Física

Cinemática

Movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad

Descripción

En la figura tenemos un proyectil que se ha disparado con una velocidad inicial v0, haciendo un ángulo q  con la horizontal, las componentes de la velocidad inicial son Como el tiro parabólico es la composición de dos movimientos: movimiento rectilíneo y uniforme a lo largo del eje X uniformemente acelerado a lo largo del eje Y

Las ecuaciones del movimiento de un proyectil bajo la aceleración constante de la gravedad son:

Eliminado el tiempo en las ecuaciones que nos dan las posiciones x e y, obtenemos la ecuación de la trayectoria, que tiene la forma y=ax² +bx +c, lo que representa una parábola.
Obtenemos la altura máxima, cuando la componente vertical de la velocidad v_y es cero; el alcance horizontal x cuando el cuerpo retorna al suelo y=0.

Actividades

Resolver numéricamente los siguientes problemas y comprobar la solución con el programa interactivo
1.-Un avión en vuelo horizontal a una altura de 300 m y con una velocidad de 60 m/s, deja caer una bomba. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo, y el desplazamiento horizontal de la bomba.
2.-Se lanza un cuerpo desde el origen con velocidad horizontal de 40 m/s, y con una velocidad vertical hacia arriba de 60 m/s. Calcular la máxima altura y el alcance horizontal.
3.-Resolver el ejercicio anterior, tomando como lugar de lanzamiento la cima de una colina de 50 m de altura.
4.-Se lanza un proyectil desde una colina de 300 m de altura, con una velocidad horizontal de 50 m/s, y una velocidad vertical de -10 m/s (hacia abajo). Calcular el alcance horizontal y la velocidad con que llega al suelo.
5.-Un cañón dispara una bala desde lo alto de un acantilado de 200 m de altura con una velocidad de 46 m/s haciendo un ángulo de 30º por encima de la horizontal. Calcular el alcance, el tiempo de vuelo, y las componentes de la velocidad de la bala al nivel del mar. Hallar también la altura máxima. (Hallar primero, las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial).

Alcance horizontal y altura máxima

En el applet se trazan las trayectorias de proyectiles disparados con la misma velocidad inicial v₀ pero con los siguientes ángulos de tiro q : 10º, 20º, 30º, 40º, 45º, 50º, 60º, 70º, 80º, 90º.
 Las ecuaciones del movimiento de los proyectiles son
x=v₀·cosq ·t
y=v₀·senq ·t-g·t²/2

La parábola de seguridad

El alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para y=0.

Su valor máximo se obtiene para q =45º, teniendo el mismo valor para q =45+a , que para q =45-a . Por ejemplo, tienen el mismo alcance los proyectiles disparados con ángulos de tiro de 40º y 60º, ya que sen(2·40)=sen(2·60).
La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con v_y=0.

Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo q =90º.
La envolvente de todas las trayectorias descritas por los proyectiles cuyo ángulo de disparo está comprendido entre 0 y 180º se denomina parábola de seguridad.

Esta denominación hace referencia al hecho de que fuera de esta parábola estamos a salvo de los proyectiles disparados con velocidad v₀.
Se trata de la parábola simétrica respecto del eje Y de ecuación y=-ax²+b que pasa por los puntos (x=v₀²/g, y=0), y (x=0, y=v₀²/(2g)) tal como se ve en la figura.
La ecuación de dicha parábola es

Deducción alternativa de la ecuación de la parábola de seguridad

Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son

x=v₀·cosθ·t
y=v₀·senθ·t-gt²/2

Eliminado el tiempo t, obtenemos la ecuación de la trayectoria

Esta ecuación se puede escribir de forma alternativa

Consideremos un punto arbitrario P del plano. Sustituimos las coordenadas (x, y) del punto en la ecuación de la trayectoria y puede ocurrir

1. Que la ecuación de segundo grado en tanθ no tenga raíces reales. El punto P₁ no podría ser un punto de impacto para un proyectil disparado con velocidad inicial v₀.
2. Que la ecuación de segundo grado tenga dos raíces reales, lo que implicará que el punto P₂ es accesible, y que hay dos ángulos de tiro θ₁ y θ₂ que dan en el blanco P₂. En la figura, vemos que cualquier punto en el interior de la envolvente es alcanzado por dos trayectorias.
3. Cuando la raíz de la ecuación de segundo grado es doble θ₁=θ₂. Como vemos en la figura, solo hay una trayectoria que pasa por un punto P₃ dado de la envolvente.

Para que las raíces sean iguales, se tiene que cumplir que el discriminante b²-4ac de la ecuación de segundo grado ax²+bx+c=0 sea nulo.

Esta es la ecuación de la envolvente que hemos obtenido anteriormente.

