Física

Cinemática

Tiros frontales a canasta

El juego del baloncesto

En la figura, se muestra la mitad del campo donde se desarrolla el juego del baloncesto y las medidas  reglamentarias.

Las medidas que interesan para el estudio de los tiros frontales a canasta son las siguientes:

• El aro está a una altura de 3.05 m del suelo
• El diámetro del aro es de 45 cm
• El diámetro del balón es de 25 cm

Ecuaciones del tiro parabólico

Establecemos el origen de coordenadas en la posición del lanzamiento del balón, tal como se muestra en la figura. El centro del aro está a una altura h y a una distancia L de la posición inicial del balón.

Consideramos el balón como una partícula que se lanza desde el origen con una velocidad inicial v₀, haciendo un ángulo θ₀, con la horizontal.

Las ecuaciones del movimiento, resultado de la composición de un movimiento uniforme a lo largo del eje X, y de un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y, son las siguientes:

Eliminamos el tiempo t en las ecuaciones paramétricas de la trayectoria

Velocidad inicial y ángulo de tiro

Las coordenadas del punto de impacto son las del centro del aro: x=L, y=h.

• Conocido el ángulo de tiro θ₀, calculamos la velocidad inicial

• Conocida la velocidad inicial v₀, calculamos los dos ángulos de tiro, resolviendo la ecuación de segundo grado en tanθ₀. Para ello, utilizamos la relación 1+tan²θ₀=1/cos²θ₀

o bien,

Ángulo que hace el vector velocidad

El ángulo θ que hace el vector velocidad v de la partícula con la horizontal vale

como

El ángulo θ que hace el vector velocidad v de la partícula con el eje X lo expresamos en términos de la posición x e y de la partícula, en vez del tiempo t.

El ángulo de tiro mínimo

En la figura, se muestra la representación gráfica de v0 en función del ángulo de tiro θ0. la función tiene dos asíntotas verticales, cuando el valor de la fracción se hace infinito, o el denominador se hace cero: tanθ0=h/Lcosθ0=0

Como v²₀ tiene que ser positivo, el ángulo de tiro θ₀ no puede tener cualquier valor sino que tiene que cumplir

Para que el balón entre por el aro, éste debe de estar en la parte descendente de la trayectoria del balón, tal como se aprecia en la figura

El ángulo de entrada θ_e que forma el vector velocidad v con la horizontal en el momento en el que el balón pasa por el centro del aro x=L, y=h es

Como θ_e es un ángulo negativo (por debajo de la horizontal) su tangente es negativa, lo que implica que

El ángulo de tiro θ₀ tiene que cumplir

Consideramos ahora las dimensiones del balón y del aro. En la figura, se muestra la situación en la que el balón entra justamente por el aro AB. En el triángulo ABC, el ángulo del vértice B es igual al ángulo de entrada θe mínimo (en valor absoluto) sen|θe|=2R/Da

donde R es el radio del balón y D_a es el diámetro del aro

Como 2R=25 cm y D_a=45 cm. El ángulo θ_e que forma el vector velocidad v con la horizontal debe se mayor (en valor absoluto) que 33.7º para que el balón entre por el aro. Esto limita aún más el intervalo de ángulos de tiro θ₀. La relación entre ambos ángulos es

θ_0L es el ángulo de tiro mínimo que hace que el balón entre por el aro, sin tocarlo. El jugador debe de lanzar el balón con un ángulo θ₀ que sea mayor que el valor mínimo θ_0Lpara conseguir encestarlo.

La velocidad inicial mínima

De nuevo, nos fijamos en la representación gráfica de la velocidad inicial v₀ en función del ángulo de tiro θ_0. Observamos que la curva tiene un mínimo v_0m para cierto valor del ángulo de tiro θ_0m.

Calculamos el ángulo θ_0m para el cual la velocidad inicial v₀ es mínima.

Despejamos el ángulo θ₀

-2sen²θ₀+2(h/L)senθ₀·cos θ₀+1=0

Expresamos el ángulo θ_0m de forma alternativa utilizando las siguientes relaciones

En esta última expresión, conocido tanα, resolvemos la ecuación de segundo grado en tan(α/2), tomando la raíz positiva.

Conocido tan(α/2), calculamos en la primera expresión tan(45º+α/2). Después de hacer algunas simplificaciones, llegamos a

Conocido el valor θ_0m calculamos el valor mínimo de la velocidad inicial v_0m. Para ello empleamos la relación 1+tan²θ=1/cos²θ

Para introducir el balón por el aro, la velocidad inicial v₀ tiene que ser mayor que la mínima v_0m, cualquiera que sea el ángulo de tiro.

