Física

Cinemática

Composición de movimientos

Se propone al lector la resolución de  ejercicios que ponen de manifiesto que el tiro parabólico es la composición de dos movimientos:

• Un movimiento uniforme a largo del eje horizontal X
• Un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical Y.

Un blanco en caída libre

Una botella se deja caer desde el reposo en el instante en que una piedra es lanzada desde el origen.Determinar los valores del ángulo y de la velocidad de disparo para que la piedra rompa la botella. (Tómese g=9.8 m/s2)

Si la altura de la botella es cero. Es decir, la piedra y la botella están a la misma altura en el instante inicial. ¿Cuál será el ángulo de tiro?. Contestar a esta pregunta sin resolver numéricamente el problema
El movimiento curvilíneo de la piedra se realiza bajo la aceleración constante de la gravedad, es decir, es la composición de dos movimientos

• Uniforme a lo largo del eje horizontal

a_x=0
v_x=v_0·cosθ
x=v₀·cosθ·t

• Uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical.a_y=-g
  v_y=v_0·senθ-g·t
  y=v₀·senθ·t-gt²/2

La botella se mueve verticalmente bajo la aceleración constante de la gravedad

a=-g
v=-g·t
y=y₀-gt²/2

Cuando se produce el choque, la posición de la piedra y de la botella coinciden

Dividimos la segunda ecuación entre la primera. Para romper la botella debemos de apuntarla directamente y en el instante en el que se deja caer, se debe lanzar la piedra.

Ejemplo:

• Posición de la botella x₀=50 m e y₀=30 m
• Velocidad de disparo  v₀=20 m/s

El ángulo con el que tenemos que lanzar la piedra es tanθ=30/50, θ=31º

El impacto tiene lugar en la posición x= 50 m y en el instante

20·cos31º·t=50, donde t=2.92 s

En este tiempo la botella se encuentra en

y=y₀-gt²/2, es decir, y=30-9.8·2.92²/2=-11.65 m

Si la velocidad de disparo fuese de v₀=40 m/s, el impacto se produciría cuando la botella se encontrase en y=19.2 m sobre el suelo.

Un vehículo que dispara un proyectil

Vamos a estudiar en esta sección la trayectoria de un proyectil disparado desde un vehículo en movimiento cuando:

• Se mueve a lo largo de un plano horizontal
• Asciende a lo largo de un plano inclinado
• Desciende a lo largo de un plano inclinado

El vehículo se mueve a lo largo de un plano horizontal

Supongamos que un vehículo que se mueve con velocidad v_0x alo largo de un plano horizontal sin rozamiento. Dispara un proyectil con velocidad inicial v_0y perpendicularmente a la dirección de la velocidad del vehículo tal como se muestra en la figura.

El proyectil se mueve a lo largo de un plano horizontal, a lo largo del eje X con velocidad constante v_0x. Su posición en el instante t es

x’=v_0x·t

La posición del proyectil en función del tiempo, es

x=v_0x·t
y=v_0y·t-gt²/2

Cuando el proyectil regresa al plano horizontal y=0, emplea un tiempo de

T=2v_0y/g

La distancia horizontal o alcance es

R=2v_0x·v_0y/g

Que es la misma distancia x’ que recorre el vehículo en el tiempo T. Luego, el vehículo dispara el proyectil en el origen y lo recoge a una distancia de R=2v_0x·v_0y/g

Ejemplo:

v_0x=15 m/s 
v_0y=10 m/s

El tiempo T que tarda el proyectil en regresar la plano horizontal y el alcance R son

El vehículo recorre x’=30.6 m en el mismo tiempo

El vehículo asciende a lo largo de un plano inclinado

Supongamos que el vehículo asciende por un plano inclinado de ángulo θ.

Establecemos un sistema de referencia tal como se muestra en la figura, el eje X es horizontal y el eje Y es vertical. Calculamos las componentes X e Y de las velocidades iniciales. Las ecuación del movimiento del proyectil es la composición de dos movimientos: uniforme a lo largo del eje X y uniformemente acelerado a lo largo del eje Y

x=(v_0x·cosθ-v_0y·senθ)·t
y=(v_0x·senθ+v_0y·cosθ)·t-gt²/2

El punto de impacto se encuentra sobre el plano inclinado en la posición y=x·tanθ. Se despeja el tiempo t.

