Epónimos relacionados con la física

ecuaciones epónimas de la física

ecuaciones de Euler son las que describen el movimiento de un fluido compresible no viscoso. Su expresión corresponde a las ecuaciones de Navier-Stokes cuando las componentes disipativas son despreciables frente a las convectivas, esto nos lleva a las siguientes condiciones que se pueden deducir a través del análisis de magnitudes de las Navier-Stokes:

${\displaystyle Re={\frac {\rho _{0}U_{0}L_{0}}{\mu }}\gg 1}$

Aunque habitualmente se expresan en la forma mostrada en este artículo dado que de este modo se enfatiza el hecho de que representan directamente la conservación de masa, momento y energía. Estas ecuaciones se llaman así en honor de Leonhard Euler quien las dedujo directamente de las leyes de Newton (para el caso no-relativista).

Mecánica clásica

Este sección contempla las connotaciones aplicables a la mecánica clásica; para fluidos compresibles con velocidades próximas a la velocidad de la luz se debe consultar ecuaciones relativistas de Euler.

Aunque formalmente las ecuaciones de Euler se reducen a flujo irrotacional en el límite de desaparición del número de Mach (es decir para números de Mach muy pequeños), esto no es útil en la práctica, debido esencialmente a que la aproximación de incompresibilidad no resta exactitud a los cálculos. La expresión diferencial de estas ecuaciones es la siguiente:

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho {\mathbf {u}})=0}$

${\displaystyle {\partial (\rho {\mathbf {u}}) \over \partial t}+({\mathbf {u}}\cdot \nabla )(\rho {\mathbf {u}})+\nabla p=0}$

${\displaystyle {\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot ({\mathbf {u}}(E+p))=0}$

donde ${\displaystyle E=\rho e+\rho (u^{2}+v^{2}+w^{2})/2}$ es la energía total por unidad de volumen (${\displaystyle e}$ es la energía interna por unidad de masa para el fluido), ${\displaystyle p}$ es la presión, ${\displaystyle u}$ la velocidad del fluido y ${\displaystyle \rho }$ la densidad del fluido. La segunda ecuación incluye la divergencia de un tensor diádico y puede quedar más clara de acuerdo a la siguiente notación:

${\displaystyle {\partial (\rho u_{j}) \over \partial t}+\sum _{i}u_{i}{\partial \rho u_{j} \over \partial x_{i}}+{\partial p \over \partial x_{j}}=0}$

Nótese que las ecuaciones anteriores están expresadas en forma de conservación o equilibrio, dado que con esta forma se enfatiza su origen físico (y es además en gran medida la más conveniente para la simulación computacional de la dinámica de fluidos). El componente del momento de las ecuaciones de Euler se expresa del siguiente modo:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\mathbf {u}}\cdot \nabla \right){\mathbf {u}}+\nabla p=0}$

aunque esta forma oculta la conexión directa existente entre las ecuaciones de Euler y la segunda ley de Newton (en particular, no es claramente intuitivo por qué esta ecuación es correcta y ${\displaystyle \left(\partial /{\partial t}+{\mathbf {u}}\cdot \nabla \right)(\rho {\mathbf {u}})+\nabla p=0}$ no lo es). En formato vectorial las ecuaciones de Euler quedan expresadas del siguiente modo:

${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}+{\frac {\partial H}{\partial z}}=0}$

donde

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}\rho \\\rho u\\\rho v\\\rho w\\E\end{pmatrix}}\qquad F={\begin{pmatrix}\rho u\\p+\rho u^{2}\\\rho uv\\\rho uw\\u(E+p)\end{pmatrix}}\qquad G={\begin{pmatrix}\rho v\\\rho uv\\p+\rho v^{2}\\\rho vw\\v(E+p)\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}\rho w\\\rho uw\\\rho vw\\p+\rho w^{2}\\w(E+p)\end{pmatrix}}.\qquad }$

Esta forma deja más claro que ${\displaystyle F,G,H}$ son caudales.

Las ecuaciones anteriores representan por tanto la conservación de la masa, los tres componentes del momento y la energía. Hay por tanto cinco ecuaciones y seis incógnitas ${\displaystyle (\rho ,u,v,w,E,p)}$. Para cerrar el sistema se necesita una ecuación de estado; la ecuación de estado más comúnmente utilizada es la ley de los gases ideales ( p.e. ${\displaystyle p=\rho (\gamma -1)e}$ ).