Ejemplo:

Se lanza el balón desde una distancia L=3 m del centro del aro, y desde una altura de 2.05 m del suelo o bien, h=3.05-2.05=1 m por debajo del aro.

Primero, calculamos el ángulo de tiro mínimo

• Dado el ángulo de tiro θ₀=70º>53.2º  calculamos la velocidad inicial

Esta velocidad es superior a la mínima, que se obtiene para el ángulo de tiro

y la velocidad mínima vale

• Dada la velocidad de disparo v₀ es algo más complicado calcular el ángulo de tiro.

La velocidad v₀ tiene que ser mayor que el valor mínimo v_0m=6.39 m/s

Por ejemplo, si v₀=8.0 m/s, calcular θ₀.

Las raíces de la ecuación de segundo grado en tanθ₀ son

θ₁=74.8º,  θ₂=33.6º

Solamente la trayectoria del primero será descendente cuando pase por el centro del aro, mientras que la segunda es ascendente y entra por debajo del aro.

El balón como partícula

Estudiaremos la trayectoria del balón, suponiendo que es una masa puntual situada en el centro de masas (c.m.).

El planteamiento del problema es el siguiente: se lanza una partícula con velocidad inicial v₀, formando un ángulo q  con la horizontal, bajo la aceleración constante de la gravedad. Las ecuaciones del movimiento resultado de la composición de un movimiento uniforme a lo largo del eje X, y de un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y, son las siguientes:

Como vimos en el programa que simulaba el disparo de proyectiles por un cañón para dar en un blanco fijo, se eliminaba el tiempo entre las dos ecuaciones finales, obteniendo la ecuación de la trayectoria.

La magnitud W es proporcional al cuadrado de la velocidad inicial de la partícula, es decir, es proporcional a la energía cinética inicial de la partícula, y le daremos el nombre de "energía" que suministramos al balón en el moemnto de su lanzamiento.

Prescindiendo del tablero

Estudiaremos primero, para simplificar, los tiros directos a canasta, prescindiendo del tablero.

Como el diámetro del balón es menor que el diámetro del aro, para introducir el balón hemos de hacer pasar el centro de masa del balón por un hueco de anchura igual a la diferencia entre el diámetro del aro, 45 cm, y el diámetro del balón 25 cm.

Como hemos visto al analizar el movimiento de un proyectil, existen dos posibles ángulos de tiro que nos permiten dar en el blanco para una velocidad dada de disparo.

Nuestro blanco no es único, sino un conjunto de puntos situados a la altura h de la canasta (3.175 m) comprendidos entre x_a y x_b. Por tanto, tendremos un conjunto de ángulos para una velocidad dada de disparo, que aciertan en el blanco.

Dados los datos de la distancia del balón al tablero y la altura del balón sobre el suelo, podemos obtener el conjunto de los ángulos q  y de las "energías" W, de la partícula que nos permiten introducir el balón por la canasta. Seleccionando un punto del plano (W, q) en la región sombreada de color rojo situada a la derecha en la ventana del applet, estamos seleccionando un ángulo de tiro y una velocidad de disparo que introducen el balón en la canasta.

Para introducir el c.m. del balón a través del hueco delimitado por las abscisas x_a y x_b, para una "energía" dada W, se puede elegir cualquier ángulo en el (los) intervalo(s) marcados en color rojo a lo largo del eje horizontal de ángulos. Las líneas verticales que proyectan sobre el eje de ángulos nos delimitan estos intervalos. Como podremos comprobar, algunos corresponden a tiros que penetran en el aro por debajo, dichos tiros no son válidos ya que en la situación real lo impide la canasta.

Por ejemplo, seleccionado una energía de lanzamiento W=8, podemos encestar con ángulos próximos a 40º, por ejemplo 37º, y con ángulos algo superiores a 80º, por ejemplo 82º. En el primer caso, introducimos la pelota por debajo de la canasta, lo cual no está permitido, en el segundo caso, se contabiliza como canasta.

Dada la imprecisión que tiene el jugador en la elección del ángulo de tiro, la mejor estrategia consistirá en elegir la energía adecuada que proporcione el mayor intervalo de ángulos de tiro posible, y esto se produce en el mínimo de la región sombreada.