La ecuación de Clausius-Mossoti lleva el nombre del físico italiano Octavio Fabricio Mossotti, cuyo libro de 1850¹ analizó la relación entre las constantes dieléctricasde dos medios diferentes, y el físico alemán Rudolf Clausius, quien dio la fórmula de forma explícita en su libro de 1879² en el contexto no de constantes dieléctricas, sino de los índices de refracción.

La ley de Clausius-Mossotti se aplica a la constante dieléctrica de un dieléctrico que es perfecto, homogéneo e isotrópico:³

${\frac {\epsilon -\epsilon _{0}}{\epsilon +2\epsilon _{0}}}\cdot {\frac {M}{d}}={\frac {4\pi N_{A}\alpha }{3}}$ ${\frac {\epsilon -\epsilon _{0}}{\epsilon +2\epsilon _{0}}}\cdot {\frac {M}{d}}={\frac {4\pi N_{A}\alpha }{3}}$

donde

$\epsilon$ $\epsilon$ es la constante dieléctrica de una sustancia
$\epsilon _{0}$ $\epsilon _{0}$ es la permitividad del vacío
$M$ $M$ es la masa molar de la sustancia
$d$ $d$ es su densidad
$N_{A}$ $N_{A}$ es el número de Avogadro, y
$\alpha$ $\alpha$ es la polarizabilidad molecular.

Ecuación

La ecuación relaciona la permitividad del medio

\epsilon

en términos de las propiedades moleculares, por tanto, asumiendo la expresión aproximada para el campo total en un medio dieléctrico:

$\mathbf {E} _{tot}=\mathbf {E} _{externo}+{\frac {\mathbf {P} }{3}}$ $\mathbf {E} _{tot}=\mathbf {E} _{externo}+{\frac {\mathbf {P} }{3}}$

donde

{\mathbf {P}}

es el vector polarización eléctrica como se conoce usualmente.

El factor que acompaña a

{\mathbf {P}}

puede diferir de

{\frac {1}{3}}

aunque se ha asumido que es el orden correcto de magnitud. Para dieléctricos lineales,

$\mathbf {P} =N\alpha \left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {P} }{3}}\right)$ $\mathbf {P} =N\alpha \left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {P} }{3}}\right)$

$(\epsilon -1)\mathbf {E} =N\alpha \left(\mathbf {E} +{\frac {\epsilon -1}{3}}\mathbf {E} \right)$ $(\epsilon -1)\mathbf {E} =N\alpha \left(\mathbf {E} +{\frac {\epsilon -1}{3}}\mathbf {E} \right)$

${\frac {(\epsilon -1)}{(\epsilon +2)}}={\frac {N\alpha }{3}}$ ${\frac {(\epsilon -1)}{(\epsilon +2)}}={\frac {N\alpha }{3}}$

Donde

N

es el número de moléculas por unidad de volumen y

\alpha

es la polarizabilidad molecular.

Puesto que

\epsilon =(4\pi \chi +1)

, sustituyendo en la ecuación anterior:

$\chi ={\frac {N\alpha }{1-4\pi N\alpha /3}}$ $\chi ={\frac {N\alpha }{1-4\pi N\alpha /3}}$

Dado que esta expresión fue derivada originalmente para valores con bajos valores de N, se cumple para materiales no polares más densos.

Factor de Clausius-Mossotti

El factor de Clausius-Mossotti puede ser expresada en términos de permitividades complejas:⁴ ⁵ ⁶

$K(\omega )={\frac {\epsilon _{p}^{*}-\epsilon _{m}^{*}}{\epsilon _{p}^{*}+2\epsilon _{m}^{*}}}$ $K(\omega )={\frac {\epsilon _{p}^{*}-\epsilon _{m}^{*}}{\epsilon _{p}^{*}+2\epsilon _{m}^{*}}}$

$\epsilon ^{*}=\epsilon +{\frac {\sigma }{i\omega }}=\epsilon -{\frac {i\sigma }{\omega }}$ $\epsilon ^{*}=\epsilon +{\frac {\sigma }{i\omega }}=\epsilon -{\frac {i\sigma }{\omega }}$

donde:

$\epsilon$ $\epsilon$ es la permitividad (el subíndice p se refiere a una esfera dieléctrica sin pérdidas en suspensión en un medio m)
$\sigma$ $\sigma$ es la conductividad
$\omega$ $\omega$ es la frecuencia angular de la aplicación del campo eléctrico
$i$ $i$ es la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de -1

En el contexto de manipulación electrocinético, la parte real del factor de Clausius-Mossotti es un factor determinante para la fuerza dielectroforética sobre una partícula, mientras que la parte imaginaria es un factor determinante para el par electrorotational sobre la partícula. Otros factores son, por supuesto, las geometrías de la partícula para ser manipulado y el campo eléctrico. Mientras que

Re(K(\omega ))

se puede medir directamente por la aplicación de diferentes potenciales de CA directamente en los electrodos,,⁷

Im(K(\omega ))

se puede medir por electro-rotación gracias a los métodos de captura de las mediciones ópticas.