Una característica muy importante de las Ecuaciones de Euler es que debido a que proceden de una reducción de las Ecuaciones de Navier-Stokes despreciando los términos provenientes de los términos disipativos como hemos dicho al principio, estamos eliminando en las ecuaciones los términos en derivadas parciales de mayor grado: ${\displaystyle \nabla {\overline {\tau }}}$ en la Ecuación de la Cantidad de movimiento así como ${\displaystyle \nabla (K\nabla T)}$ y ${\displaystyle \tau ':\nabla v}$ de la Ecuación de la Energía, estas ecuaciones no podrán cumplir con todas las condiciones de contorno naturales. En particular no cumplen con la condición de no deslizamiento en las superficies de contacto con sólidos o la condición de continuidad de la temperatura, estas discontinuidades carecen de importancia para muchas aplicaciones pero no para otras lo que conlleva a tratar en esas discontinuidades con otras ecuaciones que finalmente conllevarían a temas muy profusos dentro de esta disciplina como es la Teoría de la Capa Límite. Por último hay que decir que en flujos supersónicos se producen otras discontinuidades en estas ecuaciones como son las Ondas de Choque o las Ondas de Mach.

Nótese la desigual forma para la ecuación de la energía; ver la ecuación de Rankine-Hugoniot. Los términos adicionales que contienen la expresión p (presión) pueden ser interpretados como el trabajo mecánico realizado por el fluido en un elemento de fluido por los elementos fluidos próximos que se mueven alrededor. Estos términos suman cero en un fluido incompresible.

La más conocida ecuación de Bernoulli puede ser obtenida integrando la ecuación de Euler a través de una línea de corriente (líneas a las que la velocidad del fluido es tangente en cada punto) asumiendo que la densidad es constante y con una ecuación de estado adecuada.

Mecánica relativista

La generalización al caso relativista de las ecuaciones de Euler parte de la ley de conservación del tensor energía-impulso. Usando el convenio de sumación de Einsteindicha ley de conservación viene dada por:

(*)${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0}$

Donde:

${\displaystyle \nabla _{\mu }\,}$, es la derivada covariante.

${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$, es el tensor dos veces contravariante de energía-impulso del fluido.

En el caso de un fluido sensible al campo electromagnético entonces el segundo miembro de la anterior ecuación. Para el caso convencional de un fluido perfecto que no es influido por el campo electromagnético el tensor de energía-impulso viene dado por:¹

(**)${\displaystyle T_{\mu \nu }=\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right)u_{\mu }u_{\nu }+pg_{\mu \nu }}$

Donde:

${\displaystyle \rho \,}$, es la densidad másica del fluido en cada punto.

${\displaystyle p\,}$, es la presión hidrostática en cada punto.

${\displaystyle u^{\alpha }\,}$, son las componentes de la cuadrivelocidad.

${\displaystyle c\,}$, es la velocidad de la luz.

${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$, es el tensor métrico que describe la geometría del espacio-tiempo.

Si particularizamos las dos ecuaciones anteriores al caso de un fluido moviéndose en el espacio-tiempo plano, como en la teoría de la relatividad especial, las ecuaciones anteriores pueden escribirse más explícitamente. La componente temporal ${\displaystyle \scriptstyle \nu =0}$ de (*) se reduce a una ecuación de continuidad:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}{\frac {v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}\right)+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right)\mathbf {v} }{1-v^{2}/c^{2}}}\right)=0}$

∫∫∫_V (∂⁄∂t) ρ dV + ∫∫_S ρ v ⋅ n dS = 0
∫∫∫_V (∂⁄∂t) (ρv) dV + ∫∫_S (ρv⊗v+pI) ⋅ n dS = 0
∫∫∫_V (∂⁄∂t) (ρe+ρv²⁄2) dV + ∫∫_S (ρe+ρv²⁄2+p) v ⋅ n dS = 0.

Las anteriores ecuaciones son, interpretados los símbolos de forma adecuada, una de las formas (la forma integral de conservación) adoptadas por las ecuaciones de Euler de la dinámica del fluido no viscoso son un modelo matemático extraordinariamente útil y bello que tiene grandes aplicaciones en campos como el diseño aerodinámico. Sirven para modelar un fluido:

• sin viscosidad;
• sin conductividad térmica;
• sin campos de fuerza (sin efectos gravitatorios, por ejemplo);
• sin reacciones químicas;
• sin transferencia de calor por radiación;
• sin efectos relativistas (mucho más lento que la luz);
• modelable como un medio continuo (así que no valen para atmósferas muy enrarecidas).