La distancia del origen al punto de impacto es

El vehículo se mueve a lo largo del plano inclinado. Si no hay rozamiento, la fuerza sobre el vehículo es la componente mg·senθ del peso que es de sentido contrario a la velocidadv_0x. La ecuación del movimiento a lo largo del plano inclinado es

x’=v_0x·t-g·senθ·t²/2

En el tiempo T que tarda el proyectil en chocar con el plano inclinado, se encuentra a una distancia R dada por la expresión anterior. El proyectil es disparado desde el vehículo en el origen en el instante t=0, y es recogido por el mismo vehículo en el instante T, cuando se encuentra a una distancia R del origen medida a lo largo del plano inclinado.

Como caso particular, mencionaremos aquél en el que el proyectil se mueve a lo largo del eje vertical Y. Cuando x=0, v_0x·cosθ-v_0y·senθ=0, o bien

El proyectil parte del origen y regresa al mismo moviéndose hacia arriba y hacia abajo a lo largo del eje vertical Y.

Cambio de Sistema de Referencia

Podemos analizar el movimiento del vehículo y del proyectil en un Sistema de Referencia en el que el eje X es paralelo al plano inclinado y el eje Y es perpendicular al mismo.

La aceleración de la gravedad g está dirigida verticalmente hacia a bajo. Las componentes de la aceleración se muestran en la figura

Si su velocidad inicial del vehículo es v_0x. Su posición x’ en función del tiempo es

x’=v_0x·t-g·senθ·t²/2

La posición del proyectil en función del tiempo respecto de estos ejes es la composición de dos movimientos uniformemente acelerados

x= v_0x·t-g·senθ·t²/2
y=v_0y·t-gcosθ·t²/2

Cuando regresa al plano inclinado y=0, emplea un tiempo T y se encuentra a una distancia R del origen

El vehículo recorre la misma distancia x’ en el mismo tiempo t. El vehículo por tanto, dispara el proyectil en el origen y lo recoge a una distancia R dada por la fórmula anterior.

Cuando  se cumple que

La partícula sale del origen y regresa al origen a lo largo de la dirección vertical. Para comprobarlo, en la expresión de x(t) de la posición del proyectil sustituimos v_0x por v_0y·tanθ, y multiplicamos ambos miembros por cosθ. Multiplicamos ambos miembros de la expresión y(t) de la posición del proyectil por senθ. Verificamos que

x·cosθ=y·senθ. Es decir, y=x/tanθ,  que es la ecuación de la recta vertical

Ejemplo:

θ=20º
v_0x=15 m/s 
v_0y=10 m/s

El tiempo T que tarda el proyectil en regresar la plano horizontal y el alcance R valen

El vehículo recorre x’=24.7 m en el mismo tiempo

Si la velocidad del vehículo v_0x=10·tan20=3.64 m/s el proyectil se mueve a lo largo de la dirección vertical. El proyectil sale y regresa al origen.

El vehículo desciende a lo largo de un plano inclinado

Supongamos que el vehículo desciende por un plano inclinado de ángulo θ.

Establecemos un Sistema de Referencia en el que el eje X es paralelo al plano inclinado y el eje Y es perpendicular al mismo

La aceleración de la gravedad g está dirigida verticalmente hacia a bajo. Las componentes de la aceleración se muestran en la figura

Si la velocidad inicial del vehículo es v_0x. Su posición x’ en función del tiempo es

x’=v_0x·t+-g·senθ·t²/2

La posición del proyectil en función del tiempo es

x= v_0x·t+g·senθ·t²/2
y=v_0y·t-gcosθ·t²/2

Cuando regresa al plano inclinado y=0, emplea un tiempo T y se encuentra a una distancia R del origen  dados por

El vehículo recorre la misma distancia x’ en el mismo tiempo T. El vehículo por tanto, dispara el proyectil en el origen y lo recoge a una distancia de R dada por la fórmula anterior.

 Ejemplo:

θ=20º
v_0x=15 m/s 
v_0y=10 m/s

El tiempo T que tarda el proyectil en regresar la plano horizontal y el alcance R son

El vehículo recorre x’=40.5 m en el mismo tiempo.

