domingo, 3 de enero de 2016

Física

Cinemática

Alcance máximo en un plano inclinado

el alcance máximo se obtiene para el ángulo de tiro de 45º, cuando el cañón y el blanco están  en una superficie horizontal.
En esta página, vamos a estudiar el movimiento de un proyectil cuando el blanco está sobre un plano inclinado, y a calcular el ángulo de tiro para el cual el alcance es máximo.
Este ejemplo, nos permiten estudiar en detalle la trayectoria parabólica y practicar con funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.

Alcance

Se dispara un proyectil desde el origen con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal, el punto de impacto está situado en un  plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.
Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son:
vx=v0·cosθ
vy=v0·senθ-g·t
La posición en función del tiempo es
x= v0·cosθ·ty= v0·senθ·t-g·t2/2
Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil.
Como las coordenadas x e y del punto de impacto están relacionadas por y=x·tanα, despejamos el tiempo de vuelo t, de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria
El alcance R medido a lo largo del plano inclinado es
Cambio de Sistema de Referencia
Analizamos el movimiento del proyectil en un Sistema de Referencia en el que el eje X es paralelo al plano inclinado y el eje Y es perpendicular al mismo.
La aceleración de la gravedad g está dirigida verticalmente hacia abajo. Las componentes de la aceleración de la gravedad g y de la velocidad inicial v0 se muestran en la figura. Las ecuaciones del movimiento del proyectil son
x=v0·cos(θ-α)·t-g·senα·t2/2
y=v0·sen(θ-α)·t-g·cosα·t2/2
El tiempo de vuelo se determina poniendo y=0, y despejando el tiempo t.
Sustituimos el valor de t en la primera ecuación
En la figura, se representa el alcance R en función del ángulo de tiro θ, para θ>α

Alcance máximo

Derivando R con respecto del ángulo de tiro θ e igualando a cero obtenemos el ángulo de tiro θm para el cual el alcance es máximo.
El ángulo θ para el cual el alcance R es máximo vale
El alcance máximo sin cálculo de derivadas
Una forma alternativa de calcular el ángulo θm, sin tener que realizar un cálculo de derivadas es el siguiente:
Eliminamos el tiempo t, en de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, llegamos a la ecuación de la parábola (recuérdese que 1/cos2θ=1+tan2θ)
Las coordenadas x0 e y0 del punto de impacto están relacionadas y0=x0·tanα, llegamos a la siguiente ecuación de segundo grado en tanθ.
Las raíces de la ecuación de segundo grado son
Tenemos dos ángulos de tiro θ1 y el ángulo θ2 que dan lugar al mismo alcance Rm
, tal como apreciamos en la figura.
Empleamos las propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0
Haciendo algunas operaciones, relacionamos el ángulo θ1 y el ángulo θ2.
Cuando el alcance tiende hacia el valor máximo, los dos ángulos de tiro θ1 y θ2 se hacen cada vez más próximos hasta que coinciden. Las dos raíces son iguales θm=θ1=θ2.
Sustituyendo θm por α/2+π/4 en la expresión del alcance R al principio de la página
Otro modo de obtener el alcance máximo es el siguiente: el discriminante de la ecuación de segundo grado en tanθ, se hace cero, cuando la raíz es doble. Por tanto,
Despejamos Rm y sustituimos θm por α/2+π/4, obtenemos después de realizar algunas operaciones la misma expresión para Rm.
El tiempo de vuelo del proyectil para el ángulo θm vale
Simplificamos esta expresión hasta llegar a

Velocidad final y velocidad inicial

El ángulo que forma la velocidad final con el eje X es
Para el ángulo de disparo θm=π/4+α/2
El vector velocidad inicial v0 y el vector velocidad final vf son perpendiculares.

Ejemplo

  • La velocidad de disparo v0=60 m/s
  • La pendiente del plano inclinado α=20º
  • El ángulo de disparo θ1=60º
El alcance vale
El tiempo de vuelo vale
  • El ángulo de disparo θ1=50º
El alcance vale
El tiempo de vuelo vale
  • El ángulo para el cual el alcance es máximo (véase la última figura) es
El alcance para este ángulo vale
El tiempo de vuelo es
  • Ángulos de tiro que producen el mismo alcance R=200 m.
Podemos calcular los dos ángulos de tiro que producen el mismo alcance R<Rm, por ejemplo un alcance de R=200 m. Calculamos las raíces de la ecuación de segundo grado en tanθ
x0=R·cosα, x0=200·cos20º=187.9 m
θ1=37.7º, θ2=72.3º,  Como vemos θ1+θ2=90+20=110º, y θ1<θm<θ2



1 Enunciado

Se tiene el plano inclinado de la figura que forma un ángulo π / 4 con la horizontal. se dispara una partícula desde el punto más bajo, con una velocidad inicial \vec{v}_0, de módulo v0 y con un ángulo α con la horizontal.
  1. Calcula la distancia entre el punto de partida y el de impacto sobre el plano inclinado, así como la velocidad (vector) con la que impacta.
  2. Calcula el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria a lo largo de la trayectoria de la partícula, así como la potencia que la fuerza gravitatoria transmite a la partícula en cada instante.
  3. Para el caso α = π / 3, calcula las componentes intrínsecas de la aceleración en el punto de impacto y el radio de curvatura.