Estas hipótesis, aunque parecen restrictivas, son aplicables a muchísimos casos de interés práctico. El aire alrededor de un vehículo con buenas formas aerodinámicas (por ejemplo, un avión) a velocidades no demasiado elevadas, por ejemplo, responde muy bien a las ecuaciones de Euler salvo en regiones muy pequeñas (las capas límite, las estelas y los chorros).

Las ecuaciones de Euler son unas ecuaciones de conservación:

• de conservación de la masa;
• de conservación de la cantidad de movimiento;
• de conservación de la energía.

Vamos a ver cómo deducir su forma. Antes, introduzcamos cierta notación:

• t es el tiempo;
• ρ es la densidad del fluido (depende del tiempo y del punto del espacio);
• v es la velocidad a la que se mueve el fluido (depende del tiempo y del punto del espacio);
• p es la presión (depende del tiempo y del punto del espacio);
• e es la energía interna del fluido por unidad de masa (depende del tiempo y del punto del espacio), es decir, su energía total menos su energía cinética.

Ecuación de conservación de la masa

Centrémonos en una masa de control, una masa determinada del fluido. Por su propia definición, esta masa no varía. La masa M es igual a la integral de volumen de la densidad. La región del espacio ocupada por la masa de control, V_m(t), puede cambiar con el tiempo, pero la masa es fija:
(d⁄dt) M = (d⁄dt) ∫∫∫_Vm(t) ρ dV = 0.
Sólo está indicada la dependencia explícita del tiempo del volumen V_m(t), pero la densidad también depende del tiempo y del espacio. La omisión está hecha con el fin de hacer la notación más simple y se aplicará por igual al campo de velocidades v (de módulo v), al campo de presión p y al campo de energía interna por unidad de masa e.

Campo de velocidades: en cada punto del espacio y en cada instante del tiempo podríamos poner un minúsculo anemómetro imaginario y medir la velocidad del fluido allí. El conjunto de estas velocidades, cada una con su posición espaciotemporal, es el campo de velocidades. La figura muestra, en dos dimensiones, una visión cualitativa de los vectores de velocidad alrededor de un torbellino.

Si aplicamos el teorema del transporte de Reynolds al volumen V (de frontera S y normal a la frontera n), podemos expresar la derivada de la masa de una masa de control (que es nula porque la masa no varía) con lo que pasa en el volumen que ocupa:
(d⁄dt) M = ∫∫∫_V (∂⁄∂t) ρ dV + ∫∫_S ρ v ⋅ n dS = 0.
Ésta es la ecuación de la conservación de la masa en forma integral para un volumen de control fijo.

Ecuación de la cantidad de movimiento

La masa de control está sometida a fuerzas exteriores. Por hipótesis, estas fuerzas son sólo las de la presión aplicada en su contorno S_m(t). La segunda ley de Newton, aplicable a la masa de control, dice que la cantidad de movimiento P varía en el tiempo con la fuerza aplicada. La cantidad de movimiento de la masa de control resulta de integrar la cantidad de movimiento por unidad de volumen ρv por todo el volumen ocupado por la masa de control. Con estas condiciones, la segunda ley de Newton queda así:
(d⁄dt) P = (d⁄dt) ∫∫∫_Vm(t) ρv dV = −∫∫_Sm(t) p n dS.
La integral de la presión tiene un signo negativo porque la presión, que siempre actúa en la direccion perpendicular a la superficie, es positiva cuando apunta hacia el interior del volumen (es decir, cuando hay compresión) y la normal n está definida como positiva hacia el exterior.

Esfuerzos de presión (flechas azules) sobre un elemento fluido (mancha gris).

Podemos aplicar el teorema del transporte de Reynolds a cada una de las componentes de la velocidad, con lo que obtenemos tres ecuaciones. Con el fin de ser más escuetos, podemos expresar las ecuaciones de forma vectorial. Queda lo que sigue:
(d⁄dt) P = ∫∫∫_V (∂⁄∂t) (ρv) dV + ∫∫_S (ρv) v ⋅ n dS = −∫∫_S p n dS.
Ésta es la ecuación de la cantidad de movimiento escrita en forma integral para un volumen de control fijo.