La elipse que une las posiciones de altura máxima

La altura máxima se alcanza cuando v_y=0, en el intante t=v₀·senθ/g. La posición (x_h, y_h) del proyectil en este instante es

Teniendo en cuenta, la relación trigonométrica 1-cos(2θ)=2sen²θ

Despejando sen(2θ) en la primera ecuación, cos(2θ), en la segunda, elevando al cuadrado y sumando, eliminamos el ángulo 2θ.

Esta ecuación representa una elipse centrada en el punto (0, b) cuyos semiejes son 2b y b

La semidistancia focal c y la excentricidad e valen, respectivamente.

La excentricidad es un valor constante que no depende de ningún parámetro del movimiento.

Denominamos proyectil a todo cuerpo que una vez lanzado se mueve solo bajo la aceleración de la gravedad.

1. Disparo de proyectiles.Consideremos un cañón que dispara un obús desde el suelo (y0=0) con cierto ángulo θ menor de 90º  con la horizontal.

Las ecuaciones del movimiento, resultado de la composición de un movimiento uniforme a lo largo del eje X, y de un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y, son las siguientes: Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son x=v0·cosθ·t y=v0·senθ·t-gt2/2 Eliminado el tiempo t, obtenemos la ecuación de la trayectoria (ecuación de una parábola) Alcance. El alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para y=0. Su valor máximo se obtiene para un ángulo θ =45º, teniendo el mismo valor para  θ =45+a , que para θ =45-a. Por ejemplo, tienen el mismo alcance los proyectiles disparados con ángulos de tiro de 30º y 60º, ya que sen(2·30)=sen(2·60). 1.2. Altura máxima. La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con vy=0. Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo θ =90º. 1.3.Resumen. Tiempo de vuelo Alcance máximo Altura máxima Tiro parabólico con altura inicial.       Se dispara un proyectil desde una altura h sobre un plano horizontal con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura. Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son: vx=v0·cosθ vy=v0·senθ-g·t La posición del proyectil en función del tiempo es x= v0·cosθ·t y= h+v0·senθ·t-g·t2/2 Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil. Procediendo de igual manera podemos deducir las ecuaciones del alcance máximo, altura máxima y tiempo de vuelo. Tiro parabólico Se trata de un “movimiento rectilíneo uniforme” en su desarrollo horizontal y un “movimiento uniformemente variado” en su desarrollo vertical. En el eje vertical se comporta como el movimiento de “Tiro vertical”. Otro tipo de movimiento sencillo que se observa frecuentemente es el de una pelota que se lanza al aire formando un ángulo con la horizontal. Debido a la gravedad, la pelota experimenta una aceleración constante dirigida hacia abajo que primero reduce la velocidad vertical hacia arriba que tenía al principio y después aumenta su velocidad hacia abajo mientras cae hacia el suelo. Entretanto, la componente horizontal de la velocidad inicial permanece constante (si se prescinde de la resistencia del aire), lo que hace que la pelota se desplace a velocidad constante en dirección horizontal hasta que alcanza el suelo. Las componentes vertical y horizontal del movimiento son independientes, y se pueden analizar por separado. La trayectoria de la pelota resulta ser una parábola. Es un movimiento cuya velocidad inicial tiene componentes en los ejes "x" e "y", en el eje "y" se comporta como tiro vertical, mientras que en el eje "x" como M.R.U. Características de las componentes según los ejes: Eje v a x constante 0 y 9,81 m/s² g Ecuaciones del movimiento según los ejes: Eje "x" (MRU)   Eje "y" (MUV) 1) v = Δx/t Ecuación de velocidad 1) yf = y0 + v0.t + ½.g.t² Ecuación de posición   2) vf = v0 + g.t Ecuación de velocidad   3) vf² = v0² + 2.g.Δy   Ecuaciones de la trayectoria: Posición x = (v0.cos θ0).t y = (v0.sen θ0).t - ½.g.t²   Velocidad vx = v0.cos θ0 vy = v0.sen θ0 - g.t Altura máxima: como se explicó anteriormente, el comportamiento en el eje “y” es el característico del “Tiro vertical”, por lo tanto, para el cálculo de la altura máxima se emplean las mismas ecuaciones. 1) y Máxima = y0 + v0.t + ½.g.t² Ecuación de posición 2) 0 = v0 + g.t Ecuación de velocidad 3) 0 = v0² + 2.g.Δy   Recordar que el valor de la aceleración de la gravedad depende del paralelo (latitud) en que se determine dicho valor. En el ecuador (latitud = 0) la aceleración es igual a “9,78049 m/s²”, la aceleración promedio es de9,81 m/s², es usual usar un valor de 10 m/s² para agilizar la resolución de ejercicios.