ECUACION DE CLAUSIUS-MOSOTTI

A partir de las expresiones reflejadas anteriormente para la polarización en el medio y para el campo local podemos escribir :

de donde :

Por otra parte la polarización resulta ser en la mayor parte de los medios proporcional al campo aplicado :

siendo e la denominada permitividad dieléctrica del medio. Combinando ambas expresiones obtenemos :

expresión que nos proporciona la permitividad y recibe el nombre de ecuación de Clausius-Mosotti. Esta ecuación puede reescribir también de la forma más usual en la bibliogarfía:

Volviendo a considerar la primera forma de esta ecuación y escribiendo explícitamente la polarizabilidad :

Esta expresión diverge cuando el denominador se hace nulo, es decir en la situación en que Na /3e _o = 1. Dado que la polarizabilidad depende de la temperatura, existirá siempre un valor de la misma para la cual se verifique esta condición. Por tanto, de acuerdo con este modelo todos los materiales polares deberían presentar polarización espontánea (polarización sin campo aplicado) a una cierta temperatura. Este hecho no corresponde a la realidad y suele denominarse catástrofe de Mosotti.

Para la mayoría de los materiales Na /3e _o << 1 y aparece el comportamiento dieléctrico ordinario. Sin embargo en algunos sólidos se verifica la condición de catástrofe dando origen a polarización espontánea. Estos materiales se denominan ferroeléctricos y son equivalentes a los imanes en magnetismo. Un caso típico es el BaTiO₃ que muestra polarización espontánea por debajo de 120 �C.

En los materiales ferroeléctricos tendremos pues una disposición ordenada de sus dipolos elementales incluso sin campo aplicado. Estos dipolos tienden espontáneamente a orientarse paralelos entre sí. Sin embargo la influencia de otros factores hace que una muestra de tamaño finito de un material de este tipo muestre una disposición no uniforme de polarización. De hecho tiende a presentar zonas de polarización uniforme pero cuya dirección sentido cambia de una región a otra. Estas zonas se denominan dominios.

Ecuación de Colebrook-White

Fórmula usada en hidráulica para el cálculo del factor de fricción de Darcy

\lambda

también conocido como coeficiente de rozamiento. Se trata del mismo factor

f

que aparece en la ecuación de Darcy-Weisbach.

La expresión de la fórmula de Colebrook-White (1937, 1939)¹ ² es la siguiente:

${\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}=-2\log _{10}{\left({\frac {k/D}{3,7}}+{\frac {2,51}{Re{\sqrt {\lambda }}}}\right)}$ ${\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}=-2\log _{10}{\left({\frac {k/D}{3,7}}+{\frac {2,51}{Re{\sqrt {\lambda }}}}\right)}$

donde

Re

es el número de Reynolds,

k/D

la rugosidad relativa y

\lambda

el factor de fricción.

El campo de aplicación de esta fórmula se encuentra en la zona de transición de flujo laminar a flujo turbulento y flujo turbulento. Para la obtención de

\lambda

es necesario el uso de métodos iterativos. Otra forma más sencilla y directa de obtener el valor de

\lambda

es hacer uso del diagrama de Moody.

Para el caso particular de tuberías lisas la rugosidad relativa, es decir la relación entre la rugosidad en las paredes de la tubería y el diámetro de la misma, es muy pequeño con lo que el término

k/D

es muy pequeño y puede despreciarse el primer sumando situado dentro del paréntesis de la ecuación anterior. Quedando en este caso particular la ecuación del siguiente modo:

${\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}=2\log _{10}{\left(Re{\sqrt {\lambda }}\right)}-0,8$ ${\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}=2\log _{10}{\left(Re{\sqrt {\lambda }}\right)}-0,8$

Para números de Reynolds muy grandes el segundo sumando situado dentro del paréntesis de la ecuación de Colebrook-White es despreciable. En este caso la viscosidad no influye en la práctica a la hora de determinar el coeficiente de fricción, este únicamente depende de la rugosidad relativa

k/D

de la tubería. Esto se manifiesta en el diagrama de Moody en que en la curva para valores elevados de

Re

se hacen rectas horizontales.

