Física

Cinemática

Encuentros de dos vehículos en movimiento circular

Encuentro de dos vehículos en movimiento rectilíneo

Un automóvil que está parado, arranca con una aceleración de 1.5 m/s². En ese mismo instante es adelantado por un camión que lleva una velocidad constante de 15 m/s. Calcular la posición de encuentro de ambos vehículos
Escribimos las ecuaciones del movimiento de cada uno de los vehículos

x₁=15·t
x₂=1.5t²/2

La posición de encuentro x₁=x₂ da lugar a la ecuación de segundo grado

0.75t²-15t=0

cuyas soluciones son t=0, y t=20.
El instante de encuentro es  t_e=20s, y la posición de encuentro x_e=300 m medida desde la salida.
Solución gráfica

• Si trazamos x₁en función del tiempo t, obtenemos la línea recta de color azul.
• Si trazamos x₂ en función del tiempo t, obtenemos la curva de color rojo (una parábola)

El punto de intersección señala el instante t_e de encuentro y la posición x_e de encuentro.

Veamos ahora este otro problema algo más complejo
Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba con dos segundos de intervalo. El primero, con una velocidad inicial de 50 m/s y el segundo con una velocidad inicial de 80 m/s. Calcular el instante y la altura a la que se encuentran
Cuando el primer proyectil lleva un tiempo t>2 moviéndose, el segundo proyectil lleva un tiempo t-2 en el aire. Las ecuaciones del movimiento serán:

x₁=50·t-9.8t²/2
x₂=80(t-2)-9.8(t-2)²/2

El instante y la altura de encuentro se pueden calcular resolviendo la ecuación de t_e=3.62 s, x_e=116.8 m
Solución gráfica

• Si trazamos x₁en función del tiempo t, obtenemos la curva de color azul.
• Si trazamos x₂ en función del tiempo t, obtenemos la curva de color rojo

El punto de intersección señala el instante t_e de encuentro y la posición x_e de encuentro.