Ecuación de la energía

La última ecuación que necesitamos es primer principio de la termodinámica, que en una de sus formas dice que la energía total E, suma de la energía interna y la energía mecánica, es igual a la suma del calor y el trabajo aportados por el exterior. Por hipótesis, no hay más energía mecánica en el fluido que la cinética. La energía total será, por lo tanto, la integral de las energías interna y cinética por unidad de volumen en la región ocupada por la masa de control. También por hipótesis, no hay calor aportado por el exterior (que se transmitiría por conducción o radiación) y el trabajo es el de la única fuerza, la de presión. La variación de la energía total con el tiempo es igual a la potencia de estas fuerzas de presión. Por lo tanto, obtenemos esta expresión de la ecuación de la energía:
(d⁄dt) E = (d⁄dt) ∫∫∫_Vm(t) (ρe+ρv²⁄2) dV = −∫∫_Sm(t) p n ⋅ v dS.
El criterio de signos, como antes, nos obliga a poner un menos delante del término de la presión.

Ahora apliquemos, como antes, el teorema del transporte de Reynolds para ver lo que pasa en un volumen de control fijo. Nos queda esta ecuación:
(d⁄dt) E = (d⁄dt) ∫∫∫_V (ρe+ρv²⁄2) dV + ∫∫_S (ρe+ρv²⁄2) v ⋅ n dS = −∫∫_S p n ⋅ v dS.
Ésta es la ecuación de la energía escrita en forma integral para un volumen de control fijo.

Todo junto

Reunamos las ecuaciones de la conservación de la masa, de la cantidad de movimiento y de la energía. Si introducimos las magnitudes tensoriales I (el tensor unitario tal que I ⋅ n para cualquier vector n) v⊗v (el producto tensorial de la velocidad por sí misma), podemos escribir las ecuaciones de Euler completamente en forma de conservación: lo que varía una magnitud en un volumen es compensado por unos flujos a través de la frontera de este volumen.

∫∫∫_V (∂⁄∂t) ρ dV + ∫∫_S ρ v ⋅ n dS = 0
∫∫∫_V (∂⁄∂t) (ρv) dV + ∫∫_S (ρv⊗v+pI) ⋅ n dS = 0
∫∫∫_V (∂⁄∂t) (ρe+ρv²⁄2) dV + ∫∫_S (ρe+ρv²⁄2+p) v ⋅ n dS = 0.

La anterior forma de expresar las ecuaciones de Euler es muy útil y general. Vale para situaciones en las que hay superficies de discontinuidad (como las ondas de choque) que otras formulaciones, debido a que asumen cierta suavidad de las soluciones, no pueden modelar. Varias familias de métodos numéricos de volúmenes finitos de alta resolución para resolver problemas de mecánica de fluidos sin viscosidad están basados en esta forma de expresar las ecuaciones de Euler.

Tenemos tres ecuaciones, pero hay cuatro campos incógnita (el de densidad, el de velocidad, el de presión y el de energía interna). La ecuación adicional para resolver el problema, la ecuación de cierre, es una ecuación constitutiva que suele relacionar presión, densidad y energía interna. En el caso de gases, es a menudo de aplicación la ley de los gases ideales junto con una relación lineal entre la temperatura y la energía interna. En el caso de líquidos ideales, la densidad es constante, lo que elimina trivialmente una de las incógnitas y permite resolver primero las ecuaciones de la conservación de la masa y de la cantidad de movimiento y, después, la de la energía.

Con las condiciones iniciales y de contorno adecuado y la ecuación constitutiva adecuada la aplicación de las ecuaciones de Euler a volúmenes arbitrarios permite resolver el problema de la evolución de un fluido simple no viscoso. El lector avispado podrá darse cuenta de que, en realidad, si nos encontramos superficies de discontinuidad, entonces hay soluciones múltiples. Esto se debe a las simplificaciones que hemos hecho al no tener en cuenta fenómenos difusivos como la viscosidad. Veremos más adelante cómo podemos usar el segundo principio de la termodinámica para elegir la solución adecuada sin necesidad de emplear modelos matemáticos más complicados.

Las ecuaciones de Euler son una herramienta de trabajo que usan a diario aerodinamistas de todo el mundo para producir vehículos más rápidos, seguros y eficientes.