El Factor o coeficiente de fricción puede deducirse matemáticamente en el caso de régimen laminar, pero en el caso de flujo turbulento no se dispone de relaciones matemáticas sencillas para obtener la variación de f con el número de Reynolds. Además, algunos investigadores han demostrado que la rugosidad relativa de la tubería (relación de la altura de las imperfecciones superficiales al diámetro interior de la tubería) también influye en el valorde f.

Para flujo laminar en todas las tuberías y para cualquier fluido, el valor de f viene dado por:

f = 64/Re

Re tiene un valor práctico máximo de 2000 para que el flujo sea laminar.

Para flujo turbulento para todas las tuberías, el Instituto de Hidráulica de Estados Unidos y la mayoría de ingenieros consideran la ecuación de Colebrook como la más aceptable para calcular f. La ecuación es:

Como la solución de esta ecuación es muy engorrosa, hay disponibles diagramas que dan las relaciones existentes entre el coeficiente de fricción f, el número de Reynolds Re y la rugosidad relativa .

Se observa (en la ecuación) que para tuberías lisas, en las que el valor de є/D es muy pequeño, puede despreciarse el primer término entre corchetes; puede aplicar al cálculo de f para fluidos no Newtonianos. Igualmente, para números de Reynolds Re muy elevados, el segundo término entre corchetes es despreciable; en tales casos la viscosidad no influye prácticamente y f depende tan sólo de la rugosidad relativa de la tubería. Este hecho puede notarse en los diagramas de fricción en los que las curvas se vuelven horizontales para números de Reynolds elevados.

El Método de Bisección

Considérese la ecuación cúbica:

f(x) = x3 + x2 – 3x -3 = 0

para x = 1 , f tiene el valor - 4. Para x = 2, f tiene el valor + 3. Puesto que la función es contínua, es obvio que el cambio en el signo de la función entre x = 1 y x = 2 garantiza al menos una raíz en el intervalo (1, 2). (Ver Figura 1)

Supóngase que evaluamos la función para x = 1,5 y comparamos el resultado con los valores de la función para x = 1 y x = 2. Puesto que la función cambia de signo entre x = 1,5 y x = 2 hay una raíz entre esos valores. Se puede continuar con esta partición a mitades del intervalo para lograr un intervalo cada vez menor dentro del cual debe haber una raíz.

Para este ejemplo la continuación del proceso conduce a una aproximación de la raíz para x = 31/2 = 1,7320508075… .

El proceso se ilustra en la Figura 2. Esta aproximación gráfica puede mejorarse y para lograr mayor exactitud, hace falta una regla que permita ejecución matemática. También debe expresarse el algoritmo (nombre técnico para un procedimiento sistemático) de manera que haga fácil implementar el método con una computadora.

Figura 1

Figura 2

Para determinar una raíz de f(x) = 0 que sea exacta dentro de un valor de tolerancia especificado, dados valores de x1 y x2 tales que f(x1) * f (x2) < 0,

REPEAT

x3 = (x1+ x2)/2

IF f(x3) * f (x1) < 0 THEN x2 = x3

ELSE x1 = x3

ENDIF

UNTIL (* x1- x2* < valor de tolerancia) OR f(x3) = 0

El valor final de x3 aproxima la raíz; tiene un error de no más que 1/2* x1- x2* .

NOTA: el método puede dar una raíz falsa si f(x) es discontínua en [x1, x2]

La Ecuación de Colebrook Resuelta por el Método de Bisección

En una planta de alimentos en la que se bombean fluidos, se usó la ecuación de Colebrook para calcular el factor de fricción por tanteo con ayuda de una calculadora. Los datos usados fueron los siguientes:

Rugosidad relativa, є = 0,00015 m

Diámetro de tubería, D = 0,0508 m (tubería de fierro galvanizado)

Número de Reynolds, Re = 2 200 507

Se encontró que el valor de f = 0,02611 fue una muy buena aproximación. Se planteó luego el método numérico de bisección para mejorar la aproximación de un modo más eficiente. Para tal efecto, se usaron dos valores tentativos para f , uno menor ( = 0,025 ) y otro mayor ( = 0,027 ) que el valor hallado por tanteo.