2 Solución

2.1 Punto de impacto sobre el plano inclinado

Antes de chocar con el plano inclinado el movimiento de la partícula es un tiro parabólico. El plano no interfiere con este movimiento. Vamos a describir el movimiento antes de que impacte en el plano.
Escogemos el eje X horizontal al suelo y el eje Y perpendicular, coincidiendo con la dirección de la gravedad. En esos ejes la aceleración de la partícula es
\vec{a} = -g\,\vec{\jmath}
Obtenemos la velocidad integrando la ecuación diferencial correspondiente
\mathrm{d}\vec{v} = \vec{a}\,\mathrm{d}t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} \mathrm{d}v_x = 0\\ \mathrm{d}v_y = -g \end{array} \right.
La primera ecuación nos dice que la componente horizontal de la velocidad es constante, mientras que la segunda implica que el movimiento vertical es un movimiento uniformemente acelerado. La velocidad inicial es
\vec{v}(0) = v_0\cos\alpha\,\vec{\imath} + v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}
Entonces la velocidad en cada instante es
\vec{v}(t) = v_0\cos\alpha\,\vec{\imath} + (v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha -g\,t)\,\vec{\jmath}
Integrando otra vez, y colocando el origen de coordenadas en el punto de partida tenemos
\vec{r}(t) = v_0\,t\,\cos\alpha\,\vec{\imath} + (v_0\,t\,\mathrm{sen}\,\alpha - \dfrac{1}{2}\,g\,t^2)\,\vec{\jmath}
Cuando la partícula impacta con el plano el ángulo que forma el vector de posición con el eje X es π / 4. Eso es equivalente a decir que las componentes en ambos ejes son iguales. A partir de ahí obtenemos el instante de tiempo para el que impacta con el plano
x(t_0) = y(t_0) \Longrightarrow t_0 = \dfrac{2v_0}{g}\,(\mathrm{sen}\alpha-\cos\alpha)
La distancia del origen al punto de impacto es
d = \dfrac{x(t_0)}{\cos(\pi/4)} = \dfrac{2\sqrt{2}v_0^2}{g}\,\cos\alpha\,(\mathrm{sen}\,\alpha-\cos\alpha)
La velocidad en el momento del impacto se obtiene sustituyendo el valor de t0 en la expresión de la velocidad
\vec{v}(t_0) = v_0\cos\alpha\,\vec{\imath} + v_0\,(2\cos\alpha -\mathrm{sen}\,\alpha)\,\vec{\jmath}

2.2 Trabajo realizado por la fuerza gravitatoria

Por definición, el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es igual a la variación de energía potencial gravitatoria cambiada de signo
W_g = -\Delta U_g = -m\,g\,y(t_0) = -m\,g\,x(t_0) = -2\,m\,v_0^2\,\cos\alpha\,(\mathrm{sen}\,\alpha-\cos\alpha)
En cada instante, la potencia de la fuerza gravitatoria sobre la partícula es
P_g = \vec{F}_g\cdot\vec{v} = (-mg\,\vec{\jmath})\cdot(v_x\,\vec{\imath} + v_y\,\vec{\jmath}) = -m\,g\,v_y
Sustituyendo la expresión de la componente de la velocidad tenemos
P_g = -m\,g\,(v_0\,\mathrm{sen}\alpha - g\,t)

2.3 Componentes intrínsecas de la aceleración en el punto de impacto

Si α = π / 3 la velocidad en el punto de impacto es
\vec{v}_i = \dfrac{1}{2}\,v_0\,\vec{\imath} + \left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\,v_0\,\vec{\jmath}
La aceleración es la misma siempre
\vec{a}_i = \vec{a} = -g\,\vec{\jmath}
La componente tangencial es
a_T = \dfrac{\vec{a}_i\cdot\vec{v}_i}{|\vec{v}_i|} = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\,g = 0.259\,g
La componente normal es
a_N = \sqrt{g^2-a_T^2} = \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\,g = 0.966\,g
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