Física

Cinemática

Se dispara un proyectil contra un blanco móvil

Un cañón dispara un proyectil con velocidad v, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Un carro de combate situado a una distancia d del cañón, en el momento del disparo, se mueve con velocidad constante u hacia el cañón. Se tratará de determinar el ángulo (o los ángulos) de disparo que hacen que el proyectil impacte en el carro de combate.
 

Descripción

El proyectil se mueve bajo la aceleración constante de la gravedad, que es la composición de dos movimientos

• Uniforme a lo largo del eje horizontal X

a_x=0
v_x=v·cosθ
x= v·cosθ·t

• Uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical Y

a_y=-g
v_y=v·senθ-g·t
y= v·senθ·t-gt²/2

El movimiento del carro de combate es rectilíneo y uniforme. Su posición x en función del tiempo es

x=d-u·t

El impacto del proyectil sobre el carro de combate se produce para y=0, es decir, en el instante t=2·v·senθ/g
En dicho instante, han de coincidir las posiciones x de ambos móviles

Se pueden dar tres casos dependiendo de cual sean los datos y las incógnitas.

1. Se conoce la separación inicial d, el ángulo de tiro θ y la velocidad de disparo v. Calcular la velocidad u del carro de combate.

2. Se conoce la separación inicial d, el ángulo de tiro θ y la velocidad u del carro de combate. Calcular la velocidad de disparo v

3. El caso más interesante, es aquél en el que se conoce la separación inicial d, la velocidad de disparo v y la velocidad u del carro de combate, se pide calcular el ángulo (o ángulos) de tiro θ

Ángulos de disparo

Tenemos que hallar las raíces de la ecuación trascendente
v²·sen(2θ)+2u·v·senθ-d·g=0
Existen varios procedimientos, el más simple, es trazar la gráfica de la función z=f(θ)
z=v²·sen(2θ)+2u·v·senθ-d·g
y determinar aproximadamente, los puntos de corte de la función con el eje horizontal, tal como se aprecia en la figura.

El máximo de la función z se produce

para un ángulo θ_m independiente de la distancia d

Los dos ángulos buscados θ₁ y θ₂ están en los intervalos (0, θ_m) y (θ_m, π/2) respectivamente. Podemos emplear un procedimiento como el del punto medio para calcular cada una de las raíces de la ecuación trascendente
Existe una distancia d_m para la cual la ecuación trascendente tiene una sola raíz θ_m. El máximo de la función f(θ_m) es z=0.

Si la distancia d entre el cañón y el carro de combate es mayor que d_m, no hay ningún ángulo para el que se pueda producir impacto, la ecuación trascendente carece de raíces, tal como puede verse en la figura.

Un trozo de barro que se desprende de una rueda

Velocidad inicial del cuerpo

Como estudiaremos con más detalle en el capítulo Sólido rígido. El movimiento de rodar sin deslizar es la composición de dos movimientos:

• Movimiento de traslación del centro de masas con velocidad v₀
• Movimiento de rotación con velocidad angular ω alrededor de un eje perpendicular a la rueda y que pasa por el c.m.

El punto de contacto de la rueda con el suelo está en reposo, su velocidad es cero. La relación entre la velocidad de traslación del c.m. v₀ y de rotación ω alrededor del eje que pasa por el c.m. es v₀=ω·R

Para describir el movimiento del trozo de barro que se desprende del borde de la rueda establecemos un sistema de referencia de modo que en el instante inicial la posición de dicho cuerpo es x=0, y=0.

Posición y velocidad del cuerpo en el instante t₀

Al cabo de un cierto tiempo t=t₀, el cuerpo se ha trasladado v₀·t₀ y ha girado un ángulo φ=ω·t₀. Su posición en el instante en el que desprende de la rueda es

x₀=v₀·t₀-R·senφ
y₀=R-R·cosφ

Las componentes de la velocidad inicial del cuerpo son

v_0x=v₀-v₀·cosφ
v_0y= v₀·senφ

El módulo y la dirección de la velocidad inicial son, respectivamente

Ejemplo:

• Cuando φ=0, v=0
• Cuando φ=π/2, , θ=π/4
• Cuando φ=π, v=2v₀, θ=0

Posición y velocidad en el instante t Las componentes de la velocidad del cuerpo en el instante t son vx=v0-v0·cosφ vy= v0·senφ-g(t-t0) La posición del cuerpo en el instante t es x=x0+v0x·(t-t0)=v0·t0-R·senφ+ v0(1-cosφ) ·(t-t0) y=y0+v0y·(t-t0)-g(t-t0)2/2=R-R·cosφ+v0·senφ·(t-t0)-g(t-t0)2/2 Alcance y altura máxima El cuerpo llega al suelo cuando y=0. Una vez calculado (t-t0) se obtiene el alcance horizontal xm xm= v0·t0-R·senφ+ v0(1-cosφ) ·(t-t0) La altura máxima se alcanza cuando vy=0 Para que este cociente sea positivo, el ángulo φ debe estar en el intervalo 0<φ<π. El cuerpo se lanza hacia arriba si el ángulo φ está en este intervalo La altura ym también se puede calcular aplicando el principio de conservación de la energía. En la posición de lanzamiento y0=R-Rcosφ las componentes de la velocidad del cuerpo son v0x=v0-v0·cosφ v0y= v0·senφ La energía del cuerpo de masa m es En la posición de máxima altura ym la componente vy=0 de la velocidad, la componente vx no cambia. La energía Ef es Aplicamos el principio de conservación de la energía Ei=Ef y despejamos ym obteniendo el mismo resultado. Máximo valor de la altura máxima En la figura, se representa la altura máxima ym que alcanza el trozo de barro en función del ángulo φ cuando la velocidad de traslación de la rueda es de v0= 2 m/s. El radio de la rueda se ha fijado en R=1 m. El valor máximo de la altura máxima se alcanza cuando φ=π=180º Cuando la velocidad de traslación de la rueda es de v0= 5 m/s. El valor máximo de la altura máxima se alcanza cuando φ<π. Calculamos el ángulo φ para el cual ym presenta un máximo Esta ecuación tiene dos soluciones La primera solución, se obtiene haciendo senφ=0, φ=π, por lo que ym=2R La segunda solución, se obtiene haciendo Para que el coseno sea menor que la unidad, en valor absoluto, se tiene que cumplir que  Para que el coseno sea negativo, y al la vez que la trayectoria sea hacia arriba implica que el ángulo φ debe de estar en el intervalo π/2<φ<π. La máxima altura ym alcanzada por el cuerpo que se desprende de esta posición es Ejemplo: Se ha fijado el radio de la rueda en R =1 m Si v0=2 m/s Si el trozo de barro se desprende cuando φ=π/2, el instante t0 en el que se alcanza esta posición es t0=φ·R/v0=π/4=0.79 s Calculamos la altura máxima ym Para v0=5 m/s se cumple que 52>1·9.8 El ángulo φ que hace que la altura ym sea la máxima posible, véase la figura más arriba, es El instante t0 en el que se alcanza esta posición es t0=φ·R/v0=1.97/5=0.39 s