La composición de movimientos se caracteriza por la posibilidad de separar en ejes el movimiento de un móvil cualquiera. Si se trata de un objeto lanzado en el seno del campo gravitatorio terrestre, será:

La ecuación de la trayectoria se obtiene, como recordaras, eliminando el tiempo entre "X" e "Y". Resulta:

Si conocemos las variables Vo y 
podríamos dibujar perfectamente la trayectoria. ¿Qué resultaría?

Sin embargo no es esto lo primero que haremos. Es muy importante que tengas en cuenta que variables de las que estamos manejando pueden obtenerse experimentalmente en el laboratorio. Por ahora el objetivo es:

HALLAR "Vo" A PARTIR DE LAS MEDIDAS EXPERIMENTALES DE " ", "X" e "Y"

Si manipulamos un poco la ecuación de la trayectoria:

Material:-Rampa

-Pared

-Soporte

-Pinza

-Bola

-Metro

-Papel de calco

-Transportador

Desarrollo:

1. La rampa de caída de la bola ha de estar colocada en un ángulo fijo. Calcular ese ángulo mediante el Transportador, o a partir de alguna función trigonométrica. Señalar el punto de lanzamiento de la bola, que será siempre el mismo, lógicamente.

2. Perpendicular a ella y a unos 10 cm. del borde se dispone el obstáculo vertical o pared. Para detectar el impacto de la bola se ha adherido papel de calco encima del papel milimetrado o de un papel normal. El origen del papel es el punto en el que empieza el tiro oblicuo, allí donde acaba la rampa.

3. Con este montaje, el valor del desplazamiento horizontal (x) es la distancia entre el borde de la rampa y la pared. La y es la altura desde que la bola abandona la rampa. Alejando progresivamente la pared de la rampa se obtienen pares de valores (x, y). Es preferible hacer para cada x dos o tres lanzamientos; así, el valor de la ordenada es la media de los valores de y (y1, y2, y3) obtenidos para una "x" dada.

4. Si queremos precisar el valor de las coordenadas con toda exactitud, los valores han de tomarse de modo que el origen de coordenadas de las mediciones sea el centro de la bola y no el borde de la rampa.

5. A partir de los pares de valores obtenidos, se puede hacer una representación gráfica.

6. Disponiendo de los valores de x e y, asegurarse de que es correcto el valor de a y efectuar el cálculo para llegar a saber la velocidad inicial con que la bola abandona la rampa. Rellenar la tabla 2 y calcular el valor experimental de Vo (cinemática)

7. Si tenemos en cuenta algunas aproximaciones, podemos calcular Vo con facilidad. Por ejemplo:

La bola es una masa puntual (prescindir de rotación)

No hay rozamiento con la rampa.

Entonces: Ep(arriba) = Ec(abajo) y resulta: mgh = 1/2mv2.

8. Pero no es un cálculo preciso. No es aún el momento de analizar esto, pero si tenemos en cuenta efectos rotacionales en la bola, el resultado es mucho más exacto:

Y obtenemos así un valor distinto de Vo que se puede llamar Vo (energía). Parece lógico suponer que este valor es más preciso y adolece de menor error experimental que el otro. El % de diferencia entre uno y otro será:

Con todo ello rellena los datos de las tablas.

Anotaciones y cálculos:

TABLA 1

X	Y1	Y2	Y3	Ymedia
0,205 m.	0,127 m.	0,128 m.	0,128 m.	0,1276 m.
0,32 m.	0,27 m.	0,28 m.	0,283 m.	0,2776 m.
0,145 m.	0,73 m.	0,68 m.	0,7 m.	0,7033 m.

X	0,205 m.	0,32 m.	0,145 m.
Y	0,1276 m.	0,2776 m.	0,7033 m.

TABLA 2

X	Y
0,205	0,1276	0,9588	0,2962	0,4118	1,8386	0,0668	3,3529
0,32	0,2776	0,9588	0,2962	1,0035	1,8386	0,1858	2,9375
0,145	0,7033	0,9588	0,2962	0,2060	1,8386	0,6603	0,2439

MEDIA:Vo= 1,87 m./sg

TABLA 3

H
25,30 cm.	1,88 cm./sg	0,531 %

Conclusión:

La experiencia ha valido la pena para aprender a situarnos en un laboratorio y he comprobado que lo hemos hecho mejor que hace unos meses.

