Física

Cinemática

Apuntar un cañón para dar en el blanco.

Antes de proceder a resolver numéricamente el problema, se usará el programa como un juego: dar en el blanco en el menor número de intentos posibles. Esto constituye una primera aproximación a la resolución del problema, ya que nos proporciona un conocimiento intuitivo de la situación física,  permitiéndonos determinar el ángulo aproximado de tiro que acierta en el blanco. Además, se comprobará que existen dos posibles soluciones, dos ángulos de tiro que dan en el blanco. A veces, por el perfil del terreno, sólo es posible el ángulo que corresponde a la trayectoria más alta.

Descripción

El movimiento del proyectil es la composición de dos movimientos, uniforme a lo largo del eje X, y uniformemente acelerado a lo largo del eje Y.

Conocidas las coordenadas del blanco x e y, y la velocidad de disparo v₀, se despejará el ángulo de tiro q.
Las componentes de la velocidad inicial son
 
Las ecuaciones del movimiento del proyectil son

Conocida la posición (x, y) del blanco, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas t y q. Eliminando t, y empleando la relación trigonométrica

nos queda una ecuación de segundo grado en tanq 

La ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, por tanto, dos ángulos de tiro dan en el blanco
Ejemplo
El applet nos proporciona los datos de la posición del blanco y la velocidad de disparo.

• Posición del blanco x=159.7, y=151.7 m
• Velocidad de disparo v₀=89.9 m/s

Con estos datos, la ecuación de segundo grado se escribe
13.46 tan²q -159.7 tanq +167.16=0
Las soluciones son
tanq =9.15, q =83.8º
tanq =1.18, q =49.8º
Introduciendo estos valores en el control de edición titulado ángulo de tiro daremos en el blanco.

Un cañón dispara un proyectil con velocidad v, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Un carro de combate situado a una distancia d del cañón en el momento del disparo se mueve con velocidad constante u hacia el cañón. Se tratará de determinar el ángulo (o ángulos) de disparo que hacen que el proyectil impacte en el carro de combate.

 

Descripción

El proyectil se mueve bajo la aceleración constante de la gravedad, que es la composición de dos movimientos

• Uniforme a lo largo del eje horizontal X

a_x=0
v_x=v·cosθ
x= v·cosθ·t

• Uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical Y

a_y=0
v_y=v·senθ-g·t
y= v·senθ·t-gt²/2

El movimiento del carro de combate es rectilíneo y uniforme. Su posición x en función del tiempo es

x=d-u·t

El impacto del proyectil sobre el carro de combate se produce para y=0, es decir, en el instante t=2·v·senθ/g

En dicho instante, han de coincidir las posiciones x de ambos móviles

Se pueden dar tres casos dependiendo de cual sean los datos y las incógnitas.

1. Conocida la separación inicial d, el ángulo de tiro θ y la velocidad de disparo v. Calcular la velocidad u del carro de combate.

2. Conocida la separación inicial d, el ángulo de tiro θ y la velocidad u del carro de combate. Calcular la velocidad de disparo v

3. El caso más interesante, es aquél en el que conocida la separación inicial d, la velocidad de disparo v y la velocidad u del carro de combate, se pide calcular el ángulo (o ángulos) de tiro θ

Ángulos de disparo

Tenemos que hallar las raíces de la ecuación trascendente

v²·sen(2θ)+2u·v·senθ-d·g=0

Existen varios procedimientos, el más simple, es trazar la gráfica de la función z=f(θ)

z=v²·sen(2θ)+2u·v·senθ-d·g

y determinar aproximadamente, los puntos de corte de la función con el eje horizontal, tal como se aprecia en la figura. 

El máximo de la función z se produce

para un ángulo θ_m independiente de la distancia d

Los dos ángulos buscados θ₁ y θ₂ están en los intervalos (0, θ_m) y (θ_m, π/2) respectivamente. Podemos emplear un procedimiento como el del punto medio para calcular cada una de las raíces de la ecuación trascendente

Existe una distancia d_m para la cual la ecuación trascendente tiene una sola raíz θ_m. El máximo de la función f(θ_m) es z=0.

Si la distancia d entre el cañón y el carro de combate es mayor que d_m, no hay ningún ángulo para el que se pueda producir impacto, la ecuación trascendente carece de raíces, tal como puede verse en la figura.

Actividades

• La velocidad v de disparo del proyectil se ha fijado en 100 m/s.
• La distancia horizontal d entre el cañón y el carrao de combate en el momento del disparo se ha fijado en 1000 m.
• El programa interactivo genera un número aleatorio comprendido entre 0 y 50 que representa la velocidad u del carro de combate. cada vez que se pulsa el botón tituladoNuevo
• Se establece el ángulo de disparo, moviendo el dedo de la barra de desplazamiento, o introduciendo un ángulo en grados en el control de edición titulado Angulo.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Observamos el movimiento del carro de combate desde la posición inicial x=1000 m, hacia el origen donde se encuentra el cañón.

• Se cambia el ángulo de tiro y se pulsa el botón titulado Empieza
• Se ensaya con varios ángulos de disparo hasta dar en el blanco.

Se dibuja en un papel la función

z=v²·sen(2θ)+2u·v·senθ-d·g

• la velocidad de disparo es v=100 m/s
• la velocidad del carro de combate u es el valor suministrado por el programa, (en la parte derecha del applet)
• la distancia inicial entre el cañón y el carro de combate es  d=1000 m,
• g=9.8 m/s².

Se comprueba que las raíces de la ecuación trascendente son aproximadamente iguales a los ángulos de disparo obtenidos por el procedimiento de ensayo.

Bombardear un blanco móvil desde un avión.

Descripción

Cuando el avión deja caer la bomba, esta sale con la misma velocidad horizontal que el avión, de modo que las componentes de su velocidad inicial son v0x=v0 y v0y=0

Conocida la altura a la que vuela el avión y su velocidad mediante las ecuaciones del tiro parabólico se puede hallar fácilmente el alcance horizontal de la bomba, es decir, la distancia desde el punto en que la dejó caer el piloto y el impacto sobre el suelo
La composición de movimientos nos indica que mientras la bomba cae, se desplaza horizontalmente una distancia igual al producto de la velocidad del avión por el tiempo que tarda en caer. Como podemos observar, el avión y la bomba están siempre en la misma vertical.
¿Cómo cambia el resultado si el blanco se mueve con velocidad constante en la misma dirección que el avión?. En la figura tenemos el esquema.

Sea xa la posición del avión y sea xb la posición del móvil en el momento en el que el piloto suelta la bomba. Para destruirlo, la distancia entre el avión y el blanco deberá serxa+vat=xb+vbt tal como se ve en la figura. Donde t es el tiempo que tarda la bomba en descender la altura h h=gt2/2

La bomba se suelta en el instante t'.  Las posiciones del avión x_a y del blanco x_b en dicho instante serán respectivamente,
x_a=v_at'
x_b=x_0b+v_bt' 
A partir de estas relaciones, obtenemos la posición del avión x_a en el momento en el que tiene que soltar la bomba para acertar en el blanco, conocidos los datos de la altura h,  velocidad del avión v_a, la posición inicial del blanco x_0b  y su velocidad v_b.

Ejemplo:

El blanco parte de la posición x_0b=542.5 m

y su velocidad es v_b=17.4 m/s

El avión sale del origen, su altura h=191.3 m y velocidad v_a=89.4 m/s se mantienen constantes

Se pulsa el botón que deja caer la bomba, que tarda en llegar al suelo un tiempo

La posición del avión en el momento en el que suelta la bomba para acertar en el blanco deberá ser