Además, la condición de frontera de Robin es una forma general de condiciones de frontera aisladas para las ecuaciones de convección-difusión. En estas ecuaciones, la suma de los flujos convectivos y difusivos en la frontera son cero:
-D \frac{\partial c(0)}{\partial x}+ u_x(0)\,c(0)=0\,
donde D es la constante de difusión, u la velocidad de convección en la frontera y c es la concentración. El primer término es el resultado de la ley de difusión de Fick.



conjetura de Andrica (por Dorin Andrica) es una conjetura sobre las diferencias entre números primos consecutivos1
La conjetura establece que la desigualdad
\sqrt{p_{n+1}} - \sqrt{p_n} < 1
se cumple para todo n, donde p_n es el n-ésimo número primo. Si g_n = p_{n+1} - p_n denota la n-ésima diferencia entre primos consecutivos, la conjetura de Andrica puede expresarse como
g_n < \sqrt{p_{n+1}}+\sqrt{p_n}. .- .............................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=3a7917a6f79a6222d9381e4ad055988c0fd0566a&writer=rdf2latex&return_to=Conjetura+de+Andrica


Comprobar conjeturas con hoja de cálculo – Andrica

Esta entrada participa en la Edición 5.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matesdedavid


Nota importante: Hoy iniciamos una serie sobre conjeturas. Con ella no se pretende impartir teoría ni ilustrar temas de actualidad. Simplemente deseamos hacer ver que cuestiones de índole superior se pueden tratar con instrumentos simples. Si a través de ellos logramos interesar a los lectores para que investiguen más habremos conseguido nuestro objetivo. Como siempre en este blog usaremos la hoja de cálculo, instrumento excelente para presentar propiedades. Para no cansar a los seguidores del blog no las publicaremos de forma consecutiva.


Conjetura de Andrica

La conjetura de Andrica se expresa algebraicamente mejor que con palabras. Si representamos por pn el número primo que aparece en el lugar n de su lista, la conjetura se expresa como

“La diferencia entre las raíces cuadradas de dos números primos consecutivos es siempre menor que 1”

Sobre su historia, autor y algunas consideraciones interesantes, en lugar de copiarlas aquí remitimos a una destacada entrada del blog “Gaussianos” (http://gaussianos.com/la-conjetura-de-andrica-o-que-distancia-hay-entre-dos-numeros-primos-consecutivos/)

Lo que nos interesa en esta entrada tiene carácter más humilde, y es la comprobación de esta conjetura con una hoja de cálculo y nivel medio de dificultad. Para ello necesitas dos funciones: ESPRIMO, que te devuelve si un número es primo o no y PRIMPROX, que encuentra el menor número primo que es mayor que uno dado (sea primo o no). Para evitarte tratar con definiciones de funciones y con el BASIC de las hojas, hemos creado la herramienta conjeturas.xlsm (yconjeturas,ods), que se encuentran en la dirección

http://hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#conjeturas

La primera hoja contiene el espacio de trabajo, la segunda el catálogo de funciones implementadas y la tercera los enunciados de las conjeturas. Este archivo se podrá ir actualizando sin previo aviso conforme se vayan tratando conjeturas nuevas.

Supondremos, pues, que tienes abierta la hoja conjeturas. Puedes comenzar una tabla en la que figuren en la primera columna todos los números primos (verás cómo) y en la segunda los siguientes primos de cada uno de ellos. Después, en una tercera escribimos la diferencia de las raíces cuadradas de ambos.

Construcción de la tabla

Comienza, por ejemplo, escribiendo un 2 en la celda B2. Usa la función PRIMPROX para escribir el siguiente primo en C4: =PRIMPROX(B4). Evidentemente obtendrás un 3.

En la celda D4 escribe la diferencia de raíces cuadradas =RAIZ(C4)-RAIZ(B4)



Para que puedas extender la tabla hacia abajo, en la celda B5 copia el contenido de la C4, pero como fórmula, =C4. No uses Copiar y Pegar. Obtendrás un 3, como era de esperar.



Con el controlador de relleno copia hacia abajo las celdas C4 y D4



Lo que te queda por hacer es muy sencillo: de nuevo con el control de relleno copia las tres nuevas celdas de la fila 5 hacia abajo hasta el número de filas que desees:



Hemos marcado en negrita la máxima diferencia, y como era de esperar, todas son menores que la unidad.

Aunque ya están publicados, te puedes dar la satisfacción de crear tu propio gráfico, añadiendo, por ejemplo, otra columna con los números de orden:



En el gráfico se aprecia la máxima diferencia antes de llegar al 11 y que la tendencia general es que, con grandes oscilaciones, los valores tienden a cero, lo que da confianza en que la conjetura sea cierta.
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