Hay que tener cuidado al operar ya que si lo hacemos en cm. el valor de "g" es de 980 cm./sg y si no lo tenemos en cuenta todas las operaciones están mal hechas, por eso yo he decidido el pasar todas las distancias a metros (S. I.) para evitar problemas, pese a que ello suponga mayor dificultad en las operaciones.

También hay que tener cuidado con las mediciones para que el error sea mínimo.

El error que hemos cometido es relativamente pequeño y por lo tanto hemos creo que hemos hecho un buen trabajo.

La pena es, sinceramente, que nose vayan a repetir estas experiencias durante este año. Con el acentuante de que en C.O.U. no hay laboratorio

LEYES DE NEWTON

Objetivo:

El objetivo de esta experiencia es hallar la masa desconocida mediante la toma de pesos, tiempo y hallando la aceleración que adquiere el sistema, y por la fórmula de tensiones, despejamos la masa. Siempre teniendo en cuenta las leyes de Newton y sobre las que se construye toda la dinámica, en especial la segunda:

"Una fuerza aplicada sobre un cuerpo produce una aceleración proporcional a dicha fuerza"

Las demás leyes son:

"Si no actúan fuerzas sobre un cuerpo o su resultante es nula, el cuerpo permanecerá en estado de reposo o en movimiento rectilineo uniforme"

"Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste ejerce sobre el primero otra fuerza igual en módulo y dirección y de sentido opuesto"

El sencillo artilugio que nos va a permitir realizar la experiencia se llama máquina de Atwood y su resolución teórica es sencilla:

Si disponemos dos masas iguales en ambos brazos de la polea, no habrá movimiento. Si añadimos una pequeña masa, ésta descompasara todo el sistema que adquirirá una aceleración.

Resuelve ahora el problema tal como lo necesitas para llevar adelante la experiencia.

1. Datos cinemáticos para hallar "a". ¿Qué necesitas?

Altura "h"

Tiempo "t"

2. Sabiendo "a", ¿cómo podemos hallar "m", si ésa es nuestra incógnita?

Material: -Polea

-Hilo

-Pesas

-Metro

-Cronómetro

-Balanza

Desarrollo:

1. Construimos la polea y colocamos la masa incógnita en uno de sus ramales.

2. Se sitúan las pesas para que el recorrido sea máximo y el error mínimo. Al final del recorrido se sitúa un objeto metálico que suene al golpear la pesa.

3. Cronometramos repetidas veces el tiempo que le cuesta bajar a la pesa desde arriba del todo hasta el objeto metálico.

4. Al hallar la aceleración, con las ecuaciones halladas anteriormente podemos hallar la masa del sistema.

5. Comparamos el valor hallado con el real y hallamos el error.

Anotaciones y cálculos:

TABLA 1

ALTURA	TIEMPO	T2	aceleración
H=1,41m	5,44s	29,59s2	0,0952ms-2
H=1,41m	5,34s	28,51s2	0,0988ms-2
H=1,41m	5,37s	28,83s2	0,0977ms-2
H=1,345m	5,04s	25,90s2	0,1038ms-2
H=1,345m	4,91s	24,108s2	0,1115ms-2
H=1,345m	5,06s	25,603s2	0,1050ms-2

a media

a=0,1020ms-2

TABLA 2

a exp	m exp	m real	% error
0,1020ms-2	0,001093 Kg	0,0017 Kg	35 %

Conclusión:

Esta experiencia es muy difícil de hacer porque los errores se cometen por todos los sitios. Primero la altura no sabemos si es perfecta. El tiempo está plagado de errores, ya que ni la salida ni la llegada son perfectas. Por último otro error es el de la polea que no le hemos dado rozamiento y a la cuerda no le hemos dado peso ni extensibilidad.

A pesar de todo esto el error comparado con los demás compañeros de la clase a sido bastante bueno.

Opciones:

Hemos repetido la experiencia añadiendo un peso de 2,5 gr.

ALTURA	TIEMPO	T2	ACELERACIÓN
1,345 m	4,53 sg	20,52	0,1310 m/sg2
1,345 m	4,59 sg	21,06	0,1277 m/sg2
1,345 m	4,47 sg	19,98	0,1346 m/sg2

Amedia= 0,1311 m/sg2

Como podemos comprobar al haber un peso mayor la aceleración también es mayor.