Problema de encuentro de dos vehículos en movimiento circular

Dos vehículos describen la misma trayectoria circular. El primero, está animado de un movimiento uniforme cuya velocidad angular es 60 r.p.m., el segundo está animado de un movimiento uniformemente acelerado cuya aceleración angular vale -p/6 rad/s2. Sabiendo que en el instante inicial el primer móvil pasa por A, y dos segundos más tarde el segundo móvil pasa por B, llevando una velocidad angular de 120 r.p.m. Calcular: El instante en el que los móviles se encuentran por primera vez Encuentros de dos vehículos en movimiento circular Primero, vamos a plantear problemas de encuentro entre dos vehículos en movimiento rectilíneo para que podamos compararlos con los encuentros que tienen lugar cuando los vehículos se mueven en una trayectoria circular. Problema1 Un automóvil que está parado, arranca con una aceleración de 1.5 m/s2. En ese mismo instante es adelantado por un camión que lleva una velocidad constante de 15 m/s. Calcular la posición de encuentro de ambos vehículos  Solución Escribimos las ecuaciones del movimiento de cada uno de los vehículos x1=15t  x2=121.5t2${\displaystyle x_1=15t{x}_2=\frac{1}{2}1.5t^2}$ La posición de encuentro x1=x2 da lugar a la ecuación de segundo grado 0.75t2-15t=0 cuyas soluciones son t=0, y t=20. El instante de encuentro es  te=20s, y la posición de encuentro xe=300 m medida desde la salida. Solución gráfica Si trazamos x1en función del tiempo t, obtenemos la línea recta de color azul. Si trazamos x2 en función del tiempo t, obtenemos la curva de color rojo (una parábola) El punto de intersección señala el instante te de encuentro y la posición xe de encuentro. Problema 2 Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba con dos segundos de intervalo. El primero, con una velocidad inicial de 50 m/s y el segundo con una velocidad inicial de 80 m/s. Calcular el instante y la altura a la que se encuentran  Solución Cuando el primer proyectil lleva un tiempo t>2 moviéndose, el segundo proyectil lleva un tiempo t-2 en el aire. Las ecuaciones del movimiento serán: x1=50t−129.8t2x2=80(t−2)−129.8(t−2)2${\displaystyle \begin{array}{l}{x}_1=50t-\frac{1}{2}9.8t^2\\ x_2=80(t-2)-\frac{1}{2}9.8{\left(t-2\right)}^2\end{array}}$ El instante y la altura de encuentro se pueden calcular resolviendo la ecuación de te=3.62 s, xe=116.8 m Solución gráfica Si trazamos x1en función del tiempo t, obtenemos la curva de color azul. Si trazamos x2 en función del tiempo t, obtenemos la curva de color rojo El punto de intersección señala el instante te de encuentro y la posición xe de encuentro. Problema 3 Dos vehículos describen la misma trayectoria circular. El primero, está animado de un movimiento uniforme cuya velocidad angular es 60 r.p.m., el segundo está animado de un movimiento uniformemente acelerado cuya aceleración angular vale -π/6 rad/s2. Sabiendo que en el instante inicial el primer móvil pasa por A, y dos segundos más tarde el segundo móvil pasa por B, llevando una velocidad angular de 120 r.p.m. Calcular: El instante en el que los móviles se encuentran por primera vez Veamos el movimiento antes de plantear la solución del problema  Solución Ecuaciones del movimiento de A: movimiento circular uniforme El móvil sale del origen en el instante t=0. αA=0  ωA=2π  θA=2πt${\displaystyle {\alpha }_A=0{\omega }_A=2\pi {\theta }_A=2\pi t}$ Ecuaciones del movimiento de B: movimiento uniformemente acelerado El móvil sale de la posición π/2 en el instante t=2s. αB=−π6  ωB=4π+(−π6)(t−2)θB=π2+4π(t−2)+12(−π6)(t−2)2${\displaystyle \begin{array}{l}{\alpha }_B=-\frac{\pi }{6}{\omega }_B=4\pi +\left(-\frac{\pi }{6}\right)\left(t-2\right)\\ {\theta }_B=\frac{\pi }{2}+4\pi \left(t-2\right)+\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi }{6}\right){\left(t-2\right)}^2\end{array}}$ Encuentros Los encuentros no solamente se obtienen igualando las posiciones de ambos móviles θA=θ B, sino también y por ser la trayectoria circular, aquellas cuya posición se diferencia en una circunferencia completa. θA+2kπ =θB con k=0, ± 1, ± 2, ± 3... Examinemos en un cuadro la posición de los dos móviles en función del tiempo t θA θB   2 4π (2 vueltas) π /2 Sale el móvil B 2.5 5π (4π +π ) 2.48π (2π +0.48π ) B detrás de A 2.6 5.2π (4π +1.2π ) 2.87π (2π +0.87π ) B detrás de A 2.7 5.4π (4π +1.4π ) 3.26π (2π +1.26π ) B detrás de A 2.8 5.6π (4π +1.6π ) 3.64π (2π +1.64π ) B delante de A Tal como apreciamos en la tabla de las posiciones de los móviles A y B en función del tiempo, el móvil B pasa al móvil A entre los instantes 2.7 y 2.8. El momento en el que se produce el primer encuentro será un instante t a determinar en el intervalo de tiempo comprendido entre 2.7 y 2.8 s. La relación que existe entre las posiciones del móvil A y del móvil B, tal como vemos en la tabla es θA−2π=θB2π t−2π=π2+4π(t−2)+12(−π6)(t−2)2${\displaystyle \begin{array}{l}{\theta }_A-2\pi ={\theta }_B\\ 2\pi t-2\pi =\frac{\pi }{2}+4\pi \left(t-2\right)+\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi }{6}\right){\left(t-2\right)}^2\end{array}}$ Despejando el tiempo t en la ecuación de segundo grado, obtenemos el instante del primer encuentro t=2.77 s. Introduciendo t en la ecuación de la posición de A y de B obtenemos la posición de los móviles en el instante del encuentro θA=5.56π rad θB=3.56π rad Problema 4 Dos móviles describen una trayectoria circular en el mismo sentido. El primer móvil parte del origen, inicialmente en reposo, con aceleración angular constante de 2 rad/s2; el segundo móvil parte de la posición π/2 rad, y está animado de un movimiento uniforme con velocidad constante de 120 r.p.m. Determinar el instante y la posición de encuentro por primera vez de ambos móviles. Antes de plantear el problema, introducir los datos en el applet al final de esta página  Solución Ecuaciones del movimiento de A: movimiento circular uniforme El móvil sale del origen en el instante t=0. αA=2  ωA=2t  θA=122t2${\displaystyle {\alpha }_A=2{\omega }_A=2t{\theta }_A=\frac{1}{2}2t^2}$ Ecuaciones del movimiento de B: movimiento uniformemente acelerado El móvil sale de la posición π/2 en el instante t=0 s. αB=0  ωB=4π  θB=π2+4πt${\displaystyle {\alpha }_B=0{\omega }_B=4\pi {\theta }_B=\frac{\pi }{2}+4\pi t}$ Examinemos en un cuadro la posición de los dos móviles en función del tiempo t θA θB   0 0 1.57 Partida 0.1 0.01 2.83 B detrás de A 0.2 0.04 4.08 B detrás de A 0.3 0.09 5.34 B detrás de A 0.4 0.16 6.60=2π+0.31 B delante de A Tal como apreciamos en la tabla de las posiciones de los móviles A y B en función del tiempo, el móvil B pasa al móvil A entre los instantes 0.3 y 0.4 s. El momento del primer encuentro será un instante de dicho intervalo que vamos a calcular. La relación que existe entre las posiciones del móvil A y del móvil B, tal como vemos en la tabla es θA+2π=θBt2+2π=π2+4πt${\displaystyle \begin{array}{l}{\theta }_A+2\pi ={\theta }_B\\ t^2+2\pi =\frac{\pi }{2}+4\pi t\end{array}}$ Las raíces de la ecuación de segundo grado son 0.387, 12.18. El instante del primer encuentro es t=0.387 s